(易错题)高中数学必修四第二章《平面向量》测试卷(有答案解析)

1、, 3 , 3 一、选题 1已知向量 a ，满足 a ，对任意模为 的向量 ，有 a b ，向量 , 的夹角的取值范围是（ ）A B C 2已知函数f sin ( 0) a ，点 A， 分为f ( )图象在 y 轴侧的第一个最高点和第一个最低点O 为标原点，若 为钝角三角形，则 a 的值范围为（ ）A 2 3 B C ,1 (1, 3在 ABC 中， ， ， A ，若 为 的心（即三角形外圆的圆心），且 AO mAB nAC ， m （ ）A199BC17114已知ABC是边长为 2 的边角形， D ， 分是、 AB 上的两点，且 ， AD DC，与交于点O，则下列说法正确的是（ ）A AB

2、B 1 2BC BA3 3C OB OC ED在 BC 方上的投影为5已知 M 为位圆 : 2 上的两个动点，且满足 MN ， ，则 PM PN的最大值为（ ）A 5 3B 5 C 36在ABC 中，M 是 的中点若 a ， b ，则 ( A a B )C 7已知ABC，若对任意 ， mBA CA恒成立，则ABC为（ ）A锐角三角形B角三角C直角三角形确定8ABC是边长为 1 的等边三角形 为 AB 的，点 P 在线 上，则AP 的最小值为（ ）AB116C9在 ABC 中 | AC BC ， 是 的内切圆，且与 BC 切 D 点，设 ， AC ， ）A 3 B 2 C 1 3 10知向量 a

3、 (6, b (3, c （ ），若 a / b ，则 b 与 的角的余弦值为ABC11ABC中， D 为 AB 的中点， 边上靠近点 A 的等分点，且BE ，则 A的最小值为（ ）A2 7BC14912知向量 a 、 b 、 满足 ， 的值是（ ） b c，则 b a 最A a B C 能确定二、填题13知向量， b 及数 t 满 | (t a t b | ， a 2 b |2 ，则 的大值是14图，已知四边形 ， AD CD AC BC ， E 的点， CE ，AD /，则 AC 的最小值为_.15图，在 ABC 中， 是 BC 的点 在边 上且 BE ，若 AD ，ABAC的值为_. S

4、 x x xoy S x x xoy16知 ， AB AC ， AC ，如果 P 点是 ABC 所平面内一点，且AP ABAB ，那么 PB 的等于_.已知向量e1，e2是平面 内一组基向量，O为 内定点，对于 任意一点 ，OP 1 时，则称有序实数对 为点 P 广义坐标，若点 、 广义坐标分别为x 1 1x , ，对于下列命题： 线段 A 、 B 的点的广义坐标为 1 2 2 2 ； A、 两间的距为 ； 向量 平行于向量 充要条件是x y 1 2 1； 向量 垂直于向量 的要条件是x x y y 1 1 2.其中的真命题是_（写出所有真命题的序号）18图，直角梯形 中 CD，AD，=4，=

5、8若 CE DE ，3BF FC ， BE=_.19知点O是内部一点，并且满足 OC ， BOC的面积为，的面积为 SS，则 _.20ABC中， AB ， 2 ， BAC 是ABC所在平面上的动点，则 w MA MB 的小值为 三、解题21知向量 OA (3, ， (6, ， OC ,3) （）点 A ， ， C 三共线，求 的；（） 为角三角形，且 B 为角，求 的22直角坐标系 中单位圆 O 的周上两动点 坐标为，记COA 满足 （如图）， （）点 A 与点 B 纵标差 A B的取值范围；（） 的值范围；23图在ABC中，已知点、E分别在边ABBC上，且AB AD，BC BE.（）向量 、

6、 AC 表 ；（） , , 60,求段 DE 的.24图，在梯形ABCD中， 为的中点， / , BAD , , （） AE ；（） AC 与 BD 夹的余弦值25知 a ， a （） a 与 b 的角 ；，（）a ；（） AB ， ，的面积26知向量a、 b 的角为，且| a ， | b 3 3 （） | a |的值；（） a 与 a 夹角的余弦【参考答案】*试卷处理标记，请不要除一选题1解析：【分析】根据向量不等式得到 ，平方得到 a ，代入数据计得到 得到答案.【详解】由| a ， | b ，对任意模为 2 的量 c ，有 a b 可得：( a ) a ) b 可得( a ) 7 , a

