山东大学工科研究生数学物理方法class13第8.1节(齐次方程的分离变量法)课件

1、1第八章 分离变数(傅里叶级数)法 分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的第一节、齐次方程的分离变数法征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几Example :7上面给出的是内问题,如果是外问题,怎么办?Find the solution of代入方程10例4：带电的云跟大地之间的静电场可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直 表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限+带电云AByx大地在xy平面的剖面是个圆：x2+y2=a2,a为半径。解柱外空间没有电荷，电势u满足

2、二维拉普拉斯方程（柱外空间）长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在xy平面研究。体圆柱如何改变静电场。“无限远”的静电场保持匀强，现在来看导临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷水平架设的输电线处在静电场中，如图：11对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但边界条件为：不能分解为X（x）或Y（y）的边界条件，无法进行下去！边界是圆，提示我们采用平面极坐标系。在极坐标系中，方程可表示为：其中为极径，为极角导体电势为零表示为齐次的边界：如下：又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件

3、12在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，Ey0，ExE0即隐含着非齐次边界条件：现在问题转化成极坐标系中的定解问题：解分离变数设：代入泛定方程可得左边与无关，右边与无关，除非为一常数！14从而可求得本征值和本征函数：把本征值代入常微分方程可得：欧拉型常微分方程作代换方程可化为：由此我们可得到分离变数形式的解为：15拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件：一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：17最后我们可得柱外的静电势为：对于此一般解，中间一项，即是原来静电场的电势分布，最后一项当充分大时，可以忽略，代表在圆柱附近对匀强电场的修正，是

4、柱面感应电荷的影响。对于系数是任意常数，表明有不确定的因素！在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正是圆柱原来带的电量。讨论设原来圆柱体不带电，则D00，此时18若只看y轴下方，则如图，可以看成平行+带电云AByx大地此时，上下两端，即A和B点的电场强度为：是原来电场的两倍！且与半径无关！此处最容积击穿！Y轴上的电势与导体圆柱相同A电容器的极板必须加工的非常平滑！两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压此突起的电场强度是其他匀强电场强度的板电容器之间的静电场，但上面带有突起19例5：长为l的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为另一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡。理

5、想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡。解初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始条件，这里的定解问题是没有初始条件的。最后取结果的虚部即可20稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：代入泛定方程，可得X的常微分方程：方程的解为：故：第二项是电源发出的波，第一项是反射波系数A和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式由物理定律可得电流：（具体参看相关资料）把v和j分别代入边界条件可得：21则稳恒振荡由给出，系数A和B由上面的关系给出。22输入端电压同电流之比叫做输入阻抗：当此时对电源来说，相当于一个短路元件！24（2）（3）Eq.(2) is a St