常微分第四章精品课件

1、常微分第四章第1页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三第四章高 阶 微 分 方 程授课教师：胡鹏彦授课对象：10本科第2页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三 本章主要讨论高阶线性微分方程解的结构和常系数线性微分方程的求解问题, 同时结合质点振动来体会数学与物理的深刻联系.第3页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性微分方程的 一般理论一、引言二、齐次线性微分方程 解的性质与结构三、非齐次线性微分方程与 常数变易法第4页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论一、引言 1. 线性微分

2、方程的相关定义 形如的方程为n阶线性微分方程, 其中ai(t)(i 1, 2, , n)及 f (t)都是区间a t b上的连续函数.第5页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三 若 f (t)0, 则(4.1)变为称之为n阶齐次线性微分方程, 简称为齐次线性微分方程, 而(4.1)称为n阶非齐次线性微分方程, 简称为非齐次线性微分方程, 且通常将(4.2)称为对应于(4.1)的齐次线性微分方程.4.1 线性方程的一般理论第6页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三 2. 线性微分方程解的存在唯一性定理 定理1 如果ai(t)(i 1, 2, , n)及 f

3、 (t)都是区间a t b上的连续函数, 则对于任一t0a, b及任意的方程(4.1)存在唯一定义在区间a t b上的解x (t), 满足初值条件4.1 线性方程的一般理论第7页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论二、齐次线性微分方程解的性质与结构 1. 齐次线性微分方程解的叠加原理 定理2(叠加原理) 如果x1(t), x2(t), , xk(t)是方程(4.2)的k个解, 则它们的线性组合 c1x1(t) c2x2 (t) ckxk(t)也是(4.2)的解, 这里c1, c2, , ck是任意常数. 该定理可直接利用导数的运算法则证明.第8页，

4、共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 在定理2中, 如果k n, 则(4.2)有解 x c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t), (4.4)它含有n个任意常数. 试问何时(4.4)能够成为(4.2)的通解?第9页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 要使(4.4)成为(4.2)的通解, (4.4)中的c1, c2, cn须相互独立.第10页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 2. 函数组的线性相关 定义 设x1(t), x2(t), , xk(t)

5、在a, b上有定义.若存在不全为零的常数c1, c2, , ck, 使得恒等式 c1x1(t) c2x2 (t) ckxk(t) 0在a, b上成立, 则称x1(t), x2(t), , xk(t)是线性相关的, 否则就称它们在a, b上线性无关. 如何判断函数组线性相关?第11页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 设x1(t), x2(t), , xk(t)为a, b上的k 1次可微函数, 称行列式为函数组x1(t), x2(t), , xk(t)的朗斯基行列式.Wronskian Wronsky第12页，共130页，2022年，5月20日，5

6、点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 定理3 设函数x1(t), x2(t), , xk(t)在a, b上k 1次可微. 若它们在a, b上线性相关, 则在a, b上有W(t) 0. 注 定理3的逆一般不成立, 例如第13页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 定理4 若方程(4.2)的解x1(t), x2(t), , xn(t)在a, b上线性无关, 则对任意ta, b, W(t) 0. 证明思路 利用反证法 构造一个微分方程的满足一定初值条件的解,然后由解的唯一性推得矛盾.第14页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4

7、.1 线性方程的一般理论 定理5 n阶齐次线性微分方程(4.2)一定存在n个线性无关的解. 证明思路 利用解的存在唯一性和定理3. 构造n组初值得到n个解, 而这n个解的朗斯基行列式有非零点, 由定理3知这n个解线性无关.第15页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 3. 齐次线性微分方程解的结构 定理6(通解结构定理) 如果x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的n个线性无关的解, 则方程(4.2)的通解可表为 x(t) c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t), (4.11)其中c1, c2, , cn是任意常数,