7、 平方得到 22 ， cos , 3故选：【点睛】本题考查了向量夹角的计算，利用向量三角不等式的关系进行求解是解题的关. 2B解析：【分析】首先根据题的条件，将三角形三个顶点的坐标写出来，之后根据三角形是钝角三角形，利用向量夹角为钝角的条件，从而转化为向量的数量积A 或 AB ，找出 所满足的条件，最后求得结果【详解】由题意得 , O ( ,1), B(3a ，因为为钝角三角形，所以 或 即 3a2 ，或 2 ，而 0 或 a 3 故选：【点睛】该题考查的是有关利用钝角三角形求对应参数的取值范围，涉及到的知识点有正弦型函数 图象上的特殊点的坐标，钝角三角形的等价转化，向量的数量积坐标公式，属于

8、中档 3D解析：【分析】设 分别为 的点，连接 OD OE ， OD ，OE ，从而得到OD AC ，坐标化构 m， 的程组，解之即. 【详解】设 E分别为AB , AC的中点，连接OD , OE，则OD AB，OE ，又OD AD AO ，即OD 1 AB mAB nAC ，同理OE AE AO ，因为OD AB | AB | ，所以 1 n ， AC | AC mAB AC ，所以 m n ，联立方程组 1 m ， 9m 22 解得 ，所以 .8 n 11故选 D【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系、三角形外心的性质、向量基本定 理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

9、4D解析：【分析】利用 CE AB，判断出 A 错；由 AD DC 合平面向量的基本定理，判断出选项 错误；以 为原点， EA ， 分为 轴 轴正方向建立平面直角坐标系，写出各点坐标，计算出 OB OC的值，判断出选项 错误；利用投影的定义计算出 D 正确3 3 3 3 3 3 【详解】由题 E 为 AB 中，则 CE ，以选项 错；由平面向量线性运算得 2 1BC 3 3，所以选项 B 错；以 E 为点， EA ， 分别为 轴 轴方向建立平面直角坐标系，如图所示，E ， ， ，C 3 D 2 3 , ，设 ， 0, 3 ，BO 1 3 ， DO y 3 ，BO / DO ，以， y 3 1

10、y ，解： y 3，OA OE OE 32，所以选项 C 错； 3 , ，BC 3 ，ED在 方上的投为 1372 6，故选：【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量基本定理，考查投影的定义，考查平面向 量的坐标表示，属于中档题5A解析：【分析】根据条件可知【详解】 2OM ，即可求出最大值.由 可， OMN 为等边三角形，则OM OM 12，由 PM PO ， PN PO ON ，得 PN PO ON PO OM ON， ，又 ，则PO ，因此当 PO 与 2OM ON 同时，等号成立，此时 PM PN的最大值为 3.故选：【点睛】本题考查向量模的大小关系，属于中档. 6D解析：【

11、分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结. 【详解】在中，M 是 BC 的中点，又 AB a ，所以AM BM 1 2，故选 D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题 7C解析：【分析】在直线 AB【详解】在直线 AB上取一点 ，根据向量减法运算可得到 DC CA ，由垂线段最短可确定结.上取一点 D ，得 mBA ， BC DC ， DC CA.对于任意 ，都有不等式成立，由垂线段最短可知：AC AD，即 AC ， ABC为直角三角.故选： C .【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法 运算的几何意义准

12、确化简不等.8C解析：【分析】 0, t 0, t建立平面直角坐标系， ，则 AP 2 3 3 t t 2 ，而 可求最小值【详解】以 D 点坐标原点 所直线为 轴， 所直线为 x 轴立直角坐标系， A( ,0) ， ( 2 3 ， C (0, ) ，设 ，其中 t t )， (0, t ) ， 2 3 3t t ， t 时取最小值为 ，所以 的小值为 故选：【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，用坐标法求最值问题，考查了运算求解能力，属于一 般题目9B解析：【分析】由题得三角形是直角三角形，设AB AC ，设DB x , AD AE y, EC 求出 y ，再利用平面向量的线性运算求.【详

13、解】因为 | AB |:| AC |:| |3: 4:5 ，所以 是直角三角形，设AB AC 4, BC 如图，设 BF x, AD y, CF 由题得 x y y x z x ，所以AD BD AB 3 2 3 2 AB ( ) AB a 5 5 5 5.故选：【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水10解析：【分析】根据向量平行，由平面向量的坐标运算列方程求出 k 的值，再利用平面向量夹角公式求解 即可.【详解】因为 a (3, ), 所以，b c (2, 且， / / b，cos b b，故选：【点睛】本题主要考查向量平行的性质，考查了平面向量数量积的坐

