专题23 空间点线面的位置关系（解析版）

1、十年十年高考+大数据预测 II）作，垂直为D，连结AD，作OHAD，垂足为H，BCAO，BCOD，BC平面AOD，OHBC，OHAD，OH平面ABC=，为正三角形，BC=1，可得OD=ACAB，OA=，且=，得=，又O是的中点，点到平面的距离为，故三棱锥的高为 12分23（2011新课标，文18）如图，四棱锥中，底面为平行四边形，=，=,底面()证明：；（）若=1，求棱锥的高【解析】（）因为， 由余弦定理得 从而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故 PABD（）如图，作DEPB，垂足为E已知PD底面ABCD，则PDBC由（）知BDAD，又BC

2、/AD，所以BCBD故BC平面PBD，BCDE则DE平面PBC由题设知，PD=1，则BD=，PB=2，根据BEPB=PDBD，得DE=，即棱锥DPBC的高为24（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1

3、平面ABC又因为BE平面ABC，所以CC1BE因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E25（2018江苏）在平行六面体中，求证：(1)平面；(2)平面平面【证明】(1)在平行六面体中，因为平面，平面，所以平面(2)在平行六面体中，四边形为平行四边形又因为，所以四边形为菱形，因此又因为，所以又因为=，平面，平面，所以平面因为平面，所以平面平面26（2017江苏）如图，在三棱锥中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EFAD求证：（1）EF平面ABC

4、；（2）ADAC【解析】证明：（1）在平面内，因为，所以又因为平面，平面，所以平面（2）因为平面平面，平面平面=， 平面，所以平面因为平面，所以又，平面，平面，所以平面，又因为平面，所以27（2017江苏）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线的长为10cm，容器的两底面对角线，的长分别为14cm和62cm分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm现有一根玻璃棒，其长度为40cm（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没入水中部分的长度；（2）将放在容器中，的一端置于点处，另一端置于侧棱上，求没

5、入水中部分的长度【解析】（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处因为，所以，从而记与水平的交点为，过作，为垂足，则平面，故，从而答：玻璃棒没入水中部分的长度为16cm( 如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm)（2）如图，是正棱台的两底面中心由正棱台的定义，平面 ，所以平面平面，同理，平面平面，记玻璃棒的另一端落在上点处过作，为垂足， 则=32因为= 14，= 62，所以= ，从而设则因为，所以在中，由正弦定理可得，解得因为，所以于是记与水面的交点为，过作，为垂足，则 平面，故=12，从而 =答：玻璃棒没入水中部分的长度为20cm(如果将“没

6、入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)28（2014山东）如图，四棱锥中，分别为线段的中点（）求证：；（）求证：【解析】（）设，连结OF，EC，由于E为AD的中点，所以,因此四边形ABCE为菱形，所以O为AC的中点，又F为PC的中点，因此在中，可得又平面，平面，所以平面（）由题意知，所以四边形为平行四边形，因此又平面PCD，所以，因此因为四边形ABCE为菱形，所以又，AP，AC平面PAC，所以平面29(2014江苏)如图，在三棱锥中，E，F分别为棱的中点已知，求证：（）直线平面；（）平面平面【解析】（）为中点，DEPA平面DEF，DE平面DEF，PA平面DEF（）为中点，为中点

7、，DEEF，DE平面ABCDE平面BDE，平面BDE平面ABC30(2012广东)如图所示，在四棱锥中，平面，是中点，是上的点，且，为中边上的高（）证明：平面；（）若，求三棱锥的体积；（）证明：平面【解析】（）平面，面又面（）是中点点到面的距离三棱锥的体积（）取的中点为，连接，又平面面面面，点是棱的中点，得：平面31（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，=60，、分别是、的中点求证：（）直线平面；（）平面平面【证明】：（）在PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF/PD又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF/平面PCD（）连结DB，因为AB=AD，BAD=60，所

8、以ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD32（2019江苏16）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC求证：（1）A1B1平面DEC1；（2）BEC1E证明：（1）因为D，E分别为BC，AC的中点，所以EDAB在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABA1B1，所以A1B1ED又因为ED平面DEC1，A1B1平面DEC1，所以A1B1平面DEC1（2）因为AB=BC，E为AC的中点，所以BEAC因为三棱柱AB

9、C-A1B1C1是直棱柱，所以CC1平面ABC又因为BE平面ABC，所以CC1BE因为C1C平面A1ACC1，AC平面A1ACC1，C1CAC=C，所以BE平面A1ACC1因为C1E平面A1ACC1，所以BEC1E33（2011江苏）如图，在四棱锥中，平面平面，=60，、分别是、的中点求证：（）直线平面；（）平面平面【证明】（）在PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF/PD又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF/平面PCD（）连结DB，因为AB=AD，BAD=60，所以为正三角形，因为F是AD的中点，所以BFAD因为平面PAD平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，所以BF平面PAD又因为BF平面BEF，所以平面BEF平面PAD考点81 空间几何体的截面问题1（2018新课标，理12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为ABCD【答案】A【解析】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，截此正方体所得截面面积的最大，此时正六边形的边长，截此正方体所得截面最大值为：，故选2（2015新课标，理19）如图，长方体中，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正