8、且(4.11)包括了(4.2)的所有解.第16页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 推论1 方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n. 推论2 方程(4.2)的解构成一个n维线性空间. 定义 方程(4.2)的一组n个线性无关解称为其一个基本解组. 满足W(t0) 1的基本解组称为标准基本解组. 注 基本解组不唯一.第17页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论三、非齐次线性微分方程与常数变易法 1. 非齐次线性微分方程解的性质第18页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性

9、方程的一般理论 性质1 如果是方程(4.1)的解, x(t)是方程(4.2)的解, 则是是方程(4.1)的解. 性质2 方程(4.1)的任意两个解之差必为(4.2)的解.第19页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 定理7 设x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的基本解组, 而是方程(4.1)的解, 则方程(4.1)的其中c1, c2, , cn为任意常数. 而且这个通解包括了方程(4.1)的所有解. 注 定理7给出了一种求非齐次线性方程通解的方法: 求其一个特解和对应的齐次线性方程的基本解组.通解可表为第20页，共130页，

10、2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 2. 非齐次线性微分方程的常数变易法 设x1(t), x2(t), , xn(t)是方程(4.2)的基本解组, x c1x1(t) c2x2 (t) cnxn(t) (4.15)是(4.2)的通解. 把(4.15)中的ci看成t的函数, 则有 x c1(t)x1(t) c2(t)x2 (t) cn(t)xn(t), (4.16)通过确定(4.16)中的ci(t)就可以得到(4.1)的通解. 这种求非齐次线性微分方程通解的方法称为常数变易法.第21页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般

11、理论 要确定(4.16)中的ci(t)除将其代入方程(4.1)之外还要附加另外的限制条件, 其法无穷, 为简便起见, 可如下进行. (4.16)两端对t求导:令得第22页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 对(4.18)1重复上述过程得 继续上述过程可得第23页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 将(4.16), (4.18)1, (4.18)2, , (4.18)n代入(4.1)可得 积分得 由(4.17)1, (4.17)2, , (4.17)n可求得第24页，共130页，2022年，5月20日

12、，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 将其代入(4.16)即得(4.1)的通解 在上式中令i 0(i 1, 2, , n)可得(4.1)的解 由此可知, 在已知对应齐次线性微分方程的基本解组时, 非齐次线性微分方程的解可由求积分得到.第25页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 例1 求方程应的齐次线性微分方程的基本解组为cos t, sin t.的通解. 已知其对第26页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.1 线性方程的一般理论 例2 求方程于域t 0上的所有解.第27页，共130页，2022年，5月20日，5点

13、23分，星期三4.1 线性方程的一般理论作业P1313(2, 5), 4, 6第28页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性微分方程的解法一、复值函数与复值解二、常系数齐次线性微分方程 和欧拉方程三、非齐次线性微分方程比较 系数法与拉普拉斯变换法四、质点振动第29页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法一、复值函数与复值解 1. 复值函数概念 复值函数 设 (t)与 (t)是区间a, b的实函数,称z(t) (t) i (t)为a, b上的复值函数, 其中i为虚数单位, 即i2 1. 复值函数的极限 如果实函数

14、(t)与 (t)都在t0a, b存在极限, 则称复值函数 z(t) (t) i (t)在t0存在极限, 且有第30页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 复值函数的连续 对于t0a, b, 如果则称复值函数 z(t) (t) i (t)在t0a, b连续. 如果z(t)在区间a, b上每一点都连续, 则称z(t)为区间a, b上的连续, 也称z(t)为区间a, b上的连续函数.第31页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 如果极限存在, 就称z(t)在t0a, b有导数(可微), 且记此极限 如果z

15、(t)在区间a, b上每一点都有导数, 则称z(t)在区间a, b上有导数.为或者第32页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 容易验证, 复值函数的导数成立下列等式:第33页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 2. 复指数函数及其性质 设 K i是任一复数, 这里 , 是实数, 而t是实变量, 我们定义 由上述定义易知第34页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 复指数函数有如下性质:第35页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三

