高考理科数学试卷(带详解)

1、江西卷(理科数学)1.2019江西卷z是z的共轲复数，若z+ z=2, (zz)i=2(i为虚数单位)，则z=()A.1 +i B.-1-i C.-1 + i D.1 -i【测量目标】复数的基本运算【考查方式】给出共轲复数和复数的运算，求出z【参考答案】D【难易程度】容易【试题解析】设2=2+方。bCR),则2 = 2bi,所以 2a=2, - 2b = 2,得 a=1, b=1,故 z= 1一 i.22.2019在西卷函数f(x)=ln(x x)的定义域为()A.(0 ,1B.0 ,1C.( 0)U (1 , +oo) D.(-oo5 0 U 1 , +oo)【测量目标】定义域【考查方式】根

2、据对数函数的性质，求其定义域【参考答案】C【难易程度】容易【试题解析】由x2 x0,得x1或x-1,i 1 2 3,S lg3 lg HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 35.57i 3 25 ,S lg 5 lg - lg 7 -1, i 5 2 7,S lg 7 lg 一 HYPERLINK l bookmark34 o Current Document 79i 7 2 9,S lg9 lg lg11-1,lg 9-1【考查方式】给出函数的表达式， 求积分【参考答案】B【难易程度】容易一, 一 1一, 一 11c 1【试题解析】f (x)dx

3、 = x 2 f x dx HYPERLINK l bookmark46 o Current Document 0001 HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 1 3111-x 2 f (x)dx x = - 2 f (x)dx, HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 30030/口 1 .得 0 f (x)dx =B分别是x轴和y轴上的动点,若以B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+ y4=0相切， 则圆C面积的最小值为(A. B. 3 冗 C.(6 2何/ D.2 冗 544【

4、测量目标】直线与圆的位置关系，面积和最值【考查方式】已知直线与圆的位置关系，求圆的面积【参考答案】A【难易程度】中等【试题解析】由题意知，圆C必过点0(0, 0),故要使圆C的面积最小，则点O到直线l的距离为圆C的 TOC o 1-5 h z 424直性,即2r =尸，所以r =产,所以S二一冗 HYPERLINK l bookmark64 o Current Document ,5. 5510.2019江西卷如图所示，在长方体 ABCD AB1clD1中，AB = 11, AD=7, AA = 12.一质点从顶点 A射向点E(4, 3, 12),遇长方体白面反射(反射服从光的反射原理)，将第

5、i 1次到第i次反射点之间的线段记为Li (i = 2,3,4) , L1 = AE,将线段L1，L2, L3, L4竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是()第10题图LLJ79ABCD第 10 题图LLJ80-83【测量目标】投影，直线与面的关系【考查方式】利用光的反射原理求其长度并判断图形【参考答案】C【难易程度】中等【试题解析】由题意，11=人=13.易知点在底面ABCD上的投影为F(4, 3, 0),根据光的反射原理知，直线AE和从点E射向点Ei的直线EiE关于EF对称，因此Ei (8, 6, 0),且L2= L = 13.此时， 直线EE1和从点Ei射出所得的直线 E1E2关于过点

6、日 (8, 6, 0)和底面ABCD垂直的直线对称，得E2 (12, 9, 12).13 一 一因为1211, 97,所以这次射出的点应在面CDD1G上，设为E2,求得L3 = E1E2=,L3L2=L1最后326一次， 从点E2射出，落在平面 ABiCiDi上，求得L4 L3,故选C.311.2019江西卷(1)(不等式选做题)对任意x, yCR,|x1|+X|+|y1|+|y+1|的最小值为()A.1B.2 C.3 D.4【测量目标】不等式【考查方式】利用不等式的性质,【参考答案】C求最值【难易程度】容易【试题解析】易知|x-1|+|x|1,当且仅当0WxW 1时等号成立；|y1|十|y+

7、1|2,当且仅当一【考查方式】利用不等式的性质,【参考答案】C求最值【难易程度】容易【试题解析】易知|x-1|+|x|1,当且仅当0WxW 1时等号成立；|y1|十|y+1|2,当且仅当一IWyWl时等号成立.故|x1|+ |x|+|y 1|+ |y+ 1|3.2019江西卷（2）（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y= 1 -x（0 x 1）的极坐标方程为()1-,冗1花An努Dn蜘A.,0冽B.0冽cossin2cos sin4C.cossin , 0蒯 一D.cos sin0蒯花24【测量目标】极坐标方程【考查方式】直接把直线方程

