苏科版八年级上册数学全等三角形专题练习(解析版)

1、一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1.如图，在ABC中，=分别为8c,4。边上的高，连接OE,过点。作石与点尸，G为BE中点,连接Ab, DG.（1）如图1，若点尸与点G重合，求证：AhDF;（2）如图2,请写出AE与QG之间的关系并证明.【答案】详见解析乂2）AF=2DG,且AF_LDG,证明详见解析.【解析】【分析】（1）利用条件先DAEgDBF,从而得出AFDE是等腰直角三角形,再证明AEF是等腰直角 三角形，即可.延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,先证明BGMg/XEGD,再证明 BDMADAF即可推出.【详解】解：（1）证明:设BE与AD交于点H.如图，V

2、AD,BE分别为BCZAC边上的甑 AZBEA=ZADB=90./ ZABC=45,ABD是等腰直角三角形.AAD=BD.ZAHE=ZBHD/ AZDAC=ZDBH.: ZADB=ZFDE=90/. ZADE=ZBDRAADAEADBF.ABF=AE/DF=DE.,.FDE是等腰直角三角形.A ZDFE=450.VG为BE中点，ABF=EF.AAE=EF.AEF是等腰直角三角形./. ZAFE=45.，NAFD=90。,即 AF1DF.AF=2DG,且AFJ_DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,VZBGMZEGD,AaBGMAEGD.，ZMBE=ZFED=45,B

3、M=DE.AZMBE=ZEFD/BM=DRVZDAC=ZDBE/，ZMBD=ZMBE+ZDBE=450+ZDBE.: ZEFD=45=ZDBE+ZBDF/AZBDF=45-ZDBE./ ZADE=ZBDF,，ZADF=90o-ZBDF=45+ZDBE=ZMBD.VBD=ADZAABDMADARADM=AF=2DGzZFAD=ZBDM.VZBDM+ZMDA=900,AZMDA+ZFAD=90.，ZAHD=90.AAFDG.，AF=2DG,且 AF1DG【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，关键在于灵活运用性质.2.如图1,等腰A8C中，AC=8C= 4后，NAC8=45 , 40是8c边上的高

4、，。为线段AO上 一动点，以8为一边在CD下方作等腰.CDE,使8=CE且NDCE=45,连结8求证：aacdgAbce ；如图2,在图1的基础上，延长8E至Q,P为8Q上一点，连结CP、CQ若CP=CQ二5,求 PQ的长.连接0E，直接写出线段0E的最小值.【答案】（1）证明见解析：（2）PQ=6；（3）OE=4-2应【解析】试题分析：（1）根据5人5即可证得448金48（主；（2）首先过点。作C4_L8。于，由等腰三角形的性质，即可求得N）AC = 45。，则根 据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长.（3）OE_L8Q时，0E取得最小值.试题解析：（1）证明：.A8c与是等

5、腰三角形，：.AC=BC,DC=EC, ZACB = NDCE = 45”,/. ZACD + NDCB = ZECB + 4DCB = 45,：.ZACD=ZBCE ；在4CD和A8CE中，AC = BCZACD = /BCE DC = EC,/.ACDaBCE(SAS)；(2)首先过点C作CH_L8。于，过点c作CHL8Q于二48C是等腰三角形，NAC8=45 , AO是8c边上的高，. ZDAC = 45,.ACD%BCE,：.NPBC = NDAC = 45,:.在 RBHC中,CH = BCX 立=4四乂虫=4,22. PC = CQ = 5, CH =4,:.PH=QH=3,.PQ

6、 = 6.(3)。七_18。时，OE取得最小值.最小值为：OE = 4-23.如图，八8c中，。是8c的中点，过。点的直线GF交AC于F,交AC的平行线8G于G点，DE上DF,交48于点,连结EG、EF.(1)求证：BG=CF；(2)请你判断BE+CF与EF的大小关系，并说明理由.【答案】(1)详见解析：(2) 8E+CFAEF,证明详见解析【解析】【分析】(1)先利用ASA判定BGDmCFD,从而得出BG=CF；（2）利用全等的性质可得GD=FD,再有DEJ_GF,从而得至I EG=EF,两边之和大于第三 边从而得出BE+CFEF.【详解】解：（1） 9：BG/AC.：.ZDBG=ZDCF.

