《地理信息系统原理与方法(第四版)》教学课件03 GIS的地理数学基础

1、第三章GIS的地理数学基础3.1几何空间3.2地球椭球体与大地控制3.3地图投影3.4空间坐标转换ContE nts目录3.1几何空间距离空间基于集合的几何空间欧氏距离拓扑空间几何空间（距离空间）设X为任一非空集合，d:XXR为一函数，使得对于X的任何点x，y，z满足下列性质： M1：d(x，y)0 M2：d(x，y)=0 (x=y) M3：d(x，y)=d(y，x) M4：d(x，y)d(x，z)+ d(z，y)对于可数无限维实数空间 ，定义距离函数d为：对空间中的任意两点p(x1, x2,)和q(y1, y2,)，d(p, q)= ，这里 和 均收敛。可以证明，d(p,q)一定收敛，( )

2、满足距离空间定义。( )称为希尔伯特（Hilbert）空间。定义例如距离空间几何空间（距离空间）GIS中常用的距离及其与距离空间的关系距离最短：沿地球球面从一个城市到另一个城市的最短距离。球面曼哈顿距离：地球上两个城市经度差与纬度差之和。旅行时间：城市间旅行（假定沿公路线旅行）所需的最短时间。考察上述距离定义，M1和M2显然为这三种距离所满足。最短线距离和曼哈顿距离亦满足距离空间的对称性。但旅行时间则不一定，若考虑路面状况、地理特性（坡度等）、交通规则（单行线）等，则对称性不能满足。三角不等式性质为最短线距离所满足。对于旅行时间，三角不等式亦不一定满足。如下图所示，城市a和b及b和c间有高速公

3、路，而a与c之间只有低等级公路，则就旅行时间而言，T(a, b)+T(b, c)T(a, c)不一定成立。几何空间（距离空间） 由上面的讨论，我们知道球面上的城市集合与最短线距离，以及曼哈顿距离均构成距离空间，而与旅行时间则不能构成距离空间。这说明传统的距离空间（亦称度量空间）不能完全适应GIS的需要。特别需要说明的是，旅行时间这类的距离在GIS应用中有很重要的意义。例如，如下图所示是地震后的救灾问题。救灾中心M需要在最短时间内赶到灾区A、B、C、D、E，此时通常意义下的距离已不重要，对称性、三角不等式难以满足，时间是最重要的。灾区与急救中心的位置几何空间（欧氏空间）定义：设d为定义在集合Rn

4、上的距离函数，d: Rn R，对于Rn中的任意元素x, y，x=(x1, x2, , xn)，y=(y1, y2, , yn)，有d(x, y)= ，则En =(Rn, d)称为n维欧氏空间，Rn的每个元素称为空间En的点，d称为Rn上的欧氏距离。当n=2时， E2称为欧氏平面。欧氏空间欧氏平面E2中点的定义点：欧氏平面的点由一实数对(x, y)唯一确定，x, y分别为其横坐标和纵坐标值。通常也可以用矢量表示欧氏平面的点(x, y)，即用从坐标原点到(x, y)的有方向的线段表示点(x, y)，所有这些点的集合称为笛卡儿平面，记为R2。在笛卡儿平面中，允许下列对点的运算。几何空间（欧氏空间）相

5、加：(x1, y1)+(x2, y2) = (x1+x2, y1+y2)相减：(x1, y1)-(x2, y2) = (x1-x2, y1-y2)乘常数：k*(x, y) = (kx, ky)求模：给定矢量a = (a1, a2)，其模为 =矢量间的距离：给定点a = (a1, a2)，b = (b1, b2)，从a到b的距离定义为 即： =矢量间的夹角：矢量a与b的夹角由下列三角几何方程给定：cos = (a1b1+a2b2) / ( )矢量和的夹角：如下图所示， 在0，360)范围内的值由下列三角几何方程唯一确定笛卡儿平面中点的运算几何空间（欧氏空间）线：给定R2中两个不同点a和b，由a、

6、b确定的线定义为点集 线段：给定R2中的两个不同点a和b，由a和b确定的线段定义为点集 射线：给定R2中的两个不同点a和b，由b出发经a的射线定义为点集多线段（Polyline）：R2上的多线段定义为线段（称为边）的有限集合，使得集合中边的端点除两个端点外（称为极点）任一端点恰好为两条边的端点。若任意两条边均不相交于端点外的任何地方，则这类多线段称为简单多线段。若多线段中没有极点，则称该多线段是闭合的，如图所示。欧氏平面E2中线的定义几何空间（欧氏空间）多边形：R 2中由闭合多线段圈定的区域称为多边形，该多线段称为多边形的边界，多线段的每个端点称为多边形的结点。简单多边形：若多边形的边界是简单