8、转化成极坐标方程【参考答案】A【难易程度】容易【试题解析】依题意，方程y= 1 x的极坐标方程为cos sin = 1,整理得1cos sin.因为0一，一，冗xb0)相父于 A, B 两点， 右 M a b是线段AB的中点， 则椭圆C的离心率等于【测量目标】直线与椭圆的位置关系,离心率【考查方式】利用交点,联立方程找出关系,求其离心率【测量目标】直线与椭圆的位置关系,离心率【考查方式】利用交点,联立方程找出关系,求其离心率-2e=2【难易程度】【试题解析】设点A(Xi, y1)，点 b(X2, y2),【试题解析】设点A(Xi, y1)，点 b(X2, y2),点M是线段AB的中点,所以 X

9、i + x2 = 2,y + y2 = 2,且2 12 2 2-2xa X- a2y12 V 2y2-231,两式作差可得122XiX22a/ 22(yiy2)b2(Xi X2)(XiX2)(yi y2)(yi b2所以yyiy2y1一y2=XXXiX2X|入2 TOC o 1-5 h z bbib2,即kAB =12.由题息可知，直线AB的斜率为一，所以2aa2ap 2, 2 ,2又 a = b + c ,所以 c= b,i6.20i9 江西卷已知函数 f（X）= sin（X+ ）+acos（X+2 ）, 其中 aCR,当a=J2, 二时，求f（X）在区间0, 同上的最大值与最小值；4冗一，

10、、，、一（2）若 f 一 =0, f （时=i,求 a,。的值.2【考查方式】先转化函数解析式,在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值【试题解析】花(1)f(x)=sin x + 2cos x、,2 ,=(sin x+ cos x) V2 sin x=2cos x-sin x一一 冗=sin x.因为xC 0,/, ,冗 所以一 一x4 、2【考查方式】先转化函数解析式,在利用给定的定义域求其最值，在求参数的值【试题解析】花(1)f(x)=sin x + 2cos x、,2 ,=(sin x+ cos x) V2 sin x=2cos x-sin x一一 冗=sin x.因为xC 0,/,

11、,冗 所以一 一x4 、2,故f(x)在区间0,%上的最大值为 ,最小值2为一1.(2)cos (122asin2asinsin又1.冗 冗2,2知cos0,所以1 2asin(2asin1)sina 1.a解得冗.617.2019江西卷已知首项都是1的两个数列(bn0,一.*N )满足 anbn+1 an+1bn+ 2bn+1bn=0.(1)令 Cnan,求数列cn的通项公式; bn(2)若bn=3n1 ,求数列an的前n项和Sn.【难易程度】容易【测量目标】等差数列，错位相减【考查方式】先求出等差数列，再利用错位相减求和【试题解析】(1)因为 an【试题解析】(1)因为 anbn+1an+

12、1bn + 2bn+1bn = 0, bn0,(n),所以咄an=2,即 cn+1 g=2, bn 1bn所以数列 C所以数列 Cn是以G =1为首项，d=2为公差的等差数列,故 cn=2n1.(2)由 bn= 3n 1 ,知 an=(2n1)3n 1 ,于是数列 an 的前 n 项和 Sn = 1 3+ 3 31 + 5 32+(2n1) 3n1 ,3Sn= 1 31+ 3 32+ L +(2n 3) 3n 1+ (2n1) 3n,将两式相减得2Sn =1+ 2(31+32+L +3n1)-(2n-1)3n=-2-(2n-2)3n ,所以Sn=(n1)3n+1.18.2019 江西卷已知函数

13、 f(x) = (x2bx bh/1 _2x b R .当b = 4时，求f(x)的极值;1(2)若f(x)在区间 0,3上单倜递增， 求b的取值范围.【测量目标】极值，单调性、函数的导数【考查方式】先利用求导求极值,再利用单调性求参数的取值范围【考查方式】先利用求导求极值,再利用单调性求参数的取值范围【试题解析】(1)当b=4时,fx) =5x(x 2).1 2x由fx)=0, 得x= 2或x=0.所以当x (一巴2)时,fx)0, f(x)单调递减；当x(2,0)【试题解析】(1)当b=4时,fx) =5x(x 2).1 2x由fx)=0, 得x= 2或x=0.所以当x (一巴2)时,fx