7、D为8c的中点，：.BD=CD又,： /BDG=/CDF,在8G。与CF。中，4DBG = ZDCF: bd = cd/BDG = /CDF二BGDgACFD （ ASA）.：.BG=CF.BE+CFEF.,: BGDWMFD,：.GD=FD, BG=CF.又 YOELFG,.EG=EF （垂直平分线到线段端点的距离相等）.，在EBG 中，BE+8GEG,即 BE+CFEF.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：sss、SAS、 A AS. ASA、HL.4.如图 1,在 AABC 中，N4CB 是直角，ZB = 60 , AD. CE 分别是 NBA。、

8、ZBCA 的平分线，AD. CE相交于点尸.（1）求出NAR7的度数；（2）判断尸E与尸。之间的数量关系并说明理由.（提示：在AC上截取CG = C,连接 FG.）（3）如图2,在A45C中，如果NAC3不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断 线段AE、。与AC之间的数量关系并说明理由.【答案】(1)ZAFC=120 ； (2) FE与FD之间的数量关系为：DF=EF.理由见解析：(3) AC=AE+CD.理由见解析.【解析】【分析】(1)根据三角形的内角和性质只要求出NFAC, NACF即可解决问题；(2)根据在图2的AC上截取CG=CD,证得CFGgZCFD(SAS),得出DF=GF：

9、再根据ASA 证明AFGgZXAFE,得 EF=FG,故得出 EF二FD：(3)根据的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE,证得EAFgGAF (SAS)得出 ZEFA=ZGFA；再根据ASA证明DC乌FGC,得CD=CG即可解决问题.【详解】(1)解：V ZACB = 90, NB = 60,AZBAC=90 - 60 = 30,二AD、CE分别是NBAC、NBCA的平分线，AZFAC=15% ZFCA=45,AZAFC=180 - (ZFAC+ZACF) =120(2)解：FE与FD之间的数量关系为：DF = EF.理由：如图2,在AC上截取CG = CD,VCE是NBCA的平分线， A

10、ZDCF=ZGCF, 在aCFG和4CFD中，CG = CD ZDCF =乙GCF , CF = CFAACFGACFD (SAS), ，DF=GF. ZCFD=ZCFG 由(1) NAFC=120。得, ZCFD= ZCFG = ZAFE=60, ，ZAFG=60,又：ZAFE=ZCFD = 60%/. NAFE=NAFG, 在dAFG和4AFE中，ZAFE = ZAFGAF = AFZEAF = ZGAFAAAFGAAFE (ASA), ，EF=GF,ADF = EF：（3）结论：AC=AE+CD.理由：如图3,在AC上截取AG=AE,同(2)可得，EAFg/GAF (SAS), AZEF

11、A=ZGFA, AG = AEVZBAC+ZBCA=180c -ZB=180 -60 =120A ZAFC=180 - (ZFAC+ZFCA) = 180 -(ZBAC+ZBCA)=180 - X120 =120 ,22AZEFA=ZGFA=180 - 120 = 60= ZDFC,AZCFG=ZCFD = 60,同（2）可得，aFDCAFGC （ASA）,，CD=CG,，AC=AG+CG = AE+CD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相 等的重要工具.在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公 共边和公共角，必要时添

12、加适当辅助线构造全等三角形.5.己知8c中，48二女，点P是48上一动点，点Q是AC的延长线上一动点，且点P从 8运动向八、点Q从C运动向Q移动的时间和速度相同，PQ与8c相交于点D,若 48= 8近，BC=16.（1）如图1，当点P为48的中点时，求CD的长：（2）如图，过点P作直线8c的垂线，垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，设 8E+CD5,4是否为常数？若是请求出入的值，若不是请说明理由.【答案】4： （2） 8【解析】【分析】（1）过P点作PFAC交BC于F,由点P和点Q同时出发，且速度相同，得出 BP=CQ,根据 PFAQ,可知NPFB=NACB, ZDPF=ZCQD,则可得出N

13、B=NPFB,证 出BP=PF,得出PF=CQ,由AAS证明PFDgZQCD,得出，再证出F是BC的中点， 即可得出结果：（2）过点P作PFAC交BC于F,易知4PBF为等腰三角形，可得BE=，BF,由（1） 2证明方法可得PFDgAQCD则有CD=1c/，即可得出8E+CO=8.2【详解】解：（1）如图，过P点作PFII AC交BC于F,点P和点Q同时出发，且速度相同, ，BP=CQ,V PFII AQ, N PFB=N ACB, Z DPF=Z CQD, 又二 AB=AC,Z B=Z ACB,Z B=Z PFB, BP=PF,/. PF=CQ,又N PDF=N QDC, AAPFDAQCD