7、多线段，则称为简单多边形。凸多边形：若多边形的任意一个内角均小于180，则称其为凸多边形。凸多边形的一个重要性质是多边形内任意两点的边线仍落在多边形内。另一类较凸多边形条件弱一点的多边形称为星形多边形（Star-shaped Polygon）。在星形多边形中至少存在一个点，该点与多边形内其他任何点的连线均在多边形内，如下图所示。欧氏平面E2中面的定义几何空间（欧氏空间）单调多线段点序列：欧氏平面上的点序列L=(p1, p2, pn)，若存在欧氏平面上的一条直线l，使得将L上的点投影到l上时，L中点的顺序不变，则称为单调点序列。图3-7给出了单调和非单调点序列的实例。单调多线段点序列几何空间（欧

8、氏空间）单调多边形：一个多边形称为单调的，当且仅当其边界可以划分成两个多线段，并使得每个多线段的结点组成的序列都是单调的。显然，凸多边形是单调多边形，但单调多边形不一定是凸多边形，单调多边形甚至不一定是星形多边形。如图给出的非星形多边形是单调多边形。多边形的三角剖分：将多边形划分为若干个不相交的三角形。对多边形进行三角剖分时，可能需要在多边形区域内引入临时结点。不难证明，n个结点的多边形若在进行三角剖分时引入了m个临时结点，则形成的三角形数目一定为n+2m-2。若不需要引入临时结点，则三角剖分称为对角线三角剖分。单调多线段点序列几何空间（欧氏空间）定理：n个结点的多边形若存在对角线三角剖分，则

9、形成的三角形个数恰好为n-2。证明：对结点个数n用归纳法。欧氏空间定理当n=3时，恰有一个三角形，结论显见。设nk时，定理成立。当n=k时（k3），设多边形为P。沿着P的三角剖分之一条边e（e不是多边形P的边）将P分割成两个多边形P1和P2，因为结点数n3，所以这样的分割是可行的。设P1有k1个结点，P2有k2个结点，显然k1 + k2 = k + 2（P1与P2之公共边上的结点被重复计算），k1k且k2k。由归纳假定，对于P1和P2定理成立。故P1有k1-2个三角形，P2有k2-2个三角形。则P的三角形数目为(k1 + k2-2) -2 =k2。定理得证。几何空间（欧氏空间）欧氏平面的任意函

10、数f: R 2 R 2称为一个变换。实际上，有用的变换一定保留了对象的某种性质，而改变了另外一些性质。下面是欧氏平面的一些常见变换。变 换欧氏变换相似变换保留对象的大小和形状的变换。例如，平移变换T，其数学形式为：对任意(x, y)R2，有：T(x, y)(x+a, y+b)，这里a, b为常量。保留对象的形状，但大小可能发生变化的变换。例如，缩放变换S1（Scaling）是一类相似变换。其形式定义为：S1是R 2R 2的函数，对于任意(x, y)R 2，有：S1(x, y) = (ax, by)，这里a, b为常量。几何空间（欧氏空间）保留对象仿射性质的变换。旋转变换R1、反射变换R2都是仿

11、射变换。其定义如下。R1是R 2 R 2的函数，对任意(x, y) R 2 ，有： R1(x, y) = (xcosysin ，xsin+ ycos)这里是一个常数。R1将欧氏平面的所有点以原点为中心，旋转了角度 。R2是R 2 R 2的函数，对任意(x, y) R 2 ，有： R2(x, y) = (xcos2+ ysin2 ，xsin2ycos2)这里是一个常数。R2称为通过原点且与x轴夹角为的直线上的反射变换。防射变换投影变换拓扑变换保留对象投影性质的变换。投影变换的基本思想是在一个灯光源上将一幅图投影到一个屏幕上。经过投影，一个圆可能变成一个椭圆。保留对象拓扑性质的变换。几何空间（基于

12、集合的几何空间）集合：由特定成员组成的一个整体称为一个集合，这些成员称为集合的元素。x是集合A的元素，记为xA。空集合：没有任何元素属于这个集合的集合称为空集合，记为 。集合的包含与子集：若集合B的每个元素也是集合A的元素，则称B包含于A，记为B A，B亦称为A的子集。集合的相等：若集合A与集合B有A B，B A同时成立，则称集合A与集合B相等，记为A=B。集合的基数：集合A的元素个数称为A的基数，记为|A|。幂集：设A为任意集合，P(A)定义为：P(A)=x | xA，P(A)称为A的幂集，记为2A。集合的并：设A、B是任意两个集合，集合x | xA或xB称为集合A与B的并集，记为A B。基

