《几何画板》培养学生探索、创新能力的窗口

1、抛物线焦焦点性质质的探索索（说课课）高中新教教材（试试验修订订本必修）数学第第二册（上）抛抛物线的的习题课课教材分析析1、1 教材材的地位位与作用用“抛物线线焦点的的性质”是抛物物线的重重要性质质之一，它是在在学生学学习抛物物线的一一般性质质的基础础上，学学习和研研究的抛抛物线有有关问题题的基本本工具之之一；本本节教材材对于培培养学生生观察、猜想、概括能能力和逻逻辑推理理能力具具有重要要的意义义。教学目的的全日制普普通高级级中学数学教教学大纲纲第222页“重视现现代教育育技术的的运用”中明确确提出：在数学学教学过过程中，应有意意识地利利用计算算机网络络等现代代信息技技术，认认识计算算机的智智能

2、图形形、快速速计算、机器证证明、自自动求解解及人机机交互等等功能在在数学教教学中的的巨大潜潜力，努努力探索索在现代代信息技技术支持持下的教教学方法法、教学学模式。设计和和组织能能吸引学学生积极极参与的的数学活活动，支支持和鼓鼓励学生生运用信信息技术术学习数数学、开开展课题题研究，改进学学习方式式，提高高学生的的自主学学习能力力和创新新意识。因此本本人在现现行高中中新教材材（试验验修订本本必修）数学第第二册（上）抛抛物线这这一节内内容为背背景材料料，以多多媒体网网络教室室为场地地，以几何画画板为为教学工工具与学学习工具具，设计计了一堂堂抛物物线焦点点性质的的探索，具体体目标如如下：知识目标标：了

3、解解焦点的的有关性性质；并并掌握这这些性质质的证明明方法；体会数数形结合合思想与与分类讨讨论思想想在解决决解析几几何题中中的指导导作用能力目标标：使学学生学会会研究数数学问题题的基本本过程，能够根根据条件件建立恰恰当的数数学模型型；培养养辩证唯唯物主义义思想和和辩证思思维能力力（主要要包括量量变与质质变，常常量与变变量，运运动与静静止）培培养学生生通过计计算机来来自主学学习的能能力与创创新的能能力。情感目标标：培养养学生不不畏困难难，勇于于钻研、探索、大胆创创新的精精神，在在挫折中中成长锻锻炼，培培养学生生良好的的心理素素质和抗抗挫折能能力，通通过抛物物线焦点点性质的的探索及及证明，使学生生得

4、到数数学美和和创造美美的享受受。教学内容容、重点点、难点点及关键键本节安排排两节课课，第一一节课：主要内内容是利利用几几何画板板探索索抛物线线的有关关性质；第二节节课：证证明第一一节所得得到的有有关性质质。重点：（1）如如何利用用几何何画板探索、发现抛抛物线焦焦点的性质；（2）如何证证明这些些性质。难点；（1）如如何利用用几何何画板探索、发现抛抛物线焦焦点的性性质；（2）如如何证明明这些性性质。2 教教学策略略及教法法设计学生在网网络教室室（每人人一机），其中装有几何画画板软件及上上课系统统，每个个学生的的窗口，其他学学生及教教师都可可以通过过教师机机切换，从而和和其他学学生交流流，也可可以通

5、过过网上论论坛交流流研究结结果。3 网网络教学学环境设设计学生在网网络教室室（每人人一机）中有几几何画板板软件，学生通通过教师师提供的的网络课课件，自自已阅读读，下载载有关课课件，利利用几几何画板板的操作、试验、猜想，通过自自已的研研究获得得结论，并互相相讨论观观察到的的现象、交流研研究结果果。4 教学过过程设计计41 使学学生学会会研究数数学问题题的基本本过程，能够根根据条件件建立恰恰当的数数学模型型 问题11 回顾顾一下抛抛物线的的定义，并根据据抛物线线的定义义思考用用几何何画板如何作作出焦点点在x轴轴上的抛抛物线图图象。由于创设设了一个个创作的的几何何画板的窗口口及网络络窗口，学生通通过

6、网络络学习，得到以以上问题的多种作作法，以以下就其其中的一一种作法法作为探探索、研研究抛物物线焦点点性质的的基本图图形。具具体作法法如下：（1）在在x轴上上任取一一点，标标记为FF（作为为焦点）（2）作作出点FF关于yy轴的对对称点，并过作作x轴的的垂线，标记为（作为准准线）（3）在在上任取取一点EE，过点点E作的的垂线；（4）连连结EFF，并作作线段EEF的中中垂线与与相交于于点A；（5）生生成点AA的轨迹迹（即抛抛物线的的图象如如右图）（说明：将以上上创作的的作品，以下记记作学件件1-学生制制作的课课件）-设置意图图：以上上过程通通过创设设了学生生学习与与创作的的几何何画板窗口与与网络窗窗