14、,/. DF=CD=-CF又因P是AB的中点，PFII AQ, ，F 是 BC 的中点，HP FC=-BC=8.1/. CD=-CF=4：2B E F D（2） BE+CZ） = 4 = 8为定值. 如图，点P在线段ab上， 过点P作PFH AC交BC于F,B E F D图图易知 PBF为等腰三角形,VPEBF，be=1bf2易得PFDgAQCD/. CD= CF【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，熟悉相关性质定理是解题的关 键.6.如图，在A3C中，ABAC = 90, AB = AC, AE是过A点的一条直线，且 B、。在AE的异侧，BDLAE于D，CEJLA七于E

15、图（1）求证：BD = DE + CE.（2）若将直线AE绕点A旋转到图的位置时（BOCE）,其余条件不变，问8。与 DE、CE的关系如何？请予以证明.【答案】（1）见解析；（2） BD=DE-CE,理由见解析.【解析】【分析】(1)根据已知利用AAS判定ABDgZkCAE从而得至IJBD=AE, AD=CE,因为AE=AD+DE,所 以 BD=DE+CE；(2)根据已知利用AAS判定ABDgCAE从而得至IJBD=AE, AD=CE,因为AD+AE=BD+CE,所以 BD二DECE.【详解】解：(1) V ZBAC=90, BDJ_AE, CEAE,AZBDA=ZAEC=90%V ZABD+

16、ZBAE=90 /CAE+NBAE=90/. NABD=/CAE,VAB=AC,在4ABD lACAE 中，ABDA = ZAEC ZABD = NCAEAB = ACAAABDACAE (AAS),，BD=AE, AD=CE,VAE=AD+DE,ABD=DE+CE：(2) BD与DE、CE的数量关系是BD=DE-CE,理由如下：V ZBAC=90, BD_LAE, CEAE,AZBDA=ZAEC=90%工 NABD+/DAB=NDAB+NCAE,/. NABD=/CAE,VAB=AC,在4ABD lACAE 中，ABDA = ZAEC ZABD = NCAEAB = ACAAABDACAE

17、(AAS),，BD=AE, AD=CE,，AD+AE=BD+CE,VDE=BD+CE,ABD=DE-CE.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定和性质，常用的判定方法有SSS, SAS, AAS, HL等.这种 类型的题目经常考到，要注意掌握.7.在aABC中，4B = AC,点。在8C边上，且NAO8 = 60。,E是射线DA上一动点 （不与点。重合，且ZMWO8），在射线。8上截取OF =。石，连接E厂.（1）当点E在线段AO上时，若点E与点A重合时，请说明线段3F = OC；如图2,若点E不与点A重合，请说明8F = DC + AE；（2）当点E在线段DA的延长线上（OE 时，用等式表示线

18、段AE, BF、CD之间的数 量关系（直接写出结果，不需要证明）.【答案】（1）证明见解析：证明见解析；（2） BF=AE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到NB = NC,再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得 到AAO尸是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到ZAFB = ZADC = 20o,推出ABf好A8,根据全等三角形的性质即可得出结论； 过点A做AGEF交BC于点G,由ADEF为等边三角形得到DA=DG,再推出AE = GF, 根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG,由（1）可知，AE=GF, DC=BG,再由线段的和差和等

19、 量代换即可得到结论.【详解】（1）证明：.AB = AC:B = ZC,/ DF = DE* ZADB = 60,且 E 与 A 重合，MOP是等边三角形/. ZADF = ZAFD = 60:.ZAFB = ZADC = 20在AA8E和AACD中NAFB = ZADC NB = NCAB = ACMBFMCDBF = DC如图2,过点A做AGEF交BC于点G,V ZADB=60 DE = DFDEF为等边三角形VAG/ZEFA ZDAG =ZDEF = 60% ZAGD= ZEFD = 60AZDAG=ZAGDA DA=DGADA-DE = DG-DF,即 AE=GF由易证AGBg/iA