13、于集合的几何空间集合基于集合的几何空间包括集合、关系、函数和凸集等内容。几何空间（基于集合的几何空间）集合的交：设A、B是任意两个集合，集合x | xA且xB 称为集合A与B的交集，记为A B。集合的差：设A、B是任意两个集合，集合x | xA且x B称为A相对于B的差集，记为A-B。全集合：若集合A包含所讨论问题的全部元素，则称A为全集合，记为U。集合的补：全集合U与集合A的差集，称为A的补集，记为A。集合的对称差：设集合A、B是任意两个集合，集合x | xA或xB但x AB称为A与B的对称差。 下图给出了集合的交、并、补运算的示意图。几何空间（基于集合的几何空间）由几个具有给定次序的元素a

14、1, a2, , an组成的序列，称为有序n元组，记作：(a1, a2, , an)。当n=2时，称为序偶。例如，欧氏平面的点(x, y)就是一个序偶，设距离采用欧氏距离，则欧氏平面R 2 可以定义成所有实数序偶的集合，即R 2=(x, y)| x, yR 。设A1, A2, , An是任意集合，则称集合a1, a2, , an| aiAi, i=1, 2, , n为集合A1, A2, , An的笛卡儿积，记为A1A2An。例如，设A=f1, f2, , fn，nN，这里f1, f2, , fn为n个多边形，B=c1, c2, , cm，mN，这里c1, c2, , cm为m种不同颜色，则A与

15、B的笛卡儿积为： A B = (f1, c1), (f1, c2), , (f1, cm), (f2, c1), (f2, c2), , (f2, cm), (fn, c1), (fn, c2), , (fn, cm) 可以看出，AB实际上表述了各个多边形可能的所有着色。关系定义1定义2几何空间（基于集合的几何空间）如前所述，关系表述的是对象间的关联模式。实际应用中，二元关系经常使用。例： A=f1, f2, f3，f1, f2, f3为多边形，B=黄, 红, 蓝，B为三种颜色组成的集合。则：AB=(f1, 黄)，(f1, 红)，(f1, 蓝)，(f2, 黄)，(f2, 红)，(f2, 蓝)，

16、(f3, 黄)，(f3, 红)，(f3, 蓝)1=(f1, 黄)，(f2, 蓝)，(f3, 蓝)2=(f1, 黄)，(f1, 蓝)，(f2,蓝)，(f3, 蓝)3=(f1, 黄)，(f2, 蓝)由关系的定义可知，1、2、3均是A到B的关系，它们表述的是f1、f2、f3可能的着色，其中2、3显然不是确定的着色方案，因为2中f1有两种着色，而3中f3没有着色。关系的一些重要性质由定义4给出。设nN, A1, A2, , An为任意n个集合，A1A2An，则称为A1,A2, , An间的n元关系。当n=2时，称为A1到A2的二元关系。若A1=A2，则称为A上的二元关系。定义3几何空间（基于集合的几何

17、空间）设是A上的二元关系。自反性：若对于每个aA，有(a, a)，则称是自反的。反自反性：若对于每个aA，有(a, a) ，则称是反自反的。对称性：若对于任意a, bA，若(a, b) ，则(b, a) ，则称是对称的。反对称性：若对于任意a, bA，若(a, b)，(b, a) ，则a=b，则称是反对称的。传递性：若对于任意的a, b, cA，若(a, b) ，(b, c) ，则(a, c) ，称是 传递的。若集合A上的关系满足自反性、对称性、可传递性，则称是等价关系。若集合A上的关系满足自反性、反对称性和传递性，则称是A上的偏序关系。定义5定义4定义6几何空间（基于集合的几何空间）函数设f

18、是集合X到集合Y 的一个关系，如果对每个xX 有唯一的yY，使(x, y)f，则称关系f为从XY的函数，记为f: XY，称x为自变量，y为f作用下x的象，记为y=f(x)。定义例如令X=f1, f2, f3，Y=黄, 红, 蓝，f1、f2、f3均为多边形。1=(f1, 黄)，(f2, 黄)，(f3, 蓝)，2=(f1, 黄)，(f2, 红)，(f3, 蓝)，显然，1和2均是XY的函数。对于函数f: XY，X称为f的定义域，记为dom f；Y称为f的值域包，集合y | yY，且存在xX，使得y=f(x)，称为f的值域，记为ran f。左边图给出了函数的直观形式。几何空间（基于集合的几何空间）凸集

19、设S是欧氏平面的点集，x, yS，若从连接x到y的线段上的点均属于S或x=y，则称点x从点y是可见的。定义1设S是欧氏平面的点集，xS，x称为S的观察点，当且仅当对S中的任一点y从x都是可见的。定义2设S是欧氏平面的点集，若S中存在一个观察点，则称S是半凸的。显然，星形多边形是半凸集。定义3设S是欧氏平面的点集，S称为凸集，当且仅当S中的每个点都是S的一个观察点。定义4点集S的凸壳定义为包含S的所有凸集的交集。定义5几何空间（基于集合的几何空间）如下图给出了点x，y，z之间的可见特性。从y可见x和z，但x和z互不可见。由可见性的定义可知，点集S中的可见性是S上的一个二元关系，它满足自反性（从点

