高二数学选修44教案05曲线的参数方程

1、高二数学选修 4-4 教案 05 曲线的参数方程教学目标：正确懂得曲线参数方程的概念；能精确地选取参数求曲线的参数方程教学重点：参数方程的概念；教学难点：参数t 可以是有物理、几何意义的变量,也可以是变数；建立参数t 与 x,y的关系教学过程一、问题引入设炮弹的发射角为,发射的初速度为 v ,求弹道曲线的方程（不计空气阻力）由于弹道曲线是炮弹飞行的轨迹,所以它上面的各个点都表示炮弹发射后某个时刻的位置；当这个时刻确定后,炮弹的位置就确定了；取炮口为原点,水平方向为 x 轴,建立直角坐标系；设炮弹发射后的位置在M x , y ,由于炮弹在 O x 方向是以yv cos 为速度的匀速直线运动,在O

2、 y 方向是以 v sin 为初速的竖直上抛运动；按匀速直线运动和竖直上抛运动的位移公式,得cos.t,2,0v sinvMxxv001O0v cosyv0sin.tgt2g 是重力加速度；课本中炮弹的飞行轨迹是同学在物理学习中极为熟识的“ 斜抛运动 ” 的一个实例教学中不必过多说明,重点在于利用它,从数学的角度说明力学中的运动方程就是数学中的参数方程它们是实际讨论的需要,便于表示两个变量之间的联系同时由于参数 t 有肯定取值范畴,导致x、y 也有肯定的取值范畴在详细讨论中,参数t可以是有物理、几何意义的变量,也可以是变数关键是t 与点（ x、 y）能否构成对应关系同时,同学应熟识到引进参数

3、t 可以起到削减变量个数的作用,给讨论多变 量问题以一个新的方法二、数学构建 1、曲线的参数方程一般地,在取定的坐标系中,假如曲线上任意一点的坐标x、y 都是某个变数t的函数,即xftyft并且对于 t 每一个答应值,由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 x、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数 它可以是有物理、几何意义的变数,也可以是没有明显意义的变数 . 留意 ：参数方程的特点是在于没有直接表达曲线上点的横、纵坐标之间的关系,而是分别表达了点的横、纵坐标与参数之间的关系 . 2、曲线的一般方程相对于参数方程来说,直接给出曲线上点的坐标关系

4、的方程,叫做曲线的一般方程三、学问运用【例 1】如下列图,以原点为圆心,分别以 a,bab为半径作两个圆；点 Q 是大圆半径 OP 与小圆的交点,过点 P 作 PNO x ,垂足为 N,过点 Q 作 QM PN,垂足为 M ；求当半径 OP 绕点 O 旋转时,点 M 的轨迹的参数方程；解：设点 M 的坐标是（ x,y）,是以 O x 为始边, OP 为终边的正角,去 y 为参数,那么 bx=ON=|OP|cos , Py=NM=|OQ|sin . Q M 也就是 O N a xx a cos ,y b sin . 例 1 图这就是所求的 M 点的轨迹的参数方程；本例给出了椭圆的一个参数方程,两

5、个圆分别叫做椭圆的大帮助图和小帮助图,椭圆长轴和短轴分别是它们的直径其中叫做椭圆上点的离心角椭圆上只有个别点（如椭圆的顶点）的离心角与中心角相等一般点的中心角与离心角不同两个点离心角的差与中心角的差也不同因 与椭圆上的点一一对应,椭圆上点可表示为 P acos、bsin ,起到削减变量个数的成效【例 2】求经过点 M 0 x 0 , y 0,倾斜角是 的直线 l 的参数方程；解：设 M（x,y）是直线上任意一点,经过M 作 y 轴的平行线, 经过M0 x 0, y0点作 x 轴的yM（ x,y）x平行线,两直线相交于点Q；规定直线 l 向上的tQ方向为正方向；设M 0Mt,取 t 为参数；M0

