推理与证明-“黄冈杯”一等奖-完整版获奖课件

1、推理与证明复习小结推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明 比较法类比推理归纳推理 分析法 综合法 反证法知识结构 归纳是通过对特例的观察和综合去发现一般规律，一般通过观察图形或分析式子寻找规律，归纳过程的典型步骤是：先在诸多特例中发现某些相似性，再把相似性推广为一个明确表述的一般命题，最后对该命题进行检验或论证 例1. 在德国布莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个乒乓球；第2,3,4、堆最底层(第一层)分别按如图所示方式固定摆放从第二层开始，每层的乒乓球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以

2、f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_；f(n)_(答案用n表示) 类比是提出新问题和作出新发现的一个重要源泉，是一种较高层次的信息迁移，应用类比的关键就在于如何把相关对象在某些方面的一致性说清楚常见的类比题型有两类：一类是类比旧知识，推出新结论；另一类是类比新知识，推出新结论 例2如图所示，在ABC中，射影定理可表示为abcosCccosB，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想 解析如图所示，在四面体PABC中，设S1，S2，S3，S分别表示PAB，PBC，PCA，ABC的面积，依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小

3、我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为 SS1cosS2cosS3cos. 从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而做出关于该类事物的判断的思维过程，因此是从一般到特殊的推理数学中的演绎法一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理；小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果 综合法是我们在已经储存了大量的知识积累了丰富的经验的基础上所用的一种方法，其优点是叙述起来简洁、直观、条理、清楚，综合法可使我们从已知的知识中进一步获得新知识证法1. a、b、c为不相等的正数，且abc=1,例4

4、. 已知a、b、c为不相等的正数，且abc=1，求证：例4. 已知a、b、c为不相等的正数，且abc=1，求证：证法2. a、b、c为不相等的正数，且abc=1, 分析法是一种从未知到已知的逻辑推理方法在探求问题的证明时，它可以帮助我们构思，因而在一般分析问题时，较多地采用分析法，只是找到思路后，往往用综合法加以叙述，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”，在数学证明中不能把分析法和综合法绝对分开 反证法不是去直接证明结论，而是先否定结论，在此基础上运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定结论的真实性题型7.归纳、类比、猜想、证明 例10. 平面内有n条直线, 其中任何两条不平行, 任何三条不过同一点,

5、 证明：交点的个数f(n)等于n(n-1)/2.证明:(1) 当n=2时,两条直线的交点只有1个,又f(2)=2(2-1)/2=1,因此,当n=2时命题成立. (2) 假设当n=k(k2)时命题成立,就是说,平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 以下来考虑平面内有k+1条直线的情况.任取其中的1条直线,记作l.由归纳假设,除l以外的其他k条直线的交点个数f(k)等于k(k-1)/2. 另外,因为已知任何两条直线不平行,所以直线l必与平面内其他k条直线都相交,有k个交点. 又因为已知任何三条直线不过同一点,所以上面的k个交点两两不相同,且与平面内其他的k(k-1)/2个交点也两两不相同. 从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2. 这就是说,当n=k+1时,k+1条直线的交点个数为:f(k+1)=(k+1)(k+1