16、4.2 常系数线性方程的解法 3. 微分方程的复值解 定义于区间a, b上的实变量复值函数 x z(t)称为方程(4.1)的复值解, 倘若在a, b上恒成立.第36页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 定理8 如果方程(4.2)中所有系数ai(t)(i 1, 2, , n)都是实值函数, 而 x z(t) (t) i (t)是方程的复值解, 则z(t)的实部 (t) 、虚部 (t)和共轭复值函数都是方程(4.2)的解.第37页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 定理9 若方程有复值解 x U(t

17、) iV (t), 这里ai(t)(i 1, 2, , n)及u(t), v(t)都是实函数, 那么U(t)和V(t)分别是方程的解.第38页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法二、常系数齐次线性微分方程和欧拉方程 1. 特征方程与特征根 n阶常系数齐次线性微分方程形如其中a1, a2, , an为常数. 可以验证(4.19)具有形如 的解.第39页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 称方程 为(4.19)的特征方程, 其根称为特征根.第40页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期

18、三4.2 常系数线性方程的解法 2. 基本解组的确定 根据常系数齐次线性微分方程特征方程的特征根的情形来确定其基本解组. (1) 特征根为单根的情形 设1, 2, , n为特征方程(4.21)的n个互异根,则相应地, 方程(4.19)有如下n个线性无关的解从而构成方程(4.19)的基本解组.第41页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 当1, 2, , n均为实数时, (4.22)是方程(4.19)的n个线性无关的实值解, 其通解为其中c1, c2, , cn为任意常数. 当特征方程有复根 i 时, 由于特征方程为实系数代数方程, 其复根成对出现

19、, 因此 i 也是一特征根, 这对共轭复根可对应方程(4.19)的两个实值解第42页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 这样得到的实值解连同实特征根对应的实值解共同构成方程(4.19)的基本解组, 由此可给出方程(4.19)的通解.第43页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 (2) 特征根有重根的情形 设为特征方程(4.21)的k重根, 则方程(4.19)有如下k个线性无关的解 设1, 2, , m为特征方程(4.21)的根, 其重数分别为k1, k2, , km, k1 k2 km n, 则方

20、程(4.19)n个线性无关解第44页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 若1, 2, , m均为实数, 则(4.26)就是(4.19)的基本解组. 若 i 为k重复特征根, 则 i 也是k重复特征根, 这对共轭复重根可对应方程(4.19)的2k个线性无关解这样得到的对应于复根的实值解与实根对应的解共同构成(4.19)的基本解组.第45页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例1 求方程的通解.第46页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例2 求解方

21、程第47页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例3 求方程的通解.第48页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例4 求解方程第49页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 3. 欧拉方程 形如的方程称为欧拉方程. 这里a1, a2, , an为常数.第50页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 做变量变换则直接计算可得第51页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程

22、的解法一般地,其中1, 2, , k1都是常数, 于是因此, 将其代入方程(4.29)可得其中b1, b2, , bn是常数.第52页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 这样, 就将欧拉方程转化为常系数齐次线性微分方程, 对其求解之后再代回原变量即得欧拉方程的通解. 另外, 由上述讨论易知, 欧拉方程具有形如 y x的解, 因此, 也可直接求该形式的解. 将其代入方程(4.29)易得代数方程 可以证明(4.31)正是(4.30)的特征方程, 由此可以根据特征根给出欧拉方程的基本解组.第53页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期

23、三4.2 常系数线性方程的解法 m重实根0对应m个实值解, 而m重复根 i 对应2m个实值解,第54页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例5 求解方程第55页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例6 求解方程第56页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法三、非齐次线性微分方程比较系数法 与拉普拉斯变换法 本段讨论常系数非齐次线性微分方程其中a1, a2, , an为常数.第57页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数

