复变内容lecture信号的基本概念

1、Spring, 2015By Y N Zhang1信号与系统Signals and Systems1、信号的基本概念Spring, 2015By Y N Zhang21.1 什么是信号？信息（Information）信息是对客观世界中各种事物的运动状态和变化的反映，是客观事物之间相互联系和相互作用的表征，表现的是客观事物运动状态和变化的实质内容。通常情况下，信息表现为我们感兴趣的某种现象。Spring, 2015By Y N Zhang3信号（Signal）信号是信息的载体。通常表现为某种变化的物理量。常见的信号实例：RC电路中电源或电容两端电压随时间的变化规律；通过麦克风记录的语音（图1.1

2、）；利用相机拍摄的图像（图1.2）；一周股指变化；大千世界，变化莫测。信息社会，我们就置身于信号的海洋中。Spring, 2015By Y N Zhang4图1.1 语音信号Spring, 2015By Y N Zhang5图1.2 图像信号Spring, 2015By Y N Zhang61.2 信号的数学描述为了有效地进行信息处理，就需要用数学的语言来描述信号。在数学上，信号表示为若干独立变量的函数。Spring, 2015By Y N Zhang7：信号输出变量输入变量一般情况下，信号可以表示为 通常， ， 。 例如，一幅彩色图像，可以描述为二维空间坐标下的RGB三个通道。对应上式，m=

3、3，n=2。Spring, 2015By Y N Zhang8在本课程中，我们分析的信号通常只有一个输入变量，一个输出变量。而且约定俗成，我们将输入变量称为时间，并用t来表示，即使其在实际应用中和时间没有任何关系。信号Spring, 2015By Y N Zhang91.3 信号的各种重要属性连续时间信号（continuous-time signal）如果信号的输入变量t是连续的，即t为实数或者实数轴上的某些区间。 例如， ， ，或者 。常见的连续时间信号：Spring, 2015By Y N Zhang10离散时间信号（discrete-time signal）如果信号的输入变量是离散的，即

4、输入变量只定义在实数轴的某些离散集合上。习惯上，我们用整数或者其子集来表示输入变量。常见的离散时间信号：Spring, 2015By Y N Zhang11图1.3 连续时间信号 vs 离散时间信号Spring, 2015By Y N Zhang12能量（energy）如果信号是RC电路中的电压或者电流，我们已经定义过相应的能量概念。对这些具体应用中的能量概念进行抽象概括，得到如下定义，对于连续时间信号，其在时间段 的能量为：Spring, 2015By Y N Zhang13对于离散时间信号，其在某个时间段 的能量为：Spring, 2015By Y N Zhang14如果信号定义在整个时间

5、轴上，即 ，或 ，则信号的总体能量为：Spring, 2015By Y N Zhang15功率（power）类似信号能量的定义，我们概括出信号功率的定义，对于连续时间信号，其在时间段 的平均功率为：Spring, 2015By Y N Zhang16对于离散时间信号，其在某个时间段 的平均功率为：Spring, 2015By Y N Zhang17如果信号定义在整个时间轴上，即 ，或 ，则信号的平均功率为：Spring, 2015By Y N Zhang182、信号的运算Spring, 2015By Y N Zhang19对信号的运算涉及两个方面对信号输出变量的运算；对信号输入变量的运算。这些

6、运算来源于实际问题中对信号的各种处理，并经过数学建模而成。本课程重点讨论一些最基本的信号变换（signal transform）。下面的分析主要针对信号的输入变量，即时间t。Spring, 2015By Y N Zhang202.1 信号时间变量的运算平移（time shift）给定信号 ，信号平移的结果为新的信号 ，这里常数 。对于离散时间信号，同样定义信号的平移为 和 。可以看到，信号平移是指两个波形完全相同的信号之间的相互关系。Spring, 2015By Y N Zhang21翻转（time reversal）给定信号 ，信号翻转的结果为新的信号 。对于离散时间信号，同样定义信号的翻转