14、)0, f(x)单调递增；当x0,1 时,2f(x)单调递减，故f(x)在x=- 2处取得极小值f( 2) = 0,在 x=0 处取得极大值 f(0) = 4.(2) fx) =x5x (3b、1 2x一 1 一知当x 0,-时, 3150 ,依题意当 x 0,- 时， 有 5x+(3b2),0,从而 g+(3b2),0,得1-一， b,.所以b的取值范围为91 ,9 .19.2019江西卷如图， 四棱锥 (1)求证：ABXPD.P ABCD中，ABCD为矩形， 平面PAD，平面ABCD.(2)若/BPC=90 , PB=J2PC= 2,问AB为何值时， 四棱锥P ABCD的体积最大？并求此时

15、平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.第19第19题图LLJ84【难易程度】中等【测量目标】线面、面面、线线位置关系,夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系, 【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，【测量目标】线面、面面、线线位置关系,夹角的余弦值，法向量的应用【考查方式】先由线面位置关系来证线线位置关系, 【试题解析】(1)证明：因为ABCD为矩形，在建立直角坐标系利用向量求夹角的余弦值所以ABLAD.又平面PAD，平面 ABCD,平面PAD n平面ABCD= AD, 所以AB,平面 = AD, 所以AB,平面 PAD,故AB，PD.(2)过P作AD的垂线

16、， 垂足为O, 过。作BC的垂线， 垂足为G,连接PG.故POL平面ABCD,23BC，平面 POG, BC PG.在 RtA BPC 中， PG=,3V = 1 .63，PG2 OG2故四棱锥 P-ABCD的体积为即AB V = 1 .63，PG2 OG2故四棱锥 P-ABCD的体积为即AB =2时,3别为。(0, 0,0), B.因为 m 8 6m28m2 6m42226 m3所以当m =四棱锥P-ABCD的体积最大.此时，建立如图所示的空间直角坐标系,各点的坐标分uuurCDuuu 故BPuuuBC =(0, 66, 0),uu.设平面BPC的法向量n (x,y,1),则由uu niuu

17、ur mPC,niuur 6BC得3uuurCDuuu 故BPuuuBC =(0, 66, 0),uu.设平面BPC的法向量n (x,y,1),则由uu niuuur mPC,niuur 6BC得3M 0,6y 0uu(1,0,1)，同理可求出平面DPC的法向量n2,从而平面BPC与平面DPC夹角 的余解得xi,y数为a1,A,B两组， 每组n个数，A组最小1 叼，1)，ur0, n1最大数为a2; B组最小数为bi ,最大数为b2,记a2 a1,b| b2当n3时，求 的分布列和数学期望;(2)令C表示事件 与 的取值恰好相等,求事件C发生的概率P C ；X(2)中的事件C,C表示C的对立事

18、件,判断P C和P C的大小关系，并说明理由.【难易程度】难【测量目标】分布列和数学期望，概率,【考查方式】先求出分布列和数学期望，【测量目标】分布列和数学期望，概率,【考查方式】先求出分布列和数学期望，数学归纳法在求出其概率，最后在利用数学归纳法【试题解析】【试题解析】(1)当n 3时，所有可能值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成 A,B两组，不同的分组方法共有_ 3 一一，C620 种,2345P1331510105所以的分布列为：33一 4 一1010175.(2)5 2和恰好相等的所有可能值为n 1,n,n 1,L ,2n 2.又 和恰好相等且等于n 1时，不同的分组方法有 2种;

19、和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有 2种;和恰好相等且等于 n k(k 1,2,L ,n 2),( n 3)时,不同的分组方法有2Ckk种;所以当4n 2 时，P(C) 一62 -一 ；当n3 3n 22(2Cn 22(2Ckk)P(C)kn1 C2n.(3)由(2)当 n 2 时,时,一二 1 LP(C)，因此P(C) P(C),而当n3时，P(C) P(C),理由如下: 333P(C) P(C),等价于 4(2k 1knC2k) C2n.用数学归纳法来证明：1o当n 3时，式左边 4(2 C2) 16,式右边C320,所以式成立.2o假设n m(m-3)时式成立，即4(2m 2Ckk) Cmm成立.那么，当n m 1时, 2 1式左边m 1 2m 24(2 C2k)4(2 C2k) 4Cmm12Cmm4Cmm12k 1k 1(2m)!4 (2m 2)! (m 1)2(2m)(2m 2)!(4m 1)(m 1)2 (2m)(2m2)!(4 m)m 12(m 1)mC2m 2m 1(m 1)!(m1)!C2m 2(2m 1)(2m 1)m!m! (m 1)!(m 1)!(m 1)!(m 1)!=式右边.即当n m 1时式也成立，综合oz0得， 对于n,-3的所有正整数