14、标表示以及向量夹角公式的应 用，属于基础题11解析：【分析】作出图形，用 、 表向量 BE 、 CD ，由 可得出 cos A c2 72，利用基本不等式求得 cos 的最小值，结合二倍角的余弦公式可求得 c 的最小值 【详解】如下图所示： 7 1 1 2 2 7 1 1 2 2 BE AE AB AC AB， AD AB ， ，则BE AC AB AB 2 ，即 1 1 cos A c 2 33 b2 2 ，可得 A ， 7bc 当且仅当 时等号成立，所以， cos 2 A 2 .故选：【点睛】本题考查二倍角余弦值最值的求解，考查平面向量垂直的数量积的应用，同时也考查了基 本不等式的应用，考

15、查计算能力，属于中等.12解析：【分析】由 a ，得2 b 2 ).2b c a 2 2 ) 、 2a c )，利用 | a | 【详解】，即可比较解：由 a ，得 c )，平方可得 2a b a ) 同理可得 2b c b )， a a 、 2 c )，则 a b、 b 、 a 中小的值是 故选： C 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，属于中档题二、填题13【分析】根据整理为再两边平方结合得到然后利用基本不等式求解【详 解】因为所以两边平方得因为即所以而所以解得当且仅当时等号成立所以的最 大值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由这一信息将转化为再遇解析：【分析】根据 ( t ，理为

16、| ，再两边平方结合 |2 ，得到 t，然后利用基本不等式求.【详解】因为 ( t a t b | 所以| t ，两边平方得t 2 ，因为 |2 ，即，所以t 2 ，而t2，所以 t t，解得t ，当且仅当t 所以 的大值是故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由 2 2这一信息，将 ( t a t b |，转化为| ，再遇模平方，利用基本不等式从而得.14【分析】令结合题中已知条件得出通过根据数量积的概念以及二次函数的 性质可得结果【详解】令因为所以又因为是的中点所以故可得所以当时取得最 2 2 小值故答案为：【点睛】关键点点睛：将表示成根据几何关系将所需量用表 解析 【分析】 令 ACD

17、 合题中已知条件得出 CAB AC 2sin 2 通 AC AC 及二次函数的性质可得结.【详解】令 ACD ，因为 AD ，AC ， CE，所以 ，又因为 E 是 AB 的点， ，所以 AB ， ，CBA ， ，故可得 2sin 2 所以 AC 2sin 2 sin21 ，2 当sin 时， AC 取得最小值 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将 BD 表成 AD ，据几何关系将所需量用表示，将最后结果表示为关于 函数15【分析】将作为平面向量的一组基底再根据平面向量基本定理用表示出再 由即可得出结论【详解】因为在中 D 是的中点 E 在边上且所以又所以即所以故 答案为：解析： 【分析】将 作

18、平面向量的一组基底，再根据平面向量基本定理用 表示出 ，由 AB 即可得出结论【详解】因为在 中，D 是 的点E 在边 AB 上，且 BE EA ，1 2 1 1 1 2 1 1 所以AD 1 1 ( AC ) AC AE ) ( AB AC ) AC AB 2 2 AC AB 2 3,又 AD ，以 AB= 3所以.AC AB ，即| 3 AC，故答案为： 1613【析】由条件可得可得由可得出答案【详解】又故答案为：点 睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用属于中档题 解析：【分析】由条件可得 ， AP ，得PB 【详解】 ，由AB ， ， AC ，AB AP AB ，

19、AB ，AP AB AC，AP AB AC AC ， 4PB PA AB， PC PA AC ， 又 AC 17 .故答案为：【点睛】本题主要考查了平面向量线性运算和数量积的运算性质的应用，属于中档.17【分析】根据点的广义坐标分别为利用向量的运算公式分别计算 得出结论【解】点的广义坐标分别为对于线段的中点设为 M 根据=（）=点的广义坐标为故正确对于（x2x1）A 两点间的距离为 解析：【分析】 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 根据点 A B 的义坐标分别为x , 1 x ，OA 1 1 2，OB e 2 2 2【详解】，利用向量的运算公式分别计得出结.点 、 B 的义坐标分别为x