7、为 和 。Spring, 2015By Y N Zhang22尺度变换（time scaling）给定信号 ，信号的尺度变换为新的信号 。对于离散时间信号，尺度变换需要格外小心！连续时间信号的尺度变换对离散时间信号往往并不存在。（Why？）Spring, 2015By Y N Zhang23图2.1 信号时间变量的运算Spring, 2015By Y N Zhang24对连续时间信号而言，我们通常对如下信号运算感兴趣： 和 。对包含平移、翻转和尺度变换的复合运算，常规的步骤：先根据 进行信号的平移；然后根据 进行尺度变换和翻转。Spring, 2015By Y N Zhang25例1.1，由

8、到 变换过程：Spring, 2015By Y N Zhang262.2 周期信号周期（periodic）性是信号的一种极其重要的属性。连续时间信号 ，如果存在正实数T，对时间变量t的所有取值，都有 则信号 为以T为周期的周期信号。如果T为信号的周期，则任意mT也是，这里m为任意整数。（Why？）Spring, 2015By Y N Zhang27基本周期（fundamental period)在周期信号的所有周期T中，最小正值 定义为周期信号的基本周期。特例：如果信号 。（基本周期如何确定？）非周期信号（aperiodic）如何定义？Spring, 2015By Y N Zhang28对于离

9、散时间信号，存在类似的定义。离散时间信号 ，如果存在正整数N ，对时间变量n的所有取值，都有 则信号 为以N为周期的周期信号。如果N为信号的周期，则任意mN也是，这里m为任意整数。（Why？）Spring, 2015By Y N Zhang29基本周期（fundamental period)在周期信号的所有周期N中，最小正值 定义为周期信号的基本周期。Spring, 2015By Y N Zhang302.3 偶信号 vs 奇信号偶（even）信号满足下式：奇（odd）信号满足下式： Spring, 2015By Y N Zhang31任意信号，都可以分解为一个偶信号与一个奇信号之和。给定信号

10、 ，有Spring, 2015By Y N Zhang323、典型信号下面介绍一些常见的典型信号。这些信号本身常见，且简单，易于分析处理；更重要的是，这些信号构成了信号分处理的基石（basic building blocks）。Spring, 2015By Y N Zhang333.1 指数信号和正弦型信号连续时间复指数信号： 这里C和a一般都是复数。Spring, 2015By Y N Zhang34实指数信号当C和a都是实数时，信号 为单调的实指数信号。根据C和a的不同取值呈现相应的变化趋势。（高数内容，此处不赘述！）Spring, 2015By Y N Zhang35周期复指数信号当a为

11、纯虚数时，忽略参数C判断信号的周期性，并计算基本周期！课堂习题！（3分钟） Spring, 2015By Y N Zhang36周期复指数信号的基本周期：Spring, 2015By Y N Zhang37正弦型信号一类今后十分常用的信号，如下所示：正弦型信号的参数：幅度、频率、相位。基本周期： Spring, 2015By Y N Zhang38Euler 公式利用Euler公式，可以将复指数信号和实正弦信号这两种重要的信号联系在一起。Spring, 2015By Y N Zhang39谐波（harmonic）给定某个频率 ，我们可以构造出信号集其中， 为直流分量， 为基波或者一次谐波， 为

12、k次谐波。Spring, 2015By Y N Zhang40普通复指数信号当参数C和a通常为复数时，复指数信号可以表示为：上式中，参数的不同取值会导致信号呈现不同的特性，如发散（growing）或者收敛（decaying）Spring, 2015By Y N Zhang41离散时间复指数信号上面讨论了连续时间复指数信号。同样，可以定义离散时间的复指数信号：离散时间复指数信号有着类似的特性，在分析离散时间信号时同样扮演着至关重要的角色。离散时间复指数信号和连续时间复指数信号存在及其重要的差异！Spring, 2015By Y N Zhang42请在后面的内容中，特别留意如下信号之间的对比！Spring, 2015By Y N Zhang433.2 单位冲激信号离散时间单位冲激信号： Spring, 2015By Y N Zhang443.3 单位阶跃信号离散时间单位阶跃信号： Spring, 2015By Y N Zhang45一些重要结论： Spring, 2015By Y N Zhang463.4 连续时间单位阶跃信号连续时间单位阶跃信号：t=0处信号不连续！ Spring, 2015By Y N Zhang473.