20、x可见x自身）、对称性（点x可见y，则y必定可见x），但不满足传递性。下图中，x可见y，y可见z，但x不可见z。由定义3和定义4，可以把多边形分成三大类：非半凸多边形、半凸多边形、凸多边形。如图分别给出了实例。需要注意的是，任意两个凸集的交集仍然是凸集，据此可以给出一个点集的凸壳（Convex Hull）的定义。几何空间（拓扑空间）拓扑学要研究的是世界中存在多少种不同的曲面。一个基本的假设是，所有的曲面都是由理想的弹性膜做成的，可以随意延伸和收缩，但不允许折叠和撕裂。这种延伸和收缩就是拓扑变换。考察右上图中的三种不同形状：图（a）是椭球体，图（b）是规则球体，图（c）是立方体。如果它们都是由理

21、想的弹性膜做成的，则通过延伸和收缩，不难从一种形状变化到另一种形状。也就是说，在拓扑空间中，图（a），图（b），图（c）这三种几何形状是完全对等的。考察右下图的三种不同形状：图（a）是带有一个洞的拓扑曲面，图（b）描述了一个不带洞的拓扑曲面，而图（c）是带有三个洞的拓扑曲面。这时，无论我们怎样延伸或收缩其中的任意一个形状，也不可能将其变成另一种形状。因此，在拓扑空间中，这三种形状是不相同的形状。拓扑空间中三种完全对等的几何形状拓扑空间中三种不同的几何形状拓扑空间几何空间（拓扑空间）在拓扑空间中，欧氏平面可以想象成由理想弹性膜做成的平面，可以任意延伸和收缩。欧氏平面中的一幅图经过任意延伸和收缩后

22、，有些性质发生了变化，但另一些则不会变化。拓扑性质一个点是一条弧的端点一条弧是一条简单弧（自身无交点）一个点在一个区域的边界上一个点在一个区域的内部一个点在一个区域的外部一个区域是开区域（不包含其边界）一个区域是闭区域（包含其边界）一个区域是简单区域（不包含任何洞）一个区域是连通区域（从区域中的任意点通过区内的一条路径可以到达任意其他点）非拓扑性质一个点在一个环内两点间的距离一点到另一点的方向弧的长度一个区域边界的周长一个区域的面积3.2地球椭球体与大地控制地球椭球体大地控制地球椭球体与大地控制（地球椭球体）大地水准面地球椭球体参考椭球用来表示地球椭球体的形状和大小。地球椭球的形状和大小常用长

23、半径a（赤道半径）、短半径b（极轴半径）、扁率、第一偏心率e、第二偏心率e 表示，这些数据又称为椭球元素。地球表面是一个高低不平、极其复杂的表面，这种复杂性给测绘工作者带来极大的不便，所以人们必须寻找一个能用数学公式表示而又基本符合地球自然表面的统一依据面来代替这个自然表面，这样处理测量数据和制图就变得方便了。指与静止的平均海水面重合并延伸到大陆内部的水准面。大地水准面所包围的形体，叫大地球体。假想一个椭圆，绕大地球体短轴旋转所形成的规则椭球体称之为地球椭球体。地球椭球体与大地控制（大地控制）大地控制的主要任务是确定地面点在地球椭球体上的位置，包括点在地球椭球面上的平面位置和点到大地水准面的高

24、度，即经纬度和高程。为此，必须首先了解确定点位的坐标系。是使用三维球面来定义地球表面位置，以实现通过经纬度对地球表面点位引用的坐标系。一个地理坐标系包括角度单位、本初子午线和参考椭球体三部分。在球面系统中，水平线是等纬度线或纬线。垂直线是等经度线或经线。距离空间地理坐标系地球椭球体与大地控制（大地控制）地理坐标系的构成如右下角的图，设PP为地球的旋转轴（又称地轴），它与椭球面的交点P，P分别称为地球的北极和南极。过旋转轴的平面与椭球面的截线称为经线或子午线（如图中MPMAPA椭圆）。国际上公认通过英国格林尼治天文台的经线（PEFP）为首（零）子午线。所以，M点的经度即为过该点的子午圈截面与起始

25、子午面的交角，用表示。并规定由首子午线起，向东为正，称“东经”，0+180；向西为负，称西经，0-180。垂直于地轴并通过地心的平面叫赤道平面，它和椭球面相交的大圆圈（交线），称为赤道（AFGA）。过M点作平行于赤道面与椭球面的截线，称为纬线圈或平行（MEM）。过M点的法线（ML）与赤道面的交角（MLA），叫作地理纬度，用表示。纬度以赤道为0，向北、南极各以90计算，向北为正，称“北纬”，其值由0+90；向南为负，称“南纬”，纬度由0-90。地面上任意点M的地理位置可由经度和纬度来确定，记为M（ ， ）。经线和纬线是地球表面上两组正交（相交为90）的曲线，这两组正交线构成的坐标称为地理坐标系。