7、口，在在几何何画板这个窗窗口中学学生轻易易地建立立了一个个研究数数学问题题的几何何模型，培养了了学生的的动手能能力，激激法了学学生学习习的兴趣趣，吸引引学生积积极参与与数学活活动。42 利用用几何何画板作图的的特点，培养学学生试验验、猜想想的合理理思维能能力 在在完成学学件1的的基础上上，根据据几何何画板不能直直接作出出直线与与轨迹的的交点的的前提下下，提出以以下问题题。（请请下载课课件2-教师自自制课件件，研究究问题22） 问题22 设设点A是是抛物线线上任一一点，请请作出过过焦点FF的弦AAB与抛抛物线的的另一个个交点BB。 师：当当AB垂垂直于xx轴时。点B可可能有哪哪些特征征？能否否应

8、用它它来解决决这个问问题？生1：当当AB为为通径时时，发现现点A与与点B和和它们在在准线上上的射影影、组成一一个矩形形且原点点O是对对称中心心，所以以先作出出点A在在准线上上的射影影，然后后作出点点关于xx轴的对对称点，再过点点作准线线的垂线线与抛物物线的交交点B。 （具具体操作作由学生生通过几何画画板的的作图功功能来实实现）师：请拖拖动点AA在抛物物线上运运动来验验证一下下，是否否成立，发现不不成功。生2：当当AB为为通径时时，发现现点A在在准线上上的射影影、O、B三点点在一直直线上，因此只只要作出出直线与与直线AAB的交交点，师：拖动动点A在在抛物线线上运动动来验证证一下，结结果成功功了。

9、设置意图图： 从从以上的的探索过过程让学生体体会到数数学知识识发现的的一般过过程：“数学事事实首先先是被猜猜想，然然后是被被证实”，即数数学知识识的发现现是在不不断的合合情猜想想下，借借助数学学软件自自已独立立验证或或否定猜猜想，最最后再给给出严格格的证明明。猜想想正是数数学发现现与创造造的第一一步，这这一教学学流程中中数学软软件不仅仅成为教教师的教教学习工工具，又又成为学学生学习习的工具具，并且且让学生生感到探探索的无无限乐趣趣，由此此可见几何画画板为为学生探探索、研研究数学学知识提提供了一一片广阔阔的天空空，为培培养学生生合理思思维能力力创造一一个理想想的窗口口。利用几几何画板板探索索创造

10、性性的解题题方法，培养学学生的创创新能力力问题3 ：（11）抛物物线上离离焦点最近的的点是。 （2）抛物线线上离点点H（aa，0）最近的的点恰好好是顶点点O的aa的范围围？（请下载载课件33-教师师自制课课件，研研究问题题3） 教师师启发：当点HH（a，0）在在x轴的的负半轴轴上时，满足条条件；当当点H（a，00）在xx的正半半轴上离离焦点较较远时，明显发发现不是是顶点OO离点HH（a，0）最最近。在在存在与与不存在在之间必必存在一一个临界界点，请请同学探探索出这这个临界界点的位位置？学生1：设抛物物线上任任一点，作出线线段AHH，并用用几何何画板中度量量功能度度量出线线段AHH的长，同同时度

11、量量出线段段OH的的长，将将线段AAH的长长与线段段OH的的长作差差的，并并拖动点点A在抛抛物线上上滑动，观察差差的值均均大于等等于0的的点H是是满足条条件的点点，然后后不断地地调整点点H在xx轴上的的位置，最后发发现当点点H在xx正半轴轴上离原原点的距距离正好好是1的的点是临临界点。教师：从从以上的的探索过过程，你你能归纳纳出其中中所隐含含的数学方方法吗？学生2：从以上上的操作作过程得得数量关关系：（当且仅仅当点AA与点OO重合取取到“=”），即（当且且仅当xx=0取取到最小小值a）。进进一步得得以下解解法：解：， 即即 又因为为 ， 所以以，若，即，当当时，即即 若，即即，当时，若，即，当

