大学高等数学-09反常积分及其收敛性-习题课

1、二、无界函数的反常积分节积分限有限被积函数有界一、无穷限的反常积分机动目录上页下页返回结束(广义积分)章一、无穷限的反常积分引例. 曲线和直线及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义1. 设若存在 ,则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则定义( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称发散 .无穷限的反常积分也称为第一类反常积分. 并非不定型 ,说明: 上述定义中若出现 机动 目录 上页 下页

2、 返回 结束 它表明该反常积分发散 .引入记号则有类似牛 莱公式的计算表达式 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 计算反常积分解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析:原积分发散 !注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .例2. 证明第一类 p 积分证:当 p =1 时有 当 p 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p1 时发散 .因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为当 p1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 计算反常积分解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、无界函数的反

3、常积分引例:曲线所围成的与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义2. 设而在点 a 的右邻域内无界,存在 ,这时称反常积分收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分发散 .类似地 , 若而在 b 的左邻域内无界,若极限数 f (x) 在 a , b 上的反常积分, 记作则定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 则称此极限为函 若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明: 而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界 ,为瑕点(奇点) .例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 间断点,而不是反常积分.

4、 则本质上是常义积分, 则定义注意: 若瑕点的计算表达式 : 则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则则可相消吗?机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确: , 积分收敛例4. 计算反常积分解: 显然瑕点为 a , 所以原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 讨论反常积分的收敛性 . 解:所以反常积分发散 .例6. 证明反常积分证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .当 q1 时所以当 q a) .定理7. (极限审敛法2)定理4 目录 上页 下页 返回 结束 则有: 1) 当2) 当例5. 判别

5、反常积分解:利用洛必达法则得根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .例6. 判定椭圆积分定理4 目录 上页 下页 返回 结束 散性 . 解:由于 的敛根据极限审敛法 2 , 椭圆积分收敛 . 类似定理5, 有下列结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 判别反常积分的敛散性 .解:称为绝对收敛 . 故对充分小从而 据比较审敛法2, 所给积分绝对收敛 .则反常积分 三、 函数1. 定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 下面证明这个特殊函数在内收敛 . 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 综上所述 , 2. 性质(1) 递推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (分部积分)注意到

6、:(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (3) 余元公式: (证明略)(4)机动 目录 上页 下页 返回 结束 得应用中常见的积分这表明左端的积分可用 函数来计算.例如,内容小结 1. 两类反常积分的比较审敛法和极限审敛法 . 2. 若在同一积分式中出现两类反常积分,习题课 目录 上页 下页 返回 结束 可通过分项使每一项只含一种类型的反常积分,只有各项都收敛时,才可保证给定的积分收敛 .3. 函数的定义及性质 .思考与练习P263 题1 (1), (2), (6), (7) P264 题5 (1), (2) 作业P263 1 (3), (4), (5), (8)2 ; 3习题课一、

7、与定积分概念有关的问题的解法机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、有关定积分计算和证明的方法定积分及其相关问题 第五章 一、与定积分概念有关的问题的解法1. 用定积分概念与性质求极限2. 用定积分性质估值3. 与变限积分有关的问题机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 求解: 因为时,所以利用夹逼准则得因为依赖于且1) 思考例1下列做法对吗 ?利用积分中值定理原式不对 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 2) 此类问题放大或缩小时一般应保留含参数的项 . 如, P265 题4解：将数列适当放大和缩小，以简化成积分和：已知利用夹逼准则可知(考研98 ) 例2. 求机动 目录 上页

8、 下页 返回 结束 思考:提示:由上题机动 目录 上页 下页 返回 结束 故练习: 1.求极限解：原式2. 求极限提示：原式左边= 右边机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3.估计下列积分值解: 因为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 证明证: 令则令得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5.设在上是单调递减的连续函数，试证都有不等式证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 明对于任何例6.解：且由方程确定 y 是 x 的函数 , 求方程两端对 x 求导, 得令 x = 1, 得再对 y 求导, 得机动 目录 上页 下

9、页 返回 结束 故例7.求可微函数 f (x) 使满足解: 等式两边对 x 求导, 得不妨设 f (x)0,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意 f (0) = 0, 得机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8. 求多项式 f (x) 使它满足方程解: 令则代入原方程得两边求导:可见 f (x) 应为二次多项式 ,设代入 式比较同次幂系数 , 得故机动 目录 上页 下页 返回 结束 再求导:二、有关定积分计算和证明的方法1. 熟练运用定积分计算的常用公式和方法2. 注意特殊形式定积分的计算3. 利用各种积分技巧计算定积分4. 有关定积分命题的证明方法思考: 下列作法是否正确?机动 目录

10、上页 下页 返回 结束 例9. 求解: 令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 例10. 求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例11. 选择一个常数 c , 使解: 令则因为被积函数为奇函数 , 故选择 c 使即可使原式为 0 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例12. 设解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例13. 若解: 令试证 :则机动 目录 上页 下页 返回 结束 因为对右端第二个积分令综上所述机动 目录 上页 下页 返回 结束 例14. 证明恒等式证: 令则因此又故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 例15.试证使分析:要证即故作辅助函数机动 目录

11、 上页 下页 返回 结束 至少存在一点证明: 令在上连续,在至少使即因在上连续且不为0 ,从而不变号,因此故所证等式成立 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 故由罗尔定理知 ,存在一点思考: 本题能否用柯西中值定理证明 ?如果能, 怎样设辅助函数?要证: 提示: 设辅助函数 例15 目录 上页 下页 返回 结束 例16.设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 (3) 在(a, b) 内存在与 相异的点 , 使 (03考研) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 机动 目录 上页 下页 返回 结束 即