20、DC，BG = CD，BF = BG + GF = CD + AE(2)如图3,和(1)中相同，过点A做AGEF交BC于点G,由(1)可知，AE=GF, DC=BG, :.BF+CD = BF+BG = GF = AE 故 BF = AECD.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性 质，正确的作出辅助线是解题的关键.8. (1)在等边三角形ABC中,D如图，D，E分别是边AC，A8上的点，且力 = 8, BD与EC交于点、F ,则 ZBFE的度数是 度;如图，D，E分别是边AC，84延长线上的点，且AE = 8, 80与EC的延长线 交于点尸，此

21、时N8FE的度数是 度；(2)如图，在A43C中，AC = BC NAC8是锐角，点。是4c边的垂直平分线与 8C的交点，点。，E分别在AC, 0A的延长线上，且AE = CQ, 8。与EC的延长线 交于点尸，若NAC8 = a,求NBFE的大小(用含法。的代数式表示).【答案】(1) 60； (2) 60； (3) /BFE = a【解析】【分析】(1)只要证明ACET4CBD,可得NACE=NCBD,推出ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60a ：只要证明ACEgCBD,可得NACE=NCBDnNDCF,即可推出ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=

22、60 ：(2)只要证明AECgCDB,可得NE=ND,即可推出 ZBFE=ZD+ZDCF=ZE+ZECA=ZOAC= a .【详解】:ABC是等边三角形，AC二CB, ZA=ZBCD=60,VAE=CD,AAACEACBD, ZACE=ZCBD,，ZBFE=ZCBD+ZBCF=ZACE+ZBCF=ZBCA=60 .故答案为60；如图,图:ABC是等边三角形，AC二CB, ZA=ZBCD=60,AZCAE=ZBCD=r 120VAE=CD,AAACEACBD,，NACE=NCBD=NDCF,，ZBFE=ZD+ZDCF=ZD+ZCBD=ZBCA=60 .故答案为60；（2）如图中，点。是AC边的垂

23、直平分线与BC的交点，/. OC = OA /. ZOAC = ZACO = aNE4C = NDC3 = 180。a,v AC = BC, AE = CD,A4EC = ACDB ,;.ZE = ZD，ZBFE = ZD+ZDCF = AE+ZECA = AOAC = a.【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的性质、线 段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题.9.如图1,己知CF是ABC的外角N4CE的角平分线，D为CF上一点、,且。4 =。8.(2)(3)求证：AC+BCV2BD；如图 (2)(3)求证：AC+BCV2BD

24、；如图 2,若NECF=60,证明：AC=BCCD.【答案】（1）详见解析：（2）详见解析：（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D分别作AC, CE的垂线，垂足分别为M, N,证明RtADAMgRtDBN,得出 NDAM二NDBN,则结论得证：（2）证明 RtZkDMCgRSDNC,可得 CM二CN,得出 AC+BO2BN,又 BNBD,则结论得 证：（3）在AC上取一点P,使CP=CD,连接DP,可证明ADPWBDC,得出AP=BC,则结论 可得出.【详解】CE的垂线，垂足分别为CE的垂线，垂足分别为M, N,：CF是的外角NACE的角平分线,：.DM=DN,在 Rt/kOAM 和 R

25、UDBAf 中，DA = DBDM = DN ARDAMDBN (HL),/DAM=NDBN, ，ZACB=ZADB；(2)证明：由(1)知 OM=ON, 在 RUDMC 和 RtA D/VC 中，DC = DCDM = DN ARtADMCRtADA/C （HL）,:.CM=CN,，4C+8C=4M+CM+8C=AM+CN+8C=4M+8N,又：AM=8N,：.ACBC=2BN.,: BNBD,：.ACBC2BD.（3）由（1）知NCAD=NC8D,在 AC上取一点 P,使 CP=CO, 连接DP,V ZfCF= 60% N4CF=60,.CDP为等边三角形，：.DP=DC. ZDPC= 60%，ZAPD=120V ZECF= 60%A ZBCD=120,在和Zk8DC中，ZAPD = /BCD ZPAD = ZCBD ,DA = DB:.4ADPqABDC (A4S), ：.AP=BC.4C=AP+CP,：.AC=BC+CP,：.AC=BCCD.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平 分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.10.已知：A48C, ZA = 45 NAC8 = 90,点。是4c延长线上一点，且 AD = 6+2, M是线段CD上一个动点，连接8M，延长M8到