12、时， 故aa的范围围为教师：是是否还有有其它的的解决方方法？（几分钟钟后）学生3：（如右右图学件件2-学学生制作作的课件件）以点HH为圆心心，|OOH|长长为半径径作圆HH，拖动动点H在在x轴上上滑动，使得抛抛物线全全在圆HH以外的的点H的的范围即即为所求求。教师：谁谁能从中中归纳出出解题方方法？数数分种后后，没有有人能解解决。 教师：从从以上的的操作过过程得位位置关系系：抛物物线上的的点均在在圆H以以外，转转化为数数量关系系：对于于抛物线线上任一一点A都都成立，即对于于抛物线线上任一一点A都都成立。又因为为，所以以在上恒成成立。即即在上恒成成立，所所以在上恒成成立，故故在上恒成成立，所所以。

13、设置意图图：以上上教学中中，教师师的角色色由教学学内容的的灌输者者转变为为给学生生提供学学习工具具和学习习材料的的服务者者，这为为学生通通过自已已的独立立自主的的探索而而获得知知识创造造一个自自由、广广阔的天天空；学学生由原原来的“学习数数学”转变为为“研究数数学”，从学学习者到到研究者者的变化化，完全全改进学学习方式式，提高高学生的的自主学学习能力力和创新新意识。34 利用用几何何画板培养辩辩证唯物物主义思思想和辩辩证思维维能力辩证唯物物主义告告诉我们们，现实实世界静静止是相相对的，运动是是绝对的的。二十十一世纪纪的几何何是动态态的几何何，主要要研究图图形在变变化运动动过程中中点、线线等基本

14、本元素之之间的位位置与数数量关系系。教师导：从上面面问题33的探索索过程，我们发发现在特特殊状态态下发现现的结论论有些是是正确，有些是是不正确确的。但但是它为为我们探探索正确确的方法法提供了了思路与与方向，然后我我们应用用几何何画板的作图图、动态态、度量量等功能能轻而易易举地验验证了我我们的猜猜想。所所以在解解析几何何中要充充分利用用变与不不变；量量变与质质变；特特殊与一一般等辩辩证关系系来指导导我们解解题。请请同学们们解决下下面问题题4（请下载载课件44-教师师自制课课件，研研究问题题4）。问题4 ：ABB是抛物物线过焦焦点F的的弦，MM是ABB的中点点，是抛抛物线的的准线，N为为垂足。在不

15、增增加条件件，但可可以设交交点及连连线的前前提下，探索在在以下几几个方面面的有关关性质：（1）最值；（2）不变位位置关系系；（33）相等等的数量量关系。 经过一段段时间的的探索，得到以以下几个个结论：（1）；（22）（33）以为为直径的的圆与焦焦点弦AAB切于于焦点FF；（44）以AAB为直直径的圆圆与准线线相切；（5）（为准线线与x轴轴的交点点）；（6）设设MN交交抛物线线于Q，则Q平平分MNN。并且且在课上上提出了了证明的的思路。另外还还有以下下几个猜猜想没有有证明（如右图图学件3-学学生制作作的课件件），但但在几几何画板板中已已得到验验证：过点A的的抛物线线的切线线与y轴轴的交点点为点A

16、A在y轴轴上的射射影与原原点O的的中点；过点A的的抛物线线的切线线平行于于焦点FF与点BB在y轴轴上的射射影的连连线。 课后反反思 英国作作家阿尔尔道斯赫胥黎黎曾说：“宇宙中中只有一一个角落落是你一一定能够够改善的的，那就就是你自自已。”但在工工业化社社会当中中，个体体的学习习总是处处于被动动、受奴奴役地位位，人们们几乎没没有别的的选择。因此学学生没有有条件独独立自主主地改善善自已。而在即即将到来来的信息息化社会会中，个个体的学学习是成成功的、快乐的的、自由由的学习习。这种种学习，一定是是利用信信息技术术的学习习，一定定是基于于互联网网的学习习。所以以在这个个信息的的时代，创新的的时代，在知识

17、识爆炸、信息爆爆炸的今今天，灌灌输的教教学方式式与被动动的学习习方式已已很难顺顺应时代代潮流了了。改革革传统的的教学方方式与学学习方式式，采用用独立自自主的学学习、创创新的学学习，已已成为一一种必然然。教学过程程流程图图问题1：请你回回顾用几何画画板如如何作出出焦点在在x轴上的的抛物线线图象?问题2：当拖动动E点在在准线滑滑动时，即点AA在抛物物线（）上移移动，（请下载载课件22），利用用几何何画板探索、猜想、验证与与焦半径径AF有有关的性性质？问题3：如图，抛物线线上离点点H（aa，0）最近的的点恰好好是顶点点O的充充要条件件是（请下载载课件33探索研研究）问题4：AB是是抛物线线过焦点点F的弦弦， ，请下载下下图中的