6、 x 0,y 0就有xx 0tcos,O例 2 图yy 0tsin.例这就是所求直线l 的参数方程；一条直线规定了方向和原点后,只要一个变量就可以表示直线上点的位置如 x 轴当直线位于平面内时,表示直线上点的位置,除了一个变量外,仍需对直线本身位置的刻画,直线参数方程,xxtcos,中（x ,y）及就是对直线yytsin自身位置的描述,t 是对直线上点的位置的描述【例 3】x523t与x523 t,是否表示同一条直线2y1tyt2此例可使同学明确以下几点：曲线的参数方程可能不唯独两个方程均表示直线x3y5230两个方程中的参数的意义不同,取相同的 t,对应的点可能不同,但t 取全体实数时,所对

7、应的点集相同x x at判定方程 中 t 的几何意义是否为定点 x0, y0到动点 P x,y的数y y bt量,有二个原就,其一为 a2b2=1,其二是 b0,这是由于 为直线倾角时,必有sin 2 +cos 2 =1 及 sin0 x x 0 at上 A,B 两点间距离为 AB a 2b 2t 1 t 2上述方程中通过y y 0 bt换元 t 2 t 2（当 b0）,可知 t 的几何意义就是定点 x0,y0到动点 x,y的数a b量,其上两点间距离即为 t 1 t 2通过运算：yy0btb,使同学知道 x0,y0必为直线上的点,b 等于直 axx0ata线的斜率x x 0 at疑难解析 :

8、方程,（t 为参数）中 x0、y0 及 a、b 的几何意义,及如何将它y y 0 bt化为以定点 x0、y0到动点 x,y的数量 t 为参数的参数方程是同学学习的疑难之处可x 1 4 t以通过数字系数的方程为例加以说明,如,令 t = 0,得到点 1,2,进y 2 3 t而说明 x0、y0是直线上的一个点,即直线必过点 x0、y0由 y 2 3 t 3,得知x 1 4 t 4此直线的斜率为 3 ,进而说明直线上任意点 x,y与点 x0、y0连线的斜率为 b 如4 ab果直线倾角为,就有 tan = kacos a2 2由三角学问可知 a b 由于 0 ,sin0,可知当 b0时,sin b2

9、2a b用 t 2 t 2,当 b 0 时,用 t 2 t 2 可将方程,化为 t 为定点到动点数量a b a b的直线的参数方程四、学力进展1、求半径是 r 、圆心在原点O 的圆的参数方程；,以分点 M（x,y）分M1M2解：xrcos为参数）yrsin1、已知一条直线上两点M1x 1, y1、M2x2, y2所成的比为参数,写出参数方程；解：xx 1x21 y 1y2y12、直线x33tt 为参数 的倾斜角是C D2 332y11 2tA6B3C563、方程x1ttcos（ t 为非零常数,为参数）表示的曲线是 B y3sinA直线B圆C椭圆D双曲线4、已知椭圆的参数方程是x5cos（为参

10、数）,就椭圆上一点P 5 ,22y4sin的离心角可以是 D D5 3A3B2C433五、课堂小结 1、参数方程的概念；2、参数的挑选；3、直线的参数方程xx0tcos,和方程xx0at,（ t 为参数）中x0、y0yy0tsin.yy0bt及 a、b 的几何意义；附：教材分析一、教学内容与教学目标：本单元教学内容：曲线参数方程的概念,直线、圆、椭圆的参数方程,参数方程与一般方程的互化本单元教学目标：使同学懂得参数方程的概念,初步把握直线、圆、椭圆的参数方程懂得参数的几何或物理意义把握参数方程与一般方程互化的方法,会依据给出的参数,建立曲线的参数方程结合曲线参数方程的建立,对同学进行运动变化观点的训练,结合参数方程与普通方程的互化,使同学加深对等价转化思想的懂得,提高转化中规律关系的熟识,提 高规律思维才能,提高利用参数解决问题的才能二、重难点分析：本节的重点是参数方程的概念,直线、圆、椭圆的参数方程,参数方程和一般方 程互化的方法本节的难点是直线和椭圆参数方程中参数的几何意义,学习的难点互化中的等价性也是同学教学中应明确, 参数需要依据实际问题的性质及