24、线性方程的解法 1. 比较系数法 类型I 设其中及b0, b1, , bm为实常数, 则方程(4.32)有形如的特解, 其中k为特征根的重数(单根相当于k 1;当不是特征根时取k 0), 而B0, B1, , Bm为待定的常数, 可以通过比较系数确定.第58页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例7 求方程的通解.第59页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例8 求方程的通解.第60页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例9 求方程的通解.第61

25、页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 类型II 设其中, 为常数, 而A(t), B(t)为t的实系数多项式,一个次数为m, 另一个的次数不超过m, 则方程(4.32)有形如的特解, 其中k为特征根 i 的重数, 而P(t), Q(t)均为待定的t的次数不超过m的实系数多项式, 可以通过比较系数确定.第62页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 注 当时, 可用所谓的复数法求解.或第63页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例10 求方程的通解.第

26、64页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法第65页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 2. 拉普拉斯变换法 由积分定义的复平面(Re s )上的复变数s的函数F(s)称为函数 f (t)的拉普拉斯变换, 其中f (t)对t 0有定义,且满足不等式这里M, 为两个正常数. 我们称 f (t)为原函数, 而F(s)称为像函数.第66页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 由像函数求原函数称为拉普拉斯反演.可由如下积分表示在已知像函数的情况下, 一般采用查

27、表的方法求原函数.第67页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 给定微分方程及初始条件其中a1, a2, , an是常数, 而 f (t)连续且满足原函数的条件. 由于常系数微分方程的任何解及其各阶导数都满足原函数的条件, 设x(t)为(4.32)的解, 记第68页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法由拉普拉斯变换的定义易知第69页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法对方程(4.32)两端实施拉普拉斯变换可得第70页，共130页，2022年，5月20日

28、，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法这就是满足初值条件的解x(t)的像函数, 然后直接查拉普拉斯变换表或者有反变换公式计算得到方程(4.32)的满足初值条件的解.第71页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例12 求方程满足初值条件x(0) 0的解.第72页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例13 求解方程第73页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例14 求方程满足初值条件的解.第74页，共130页，2022年，5月20日，5点2

29、3分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 例15 求解方程其中a, b为非零常数.第75页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法第76页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法四、质点振动 1. 无阻尼自由振动 数学摆的无阻尼微小自由振动方程为若记其中 0为常数, 则(1.9)变为第77页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法其通解为其中c1, c2为常数. 若令则有第78页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法

30、从(4.41)可以看出, 不论摆的初始状态如何,摆的运动总是一个正弦函数, 它是t的周期函数.这种运动称为简谐振动. 振动往返一次所需的时注 数学摆的周期只依赖于摆长l, 而与初值无关. 振幅与初相位间称为周期, 记为T, 这里动的次数称为频率, 记作, 这里单位时间内振 称为圆频率.而第79页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 2. 有阻尼自由振动 数学摆的有阻尼的自由振动方程为记其中n, 为正常数, 则(1.10)变为第80页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法其特征方程为 (1) 小阻尼的情

31、形: n , 通解为或特征根为这里A, 为任意常数.第81页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 (2) 大阻尼的情形: n , 通解为其中c1, c2为常数.第82页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 (3) 临界阻尼的情形: n , 通解为其中c1, c2为常数.第83页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 3. 无阻尼强迫振动 数学摆的微小强迫振动方程为无阻尼振动对应 0. 若记H为已知常数, p为外力圆频率, 则(1.11)变为第84页，共1

32、30页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法可以求得(4.48)的通解为如果p , 则(4.48)有通解(4.51)表示, 随着时间的增大, 摆的偏离将无限增加,这种现象称为共振现象.第85页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法 4. 有阻尼强迫振动 此时摆的运动方程为在小阻尼情形下, 即n , 方程(4.52)的通解为第86页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法当时有最大振幅这时的圆频率称为共振频率, 所产生的现象也叫共振现象.第87页，共130页，2022年，5

