反函数-精讲版课件

1、第 讲6 反函数第二章 函数高考搜索反函数的定义及其求法分段函数的反函数的求法互为反函数的函数图象间的关系反函数的性质及应用高高考猜想高考比较重视对反函数的考查，试题多以考查基础知识为主；经常考查的有：反函数的求法；反函数的概念；反函数在某点的函数值；反函数与原函数之间的关系，包括定义域与值域的关系、单调性的关系、函数图象的关系等.一、反函数的概念1. 设函数y=f(x)的定义域为A，值域为C，由y=f(x)求出x=(y).如果对于C中每个y值，在A中都有唯一的值和它对应，那么x=(y)为以y为自变量的函数，叫做y=f(x)的反函数，记作x=f-1(y).通常情况下，一般用x表示自变量，所以记

2、作 . y=f-1(x)2. 反函数的定义域和值域分别是原函数的 和 .二、反函数的求解步骤第一步从y=f(x)中求出x，第二步 ;第三步确定y=f-1(x)的定义域，即原函数的 .值域定义域交换x，y的位置值域三、原函数与反函数图象间的关系1.原函数与其反函数的图象关于 对称.2. 若点P(a，b)在y=f(x)的图象上，则点 在y=f-1(x)的图象上.直线y=x(b，a)四、反函数的性质若y=f(x)的图象关于直线y=x对称，则y=f(x)的反函数是 .其自身五、两个重要结论1. 若y=f(x)存在反函数，xA，yC，则f-1f(x)= ，ff-1(x)= .2. 已知y=f(x)，求f

3、-1(a)可以利用 ，从中求出x，即f-1(a).xxf(x)=a1.函数 的反函数是( )A.y=(x-1)2 (1x3)B. y=(x-1)2 (0 x4)C. y=x2-1 (1x3)D. y=x2-1 (0 x4) 由得x=(y-1)2，且1y3，所以其反函数是y=(x-1)2(1x3)，故选A.答案：A2.若函数y=f(x)是函数y=ax(a0，且a1)的反函数，其图象经过点 则f(x)=( )A.log2xB. C. D. x2 f(x)=logax，代入解得所以故选B.答案：B3.函数 的反函数为自身的条件是( )A.a=0,b=0B. a=1,bRC. a=1,b-1D. a=

4、-1,b=0因为函数 的反函数为自身，所以则a=1，b-1.故选C.答案：C题型一：反函数的求法1. 求下列函数的反函数.(1)f(x)=x2-3x+2 (x1);(2)f(x)= x2-1(0 x1) x2 (-1x0). (1)由得 因为x1，所以即又当x1时，所以y0，故(2)当x(0，1时，由y=x2-1，得x=y+1.又0 x21，所以-1y0.当x-1，0)时，由y=x2，得x=-y，又0 x21，所以0y1.故f-1(x)= 点评：求反函数的解析式应注意两点：一是先把解析式看为自变量的方程，在定义域范围内求得自变量；二是须求得反函数的定义域(也可求原函数的值域).求下列函数的反函

5、数.(1) f(x)=x2-2x-1 (x0);(2) (1)由y=x2-2x-1=(x-1)2-2，得(x-1)2=y+2.因为x0，所以即又当x0时，x-1-1，故(x-1)21，则y-1，所以(2)由得所以1-x2=(1-y)2，即x2=2y-y2.因为-1x0，所以且y(0，1.所以题型二：互为反函数的函数图象之间的关系2. 已知函数 y=g(x)的图象与y=f-1(x+1)的图象关于直线y=x对称，求 的值. 解法1：(着力于寻求f-1(x+1)的解析式)由已知得所以又由题设知g(x)的反函数为f -1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1),所以令 ，则所以由得解得b=-1，

6、所以 解法2:(利用正反函数值的转化)令则又由题设知g(x)的反函数为f -1(x+1)，所以g-1(x)=f-1(x+1).所以由得 所以所以b+1=0，即b=-1,故得 解法3:(运用对复合函数的反函数的认知)由题设知f-1(x+1)的反函数为g(x),又f -1(x+1)的反函数为f(x)-1,所以g(x)=f(x)-1,所以点评：互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称，即点(a，b)如果在原函数的图象上，则点(b，a)一定在它的反函数的图象上.设函数已知其反函数y=f-1(x)的图象关于点M(-1，3)成中心对称，求实数a的值.其对称中心为(a+1，-1).因为f-1(x)的图象

7、的对称中心M(-1，3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，-1)，即a+1=3，故a=2. 题型三：函数与其反函数的相互关系3. 已知f(x)是定义在R上的增函数，点A(-1，1)和B(1，3)在它的图象上，f -1(x)是它的反函数，那么不等式|f -1(log2x)|1的解集为( )A. (2，8) B. (1，3)C. (-1，1) D. 无法确定 因为|f -1(log2x)|1，所以-1f -1(log2x)1.又因为f(x)为R上的增函数，所以f(-1)ff -1(log2x)f(1)，即1log2x3，得2x8，选A.点评：互为反函数的两个函数有着类似的性质：如单调性、奇偶性.原函数与它的反函数的增减性相同；原函数如果是奇函数，则它的反函数也是奇函数. 设函数已知f-1(x)=f(x)，求m的值. 因为f-1(x)=f(x)，所以函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.显然f(5)=0，所以点A(5，0)在y=f(x)的图象上，从而点A(5，0)关于直线y=x的对称点(0，5)也在y=f(x)的图象上，所以此时，由得所以故m=-1为所求.1. 求函数的反函数大致分三个步骤进行：首先由y=f(x)解出x=(y)；然后求出原函数f(x)的值域；最后将x，y互换，注明反