湖南省长沙市谷山中学高三数学理模拟试题含解析

1、湖南省长沙市谷山中学高三数学理模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集,集合,则等于（ ）A. B. C. D. 参考答案：C. 全集,集合,.2. 若不等式(a2)x2+2(a2)x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是 ( )A.(,2 B. (2,2 C. 2,2 D.(,2)参考答案：B略3. 复数满足，则A. B. C. D. 参考答案：D4. 一算法的程序框图如图所示，若输出的，则输入的最大值为( )A B C. D0参考答案：B5. 一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体

2、不可以是（ ）A球 B三棱锥 C正方体 D圆柱圆的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为圆；三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图可以为全等的三角形；正方体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图均为正方形；圆柱的正视图（主视图）、侧视图（左视图）为矩形，俯视图为圆。参考答案：D6. 复数的共轭复数是（ ） A2+i B2i C1+i D。1i参考答案：D7. 已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A1BCD参考答案：C【考点】简单线性规划的应用【专题】压轴题；数形结合；转化思想【分析】本题考查的知识点是线段规划和指数的运算性质，由指数的运算性质，我们可以将目标函数转

3、化为：z=的形式，由正数x、y满足不难画出满足约束条件的可行域，根据图象不难求出目标函数的最优解【解答】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y的最大值为4，又z=4x?=的最小值为，故选C【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解8. 双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为（）ABC

4、D参考答案：D【考点】双曲线的简单性质【分析】将x=c代入双曲线方程求出点M的坐标，通过解直角三角形列出三参数a，b，c的关系，求出离心率的值【解答】解：将x=c代入双曲线的方程得y=即M（c，）在MF1F2中tan30=即=解得e=故选：D【点评】本题考查双曲线中三参数的关系：c2=a2+b2，注意与椭圆中三参数关系的区别；求圆锥曲线的离心率就是求三参数的关系9. 若奇函数f（x）的定义域为R，则有（）Af（x）f（x）Bf（x）f（x）Cf（x）?f（x）0Df（x）?f（x）0参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据奇函数的定义，奇函数f（x）的定义域为R，则f（x）=f（x），

5、且f（0）=0，观察四个选项可知C正确【解答】解：奇函数f（x）的定义域为R，f（x）=f（x），且f（0）=0，即f（x）?f（x）0故选C10. 已知全集，集合, ，则图中的阴影部分表示的集合为A B C D参考答案：B二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是 参考答案：12. 若不等式|x1|x4|a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_参考答案：略13. 在ABC中，D为AB的一个三等分点，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，则cosB=参考答案：【考点】余弦定理【专题】计算题；转化思想；数形结合法；解三角形

6、【分析】令AC=AD=1，CD=m0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得关于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值【解答】解：令AC=AD=1，CD=m0，则：AB=3，BC=3m，则利用余弦定理可得：故答案为：【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想，属于中档题14. 函数的定义域为_。参考答案：略15. 已知平面向量，不共线，且两两之间的夹角都为，若|2，|2，|1，则+与的夹角是_参考答案：60 16. 如果x=x+x，xZ，0 x1，就称x表示x的整数部分，x表示x的小数部分已知数列an满足a1=，an+1=a

7、n+，则a2017等于（）参考答案：【考点】数列的概念及简单表示法【分析】由已知求出数列的前四项，从而猜想an=4（n1）+，由此能求出结果【解答】解：，an+1=an+，a2=2+=4+，=8+，a4=10+=12+，=16+，an=4（n1）+，a2017=42016+=8064+【点评】解决该试题的关键是对于两个数列通项公式的分析和求解，然后能合理的选用求公式来得到结论17. 已知x，y满足若的最小值为_参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为（）求椭圆方程；（）斜率为k的直线l过点

8、F，且与椭圆交于A，B两点，P为直线x=3上的一点，若ABP为等边三角形，求直线l的方程参考答案：【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题【分析】（）由已知条件得c=2，a2=b2+c2，由此能求出椭圆方程（）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0由此利用韦达定理、椭圆弦长公式结合等边三角形性质能求出直线l的方程【解答】解：（）椭圆=1的一个焦点为F（2，0），且离心率为c=2，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=2椭圆方程为 （）直线l的方程为y=k（x2）联立方程组，消去y并整理，得（3k2+1）x212k2x+12k26=0设A（x1，y1

9、），B（x2，y2）故，则|AB|=|=设AB的中点为M（x0，y0）可得，直线MP的斜率为，又 xP=3，所以当ABP为正三角形时，|MP|=，解得k=1直线l的方程为xy2=0，或x+y2=019. 如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MNCD（）求证：ADCD；（）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值参考答案：解：（）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EMAN，且EM=AN；四边形ANME是平行四边形，MNAE；MNCD，AECD，即CDAE；取AD中点O，连PO，PAD

10、是等边三角形，则POAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD；PO平面ABCD，POCD，即CDPO；故CD平面PAD，AD?平面PAD；CDAD，即ADCD；（）由AB=AD，ADCD，得?ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；，取z=1，；=（，0，）；设直线MN与平面PBD所成的角为，则：sin=|cos，|=考点： 直线与平

11、面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系专题： 空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用分析： （）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MNCD容易得到CDAE，而根据已知条件可以说明PO平面ABCD，从而得到CDPO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到ADCD；（）取BC中点F，连接OF，由（）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为，从而根据sin=即可求得答案解答： 解

12、：（）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EMAN，且EM=AN；四边形ANME是平行四边形，MNAE；MNCD，AECD，即CDAE；取AD中点O，连PO，PAD是等边三角形，则POAD；又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD；PO平面ABCD，POCD，即CDPO；故CD平面PAD，AD?平面PAD；CDAD，即ADCD；（）由AB=AD，ADCD，得?ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），P（0，0，），E（，0，

13、）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；，取z=1，；=（，0，）；设直线MN与平面PBD所成的角为，则：sin=|cos，|=点评： 考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式20. （本小题满分12分）已知tan（）3，（0，） （1）求tan的值； （2）求sin（2）的值参考答案：（1）由tan（）3可得3解得tan2（2）由tan2，（0，），可得sin，cos因此sin22sincos，cos212sin2，s

14、in（2）sin2coscos2sin21. 在极坐标系下，已知圆和直线。（）求圆和直线的直角坐标方程；（II）当时，求直线与圆公共点的极坐标。参考答案：解：（）圆，即圆的直角坐标方程为：，即直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。（II）由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。略22. （12分）欧洲很多国家及美国已经要求禁止在校园出售软饮料，禁止向中小学生销售可口可乐等高热量碳酸饮料，原因是这些饮料被认为是造成儿童 肥胖问题日益严重的主要原因之一为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级学生进行了问卷调查得到列联表：平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖常喝不

15、常喝合计肥胖2不肥胖18合计30已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为（1）请将列联表补充完整（2）是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由（3）现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中（2名女生），抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？参考数据：P（K2K）0.150.100.050.0250.0100.0050.001K2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）参考答案：考点：独立性检验的应用专题：应用题；概率与统计分析：（1）根据全部30人中随机抽取1人看营养说明的学生的概率为，做出看营养说明的人数，这样用总人数减去看营养说明的人数，剩下的是不看的，根据所给的另外两个数字，填上所有数字（2）根据列联表所给的数据，代入求观测值的公式，把观测值同临界值进行比较，得到有99.5%的把握说看营养说明与性别有关（3）利用列举法，求出基本事件的个数，即可求出正好抽到一男一女的概率解答：解：（1）设常喝碳酸饮料肥胖的学生有x人，x=6；常喝不常喝合计肥胖628不胖41822合计10203