20、, 1 x , ，OA e 1 ，OB e 2 2 2对于，段 A B 的中点设为 ，根据 OM = ) e ( e= （ ）中点的广义坐标为x y 1 , 1 2,故正.对于， AB x）e 1 1 ，、 两间的距离为 ) e y ) 2 e2 1 1 1 2 1y y ，2 1 1 2故不定正确对于，量 OA 平于向量 则 ，即（x y1 ）=t y2 2, x y 2 1，故正.对于，量 OA 垂于向量 则 =0， e y y 1 2 1 1 1 ，故一定正.故答案.【点睛】本题在新情境下考查了数量积运算性质、数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题18【分析】通过建立直角坐标

21、系利用向量的坐标运算转化求解即可【详解】 以为坐标原点建立直角坐标系如图：因为直角梯形 ABCD 中 ADAB=AD=4CD=8 若所以所以则故答案为：【点睛】本题考查解析 【分析】通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算转化求解即可【详解】以 A 为标原点建立直角坐标系如图：因为直角梯形 中 CDAD，=4=8，若 ， 3BF FC所以A， (4,0) ， (1,4) ， ，所以 AF (5,1) ， BE ，DBCDBC则 AF 故答案为： 【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，是基本知识的考查19【分析】将化为再构造向量和得出比例关系最后求解【详解】因为所以分 别取的中点则所

22、以即三点共线且如图所示则由于为中点所以所以故答案为： 【点睛】本题考查向量的线性运算但是在三角形中考查又和三角形面积综合在解析：16【分析】将 OB OC 化为OA 系，最后求解1 .2【详解】因为 OA OC 所以OA 分别取 ， 的中点 D ， E ，则 OC OD OB OC OE .所以 OD ，即 O ， D E 三共线且 OE.如所示，则S ，于 D 为 中，所以 ，以 S .故答案为：16【点睛】本题考查向量的线性运算，但是在三角形中考查，又和三角形面积综合在一起，属于中档w w 题20【分析】以 A 为原点 所在直线为 x 轴建系如图所示根据题意可得 ABC 坐标设可得的坐标根

23、据数量积公式可得的表达式即可求得答案【详解】以 为 原点 AC 所在直线为 x 轴建立坐标系如图所示：因为所以设则所以当时解析 283【分析】以 为原点AC 所直线为 x 轴，建系，如图所示，根据题意，可得 AB 坐，设M ( x )，可得 , MC 的坐标，根据数量积公式，可得 的达，即可求得答.【详解】以 为原点AC 所直线为 x 轴，建立坐标系，如图所示：因为 AB ， 2 ， 所以 (0,0), ( 2, 2), ，设M ( x )，则 MA ), MB y ), MC (3 , ) 所以w MB MC x ( 2 ) y ( y 2) ，( )( x 2) y ( y 2) ( x

24、= 3 x 2 2 x 2 ) 2 3( ) 3，当 x 2 2 y 28时， w 最小值，且为 ，3故答案为：283【点睛】解题的关键是建立适当的坐标系，求得点坐标，利用数量积公式的坐标公式求解，考查分 析理解，计算化简的能力，属基础.三、解题x x 2 x x 2 211） 【分析】 ；（） x （）点 A ， ， 三共线可得 AB和 线，解关于 的方程可得答案；（）案【详解】为直角三角形可得 BC ，即 AB ，关于 的程可得答（） (3, ， ， ， OB (3,1)， BC OC ,6)点 A ， ， C 三共线 AB和 共， 3 ，得 ；（）为直角三角形，且 B 为直角， BC ，

25、 AB 3( ) ，解得x 【点睛】方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：1）向量平行，利用x y 1 2 1解答；）两向量垂直，利用x x y y 1 1 2解答.221）y y A B（） 3 2 .【分析】（）据三角数的定义写出点 A 与 纵坐标，从而将 A 表示成关于 的角函数；（）出向量量积的坐标运算，即 ，再利用三角函数的有界性即 可得答案；【详解】由题意得： sin y sin A sin 3 sin ， sin 3， y y A （） OA (cos,sin 1 3 3 2 2 2 11 3 3 2 2 2 1 2 sin 2 2 12，0 ， 3 1 1 2 2 2， 3 AO , 2 .【点睛】根据三角函数的定义及三角恒等变换、三角函数的有界性是求解本题的关.231）【解析】 AB （） 7 .试题分