33、月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法作业P1642(1, 4, 6, 10, 12, 13, 16, 18, 19), 3(2), 4(1)第88页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.2 常系数线性方程的解法作业P1667第89页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 高阶微分方程的降阶 与幂级数解法一、可降阶的一些方程类型二、二阶线性微分方程的 幂级数解法三、第二宇宙速度第90页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法一、可降阶的一些方程类型 n阶微分方程一般可写为第91页，共130页

34、，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 若令 x(k) y, 则可得如下 n k 阶方程 1. 方程(不含未知函数或直到某阶导数) 若(4.58)的通解为即第92页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法经过 k 次积分之后可得(4.57)的通解其中c1, c2, , cn为任意常数. 例1 求方程的解.第93页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 若令 x y, 以它为新未知函数, 而视x为新自变量, 则方程就可降低一阶. 2. 方程(不显含自变量)第94页，共130页，2022

35、年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 例2 求解方程第95页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 例3 求数学摆的运动方程的满足初值条件: 当t 0时, 0 0,的解.第96页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第97页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 可以证明: 已知(4.2)的k个线性无关解, 则可通过一系列同类型的变换, 将方程(4.2)降低k阶. 设 x1, x2, , xk为(4.2)的k个线性无关解, 则 3. 齐次线性微分方

36、程第98页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 令 x xk y, 则将这些关系式代入(4.2)并注意到xk 是(4.2)的解, 同时令 z y, 则有这样就得到一个比(4.2)低一阶的微分方程.第99页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第100页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 方程(4.2)与(4.67)的解之间的关系: 重复上述过程可得比(4.67)低一阶的齐次线性方程, 其与(4.67)的关系与(4.2)与(4.67)的关系相同.那么, 通过这样一系

37、列的变换可得一比(4.2)低k阶的齐次线性方程, 通过对新的方程的求解, 并利用相应的变换就可得到(4.2)的解. (1)是(4.67)的解; (2) z1, z2, , zn1线性无关.第101页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法若令 x x1 0是其解, 则通过变换 对于二阶齐次线性方程方程(4.69)化为此为一阶线性微分方程, 其解为第102页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法从而可得(4.69)的通解为其中c, c1为任意常数.第103页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4

38、.3 降阶与幂级数解法 例4 已知的解, 试求方程的通解.是方程第104页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法二、二阶线性微分方程的幂级数解法 1. 两个例子 例5 求方程的通解. 解题思路 先设某级数为方程的解, 代入方程之后可以确定级数的系数(确定系数的方法是比较系数), 若确定的级数收敛, 则得到方程的解.第105页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第106页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第107页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星

39、期三4.3 降阶与幂级数解法第108页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 例6 求方程的满足初值条件 y(0) 0与 y(0) 0的解.第109页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第110页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第111页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法第112页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 2. 二阶齐次线性方程有级数解的条件 考虑二阶齐次线性微

40、分方程满足初值条件 y(x0) y0与 y(x0) y0的情形. 不妨假设 x0 0.第113页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 定理10 若方程(4.72)中的系数 p(x), q(x)都能展成 x的幂级数, 且收敛区间为|x| R, 则方程(4.72)有形如的特解, 且也以|x| R为收敛区间.第114页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 定理11 若方程(4.72)中的系数 p(x), q(x)具有性质: x p(x)和x2q(x)均能展成 x的幂级数, 且收敛区间为|x| R, 则方程(4.72)有形如即的特解, 是一个待定的常数. 级数(4.75)也以|x| R为收敛区间.第115页，共130页，2022年，5月20日，5点23分，星期三4.3 降阶与幂级数解法 方程满足定理11的条件, 因此具有(4.75)形式的特解.方程(4.74)称为n阶贝塞尔方程. 对于且 n时(4.74)的解Jn(x)称为n阶贝塞尔函数, 而 n且n不为非负整数时(4.74)的解Jn(x)称为n阶贝塞尔函数,