26、地理坐标系地球椭球体与大地控制（大地控制）世界各国分别设立了各自的坐标原点，建立了不同的坐标系，这里只简要介绍我国的大地坐标系的情况。大地坐标系1954年北京坐标系1954年北京坐标系存在的问题克拉索夫斯基椭球体与1975年国际大地测量协会推荐的地球椭球（ICA-75椭球）相比，其长轴a约大105m。这样必然会给理论研究和实际工作带来诸多不便克拉索夫斯基椭球面相对大地水准面，自西向东有较大的系统性倾斜。大地水准面差距最大。可达+68m，并且出现在我国经济发达的东部沿海地区。这样必然给大地测量数据的归算工作带来麻烦。在处理重力测量资料中所常用的计算公式，也与克拉索夫斯基椭球体不匹配。解放初期，从

27、苏联1942年坐标系联测并经过平差计算而引伸到我国，建立了1954年北京坐标系。该坐标系的原点在苏联西部的普尔科夫，采用克拉索夫斯基椭球元素。地球椭球体与大地控制（大地控制）1978年4月在西安召开全国天文大地网平差会议确定重新定位，建立我国新的坐标系，为此有了1980年国家大地坐标系。1980年国家大地坐标系选用参考椭球ICA-751980年国家大地原点1980年国家大地原点设在我国中部西安市附近的泾阳县境内，位于西安市西北方向约60公里，故称1980年西安坐标系，又简称西安大地原点。注意：不同国家由于采用的参考椭球及定位方法不同，因此同一地面点在不同坐标系中大地坐标值也不相同。具体参数为

28、a=6378140m，=1/298.257。地球椭球体与大地控制（大地控制）CGCS2000国家大地坐标系的大地测量基本常数分别为：长半轴 a=6378137m扁率=1/298.257222101地心引力常数 GM=3.9860044181014m3/s-2自转角速度 =7.292l1510-5rad s-1短半轴 b=6356752.31414m极曲率半径=6399593.62586m第一偏心率e=0.0818191910428CGCS2000坐标系地球椭球体与大地控制（大地控制）一种国际上采用的地心坐标系。坐标原点为地球质心，其地心空间直角坐标系的Z轴指向国际时间局（BIH）1984.0定

29、义的协议地极（CTP）方向，X轴指向BIH1984.0的协议子午面和CTP赤道的交点，Y轴与Z轴、X轴垂直构成右手坐标系，称为1984年世界大地坐标系。这是一个国际协议地球参考系统（ITRS），是目前国际上统一采用的大地坐标系。GPS广播星历是以WGS-84坐标系为根据的。WGS-84坐标系WGS-84坐标系基本常数长半径：a=63781372m地球引力常数：GM=3986005108 m3/s20.6108 m3/s2正常化二阶带谐系数：C20= -484.1668510-61.310-9，J2=10826310-8地球自转速度：=729211510-11rad/s0.15010-11 ra

30、d/s地球椭球体与大地控制（大地控制）高程分为绝对高程（又称海拔高程）和相对高程。绝对高程是指由高程基准面起算的地面点的垂直高度。地面点之间的高程差，称为相对高程（简称高差）。高程基准面是根据验潮站所确定的多年平均海水面而决定的。高 程 起 算 及 高 程高程系地球椭球体与大地控制（大地控制）1956年黄海高程系：我国规定采用以青岛验潮站1950年1956年测定的黄海平均海水面，作为我国统一高程基准面，凡由该基准面起算的高程，统称为“1956年黄海高程系”。其水准原点设在青岛市的观家山上，对黄海平均海水面的高程值为72.298m。国家各级的高程控制点（水准点、埋石点等）的高程数值，都是由该点起

31、，通过水准测量等方法传算过去，构成全国的高程控制网，为测绘地图提供了必要条件。1956年黄海高程系1985年国家高程基准：由于观测数据的积累，黄海平均海水面发生了微小变化，国家决定启用新的高程系，并命名为“1985年国家高程基准”。该系统是采用青岛验潮站19521979年潮汐观测计算的平均海水面，国家水准原点的高程值为72.260m，使高程控制点的高程产生了微小变化，但对已成地图上的等高线高程的影响可以不计，可认为是没有变化。1956年黄海高程系 实践证明，在不同地点的验潮站所得的平均海水面之间存在着差异，选用不同的基准面就有不同的高程系统。地球椭球体与大地控制（大地控制）大地控制网由平面控制

32、网和高程控制网组成。大地控制网平面控制网高程控制网高程控制网是在全国范围内按照统一规范，由精确测定高程的地面点所组成的控制网，是测定其他地面点高程的控制基础。建立高程控制网的目的是精确求得地面点到大地水准面的垂直高度。高程控制网分一、二、三、四等，各等精度不同，一等点最精确，其余逐级降低。建立高程控制网的方法，主要由水准测量来完成。平面控制网又称水平控制网，其测量的主要目的是确定控制点的平面位置，主要的方法为三角测量和导线测量。3.3地图投影地图投影的概念地图投影的分类地图投影的变形GIS中的地图投影地图投影（地图投影的概念）地图投影是利用一定数学法则把地球表面转换到平面上的理论和方法。它实质

33、上是建立了地球椭球面上的点的经纬坐标与地图面上的坐标之间的函数关系。如果地球表面上有一点A（，），它在平面上的对应点是A（X，Y），按地图投影的定义，其数学转化公式为：由于地球表面不可二维展开，所以任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形，按照不同的需求缩小误差，就产生了各种投影方法。地图投影的概念地图投影（地图投影的变形）地图投影的变形，通常可分为长度、面积和角度三种变形，其中长度变形是其它变形的基础。地图投影的变形长度比长度变形地面上微分线段投影后的长度ds与其相应的实地长度ds之比。如果用符号 表示长度比，那么 =ds/ ds。长度比与1之差值。如用符号V 表示长度变形，则有V =-1

34、。投影上的长度比不仅随该点的位置而变化，而且随着在该点上不同方向而变化。这样，在一定点上的长度比必存在有最大值和最小值，称其为极值长度比，并通常用符号a和b表示极大与极小长度比。极值长度比的方向称为主方向。沿经线和纬线方向的长度比分别用符号m，n表示。在经纬线正交投影中，沿经纬线方向的长度比即为极值长度比，此时m=a或b，n=b或a。面积比地面上微分面积投影后的大小dF与其相应的实地面积dF的比称为面积比，通常用符号P表示，即P=dF/dF 。地图投影（地图投影的变形）面积比与1之差值。用符号Vp 表示，那么Vp =P-1。地面上某一角度投影后的角值 与其实际的角值之差，即- 。在一定点上，方

35、位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，即称最大角度变形，通常用符号 表示。投影上变形值相等的点的连线，有面积比等值线、最大角度变形等值线等。地图投影略图上绘有等变形线，用以直观评价地图投影的变形分布状况和投影使用的优劣。在地图制图实践中为了获得具有较小的变形及其在制图区域内变形分布最均匀的投影，提出使投影上的等变形线与制图区域的轮廓形状基本一致的要求，并把它作为投影选择上的一个基本原则。面积变形角度变形等变形线地图投影（地图投影的变形）地球面上无穷小圆在投影中通常不可能保持原来的形状和大小，而是投影成为不同大小

36、的圆或各种形状大小的椭圆，统称为变形椭圆。变形椭圆一般可以根据变形椭圆来确定投影的变形情况。如投影后为大小不同的圆形，见图(a)，a=b则该投影为等角投影；如果投影后为面积相等而形状不同的椭圆，如图(b)，ab=r2 则该投影为等面积投影；如果投影后为面积不等形状各不相同的椭圆，如图(c)则为任意投影，其中如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等，如b=r则为等距离投影。从变形椭圆中还可看出，变形椭圆的长短半轴即为极值长度比，长轴与短轴的方向即主方向。地图投影（地图投影的分类）地图投影的分类方法很多，总的来说，基本上可以依外在的特征和内在的性质进行分类。根据地图投影的变形（内蕴的特征）分类：根据地

37、图投影中可能引入的变形的性质，可以分为等角、等面积和任意（其中包括等距离）投影。地球表面上无穷小图形投影后仍保持相似，或两微分线段所组成的角度在投影后仍保持相似或不变，这种投影称等角投影(又称正形投影)。在等角投影中，微分圆经投影后仍为圆形，随点位(纬度增加)的变化，面积有较大变形，如图所示。地图投影的分类等角投影地图投影（地图投影的分类）地球面上的图形在投影后保持面积不变，这种投影称为等面积投影。在等面积投影中，微分圆变成不同形状的椭圆，但变形椭圆面积保持相等，只有角度产生很大变形，如图所示。等面积投影既不具备等角性质，又没有等面积性质的投影，统称为任意投影。在任意投影中，如果沿某一主方向的

38、长度比等于1，即a=1或b=1，则这种投影称为等距离投影。任意投影地图投影（地图投影的分类）根据投影面与地球表面的相关位置分类：投影面与地理轴向的相对位置区分为正轴投影(极点在两地极上，或投影面的中心线与地轴一致)、横轴投影(极点在赤道上，或投影面的中心线与地轴垂直)及斜轴投影(极点既不在两地极上又不在赤道上，或投影面的中心线与地轴斜交)。对这一分类可以用左图表示。在这一分类中，当投影面与地球面相切时称为切投影，而投影面与地球面相割时称为割投影。采用不同可展面投影面与地理轴向的相对位置采用可展曲面有圆锥面、圆柱面、平面(曲率为零的曲面)，相应地可以得到圆锥投影、圆柱投影、方位投影。地图投影（地

39、图投影的分类）根据正轴投影时经纬网的形状分类：据这一标志，投影可分为圆锥、圆柱、方位、伪圆锥、伪圆柱、伪方位和多圆锥投影等。投影中纬线为同心圆圆弧，经线为圆的半径(如图C右)，且经纬间的夹角与经差成正比例。该投影按变形性质又可分为等角、等面积和任意（主要为等距离）圆锥投影。等角圆锥投影也称为兰勃特（Lambert）正形圆锥投影，正轴等面积割圆锥投影也称为亚尔勃斯（Albers）投影。圆锥投影地图投影（地图投影的分类）投影中纬线为一组平行直线，经线为垂直于纬线的另一组平行直线，且两相邻经线之间的距离相等(如图C左)。该投影按变形性质可分为等角、等面积和任意(包括等距离)圆柱投影。等角圆柱投影亦叫

40、墨卡托(Mercator)投影，它在海图和小比例尺区域地图上有广泛应用。等角横切椭圆柱投影即著名的高斯克吕格(Gauss-kruger)投影，等角横割椭圆柱投影即通用横轴墨卡托(Universal Transverse Mercator，UTM)投影，它们都广泛用于编制大比例尺地形图。圆柱投影地图投影（地图投影的分类）投影中纬线为同心圆，经线为圆的半径(如图C右)，且经线间的夹角等于地球面上相应的经差。该投影有非透视方位投影和透视方位投影之分。非透视方位投影按变形性质可分为等角、等面积和任意(包括等距离)方位投影。等面积方位投影亦称为兰勃特(Lambert)等面积方位投影。等距离方位投影又称为

41、波斯托(Postel)投影。投影中纬线为同心圆圆弧，经线为交于圆心的曲线（如图B2右）。方位投影仿圆锥投影地图投影（地图投影的分类）投影中纬线为一组平行直线，而经线为某种曲线（图3-24B2左）。仿圆柱投影投影中纬线为同轴圆圆弧，其圆心在中央直径线上，而经线为对称中央直径线的曲线（如图A右）。仿方位投影投影中纬线为同心圆，而经线为交于圆心的曲线（如图B2右）。多圆锥投影地图投影（GIS中的地图）不同的地图资料根据其成图的目的与需要的不同而采用不同的地图投影。当来自这些地图资料的数据进入计算机时，首先就必须将它们进行转换，用共同的地理坐标系统和直角坐标系统作为参照系来记录存储各种信息要素的地理位

42、置和属性，保证同一地理信息系统内(甚至不同的地理信息系统之间)的信息数据能够实现交换、配准和共享，否则后续所有基于地理位置的分析、处理及应用都是不可能的。地图投影对GIS的影响是渗透在GIS系统建设的各个方面的，它们之间的相互关系如下图所示。地图投影与GIS地图投影（GIS中的地图）地图投影是将地球椭球面上的地理信息，科学、准确地转绘到平面上的控制骨架和定位依据。因此，在制作地图过程中，新编地图投影的选择是否恰当，将直接影响地图的精度和实用价值。由于投影的种类日益增多，要恰当地选择投影，必须顾及以下几个因素：制图区域的地理位置，形状和范围地图的内容出版方式GIS中地图投影的选择我国GIS中地图

43、投影应用我国基本比例尺地形图（1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万和1:100万）中大于等于150万时采用高斯克吕格投影，1100万采用正轴等角割圆锥投影。地图投影（GIS中的地图）我国现行的大于及等于150万比例尺的各种地形图都采用高斯克吕格投影，简称高斯投影。中央经线（椭圆筒和地球椭球体的切线）和赤道投影成垂直相交的直线。投影后没有角度变形（即经纬线投影后仍正交）。中央经线上没有长度变形，等变形线为平行于中央经线的直线。根据上述三个条件，即可导出高斯投影的直角坐标基本公式：高斯-克吕格投影高斯投影的基本条件（性质）地图投影（GIS中的地图）式中：X

44、，Y平面直角坐标系的纵、横坐标； 、椭球面上地理坐标系的经纬度(分别自赤道和投影带中央经线起算)； s由赤道至纬度的子午线弧长； N纬度处的卯酉圈曲率半径(可据纬度由制图用表查取)； 2=e2cos2，其中e2 = (a2b2) / b2，为地球的第二偏心率，a，b分别为地球椭球体的长短轴。高斯投影的直角坐标基本公式地图投影（GIS中的地图）高斯投影没有角度变形，面积变形是通过长度变形来表达的。其长度变形的基本公式为：由公式可知长度变形的规律如下：中央经线上没有长度变形，即=0时，=1；在同一条纬线上，离中央经线越远变形越大，即增大，也增大；在同一条经线上，纬度越低，变形越大，即越小，越大。为

45、了控制投影变形不致过大，保证地形图精度，高斯投影采用分带投影方法，即将投影范围的东西界加以限制，使其变形不超过一定的限度。我国规定1:2.5万1:50万地形图均采用经差6分带，大于等于1:1万比例尺地形图采用经差3分带。高斯-克吕格投影投影的变形分析与投影带的划分地图投影（GIS中的地图）从格林尼治零度经线起，自东半球向西半球，每经差6分为一个投影带。高斯投影分带示意图地图投影（GIS中的地图）东半球的30个投影带，是从0起算的往东划分，即东经06，612，174180，用阿拉伯数字130进行标记。各投影带的中央经线位置，可用下式计算（式中n为投影带带号）西半球的30个投影带，是从180起算的

46、，回到0，即西经180174，174168，60；各带的带号为3160，各投影带中央经线的位置，可用下式计算（式中n为投影带带号）：L0=(6n-3)L0=(6n-3)-3606分带法3分带法从东经130算起，每3为一带，将全球划分为120个投影带，即东经130430，430730，东经17830至西经17830，西经130至东经130。其中央经线的位置分别为3，6，9，180，西经177，3，0。这样分带的目的在于使6带的中央经线均为3带的中央经线。即3带中有半数的中央经线同6带重合，在从3带转换成6带时，可以直接转用，不需任何计算。地图投影（GIS中的地图）高斯投影平面直角网，它是由高斯投

47、影每一个投影带构成一个单独的坐标系。投影带的中央经线投影后的直线为X轴（纵轴），赤道投影后的直线为Y轴（横轴），它们的交点为原点。高斯投影平面直角坐标网A、B两点原来的横坐标分别为：YA=245 863.7mYB=-168 474.8m纵坐标轴西移500公里后，其横坐标分别为：YA=745 863.7mYB=331 525.2m加上带号，如A、B两点位于第20带，其通用坐标为：YA=20 745 863.7mYB=20 331 525.2m地图投影（GIS中的地图）正等角割圆锥投影变形的分布规律：角度没有变形，即投影前后对应的微分面积保持图形相似，故亦可称为正形投影；等变形线和纬线一致，同一条

48、纬线上的变形处处相等；两条标准纬线上没有任何变形； 在同一经线上，两条标准纬线外侧为正变形（长度比大于1），而两条标准纬线之间为负变形（长度比小于1），因此，变形比较均匀，绝对值也比较小；同一条纬线上等经差的线段长度相等，两条纬线间的经纬线长度处处相等。投影变形规则直角坐标系正轴等角圆锥投影3.4空间坐标转换坐标系转换投影转换空间坐标转换（坐标系转换）坐标系XOY的原点在坐标系XOY中的坐标为（a, b），X轴与X轴的夹角为。在XOY系中有一点P，其坐标为（X, Y），则由坐标系平移公式与坐标系旋转公式可得： X=Xcos -Ysin+a Y=Ycos + Xsin+b平面直角坐标系之间的转换

49、空间坐标转换（坐标系转换）设有两个三维空间坐标系O1-X1Y1Z1和O2-X2Y2Z2具有如图所示的关系，则同一点在两个坐标系中的坐标（X1, Y1, Z1）和（X2, Y2, Z2）之间有如下关系： 为坐标平移参数，X、Y、Z 为坐标旋转参数（也称为三个欧勒角），k为坐标比例系数。上式即为著名的Bursa-Wolf模型。 R1(X) =， R2(Y) =，R3(Z) = +(1+k)R1(X)R2(Y)R3(Z) ，式中不同空间直角坐标系之间的转换空间坐标转换（坐标系转换）同一坐标系内，大地坐标系和空间直角坐标系之间的变换如下：（1）由（B, L, H）求（X, Y, Z） X=(N+H)c

50、osBcosL Y=(N+H)cosBsinL Z=N(1-e2)+HsinB 式中，H为P点的大地高，N为卯酉圈的曲率半径， 。（2）由（X, Y, Z）求（B, L, H） 大地坐标系和空间直角坐标系之间的转换在求B 时，应使用迭代法。为减少迭代次数，按下述方法求得的B的初值只需要迭代两次即可满足精度要求：空间坐标转换（坐标系转换）西安80坐标系与北京54坐标系其实是一种椭球参数的转换。在同一个椭球里的转换都是严密的，而在不同的椭球之间的转换是不严密的，因此不存在一套转换参数可以全国通用的。在每个地方会不一样，因为它们是两个不同的椭球基准。两个椭球间的坐标转换，一般而言，比较严密的是用七参数布尔莎模型，即X平移，Y平移，Z平移，X旋转（W