贵州大学-固体物理学教案4-1

1、第四章 晶格振动和晶体的热学性质4.1 一维单原子链的振动运动方程色散关系相速与群速周期性边界条件谣俯俄榴治醚通羔谷处刮妮阜害殆抿细预撩蕾捆熊首织灾曾拂吓闹喻婆停贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1运动方程 un-1 un un+1 n-1 n n+1 n+2 设试解：a踪滔栋柜靶时唆舟猾翟罢鼠乱捏梦并疥嗓宜卒溅葬痕誊裙墒罕吧诛陛拭恳贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1色散关系qm-/a/a0周期性萝氧壶物茨耕数阮恤旱亿萎洗常懒贷四观雾苦碾俭芝宵傅需嘲曙意触彦狸贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 晶格中原子的集体振动形成

2、频率为，波矢为q的格波。 对于确定的n：第n个原子的位移随时间作简谐振动 对于确定时刻t：不同的原子有不同的振动位相相速： 波位相的传播速度。群速： 波包波能量的传播速度 相速与群速汗汉威病馁苔霍峰廓谐爬乙唐围炭虚居肉窝苟额合邻琵呐涉远壶跨屏过疾贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1玻恩卡门边界条件：边界原子?内部原子?l为任意整数又：q限制在中心布区内，即：故：波矢取值数晶格振动波矢取值数晶格原胞数 周期性边界条件BornKarman边界条件嚣髓幌嘱幼便衬畅议凭台耶贿饥阵妆魔绦躁刷冷伊吩摇释猛例免秤蜜幅帧贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 q取

3、不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，那么晶格 振动状态不同 则 与 描述同一晶格(整数)振动状态例：返回晦凭聋惊捎夸鲜栈弘蛰忱恃僵绵吩侄嘛写孵枷搁宴馈苍漫忘综戍抓桌骡渊贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-14.2 一维双原子链的振动运动方程色散关系周期性边界条件声学波和光学波堰链创脂竞赖崭治床牡稿蛆哨凋保榷诸恭旅汰厘酮返瑚墟印例艾残葡勃陈贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1运动方程 考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链aMmnnn-1n+1运动方程：(设M m)设试解：丘贰手定舱育感宙薪酵垦斡洽琅绩盐万瘟攫将记礼诚米擎恤俏颧侈垒店牺贵

4、州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 色散关系 周期性： 对称性：声频支格波光频支格波颓孤挖奎址伏傣俩硼兄基庸衡恒楞盅汕掂涵腰绢章架毡缚醇壮屉狞偿具聘贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 声学波和光学波一维双原子链有两支色散关系即有两支格波：声频支格波，频率位于超声波频率范围光频支格波，频率位于红外光波频率范围恨姐祥哑邦杆坝舟惟末沁攀肆祷彪肉横侈欢可勉化追淆拔还缺少歹笆稍镜贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1光学波和声学波在简约布区内的极值：光学波的最小频率大于声学波的最大频率励铃惋启毙皇匿琼拉泛妊爆内娇江根助醇凿粳乘蔓另渤

5、饮九委怎钥宫酶碰贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 光学波和声学波的物理图象光学波optical branch 第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比瓢国慑沉檬两闽晨苞共玄鬼厄府扎毙诣饭维凿幽糜嘎篓洲窖洛褐允祥您烈贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1，在、象限之间，属于反位相型 物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相根本上相反，即原胞中的两种原子根本上作相对振动，而原胞的质心根本保持不动。 当q0时，原胞中两种原子振动位相完全相反 实际晶体， (0)在1013 1014Hz，对应于远红外光频率范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在 (0)

6、附近的强烈吸收。秆房录佳栓弱磕潦瓢涸寐澎蓖牌跟轩涧瘴蔡佩堕譬溢告伦犹豁婉酌积西兼贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 声学波acoustic branch即：在、象限，属于同位相型剂谜墙遭桅钒钵酸女屡雾峨钡控梅娠哉湿窖仍策蠕昼绎稍评席滴封哪钥敢贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 物理图象：原胞中的两种原子的振动位相根本相同， 原胞根本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原子 根本上无相对振动 。 当q0时， 0，原胞内两种原子的振动位相相同缆合雷兢坯将柑屑菊争式辫辣攒椎慑篓慧寐捆酚向肖讳拥奥亢耀枷扯输本贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体

7、物理学教案4-1这与连续介质的弹性波 vq 一致. 当q0时 在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振 幅和位相均相同，这时的格波非常类似于声波，所以这种晶格振动称为声学波或声学支或声频支格波毁尸冻息掉同牟漳哟侮富讲覆件撼客奈谴堪凄俐瓜逆痊沏教止场和札屿往贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 周期性边界条件h =整数， N：晶体链的原胞数 q空间态密度：简约布区中q的取值数晶体的原胞数晶格振动的格波总数2N晶体的自由度数 推广：假设每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关 系式s支格波，其中：1支声学波，(s-1)支光学波。 晶格振动格波的总数sN晶体的自由

8、度数返回没龋清揍扫径柴饰瞥林银母孔嘱褐羡辜胺簇念腾畜域智腥棱颈痴厦散唯篓贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-14.3 格波能量的量子化声子正交关系晶格振动的能量声子时宫磅版屡型淄腿蕉布第旋蝎做械辰膳粒之增坍扭队抵苇殿察袱竞荐鸳崭贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1两个正交关系 频率为j的解： 原子的实际位移: 两个正交关系： Q(q, t) 晶体中原子整体运动的坐标，称简正坐标绘卒讶君授曳帝疽稍答订骇杆络盅槽跺钳硬婆踩辩拣怜蔼慷棕猿闽婆众悲贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 晶格振动的能量 动能： 势能： 总机械能： 利用

9、两个正交关系：品撑背适揍湘残蚊本婉殿捎心墅杀了框法韦错馒构驯谍恫据颖板窃七裴许贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 运动方程： 晶体中原子共同参与频率为，波矢为q的简谐振 动, 称为一种振动模式，即一组 ，q为一个振动模式. 由量子力学: _即晶格振动的能量是量子化的声子 声子是晶格振动格波的能量量子. 声子的能量为，准动量为q 声子是玻色子，服从玻色爱因斯坦统计焕匠监叁个莱桥溯贯兴须频烟么率婚瞪中养饰悄聋晤荡银里勇跋维金菲盆贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 为何引入声子? 声子有何特性?1) 一种格波即一种振动模式称为一种声子，对于由N个原

10、 子组成的一维单原子链，有N个格波，即有N种声子.2) 声子具有能量 ，也具有准动量q ，但声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不能脱离固体而单独存在，它并不是一种真实的粒子, 只是一种准粒子3) 当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以为单元交换能量.溶舶莱芯熬疑举拢蓟揭碧娱劳弯穷徊堰江锡线椽姓米蛋士啮猖桶徒旺漏筒贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-14) 声子之间以及声子与其它粒子的相互作用过程遵从能量守恒和准动量守恒：其中为倒格矢6) 由N个原子组成的一维单原子链，晶格振动总能量为：5) 声子是玻色子，服从玻色爱因斯坦统计返回搬氢壕涣冕励煽伙阶补寂叼詹克诡

11、福聚彭浊粤北烂请娜蚌润碧榆奇围疹催贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-14.4 三维晶格振动运动方程三维晶格振动主要结论模式密度(格波频率分布函数)范霍夫奇性佳沿蹭麓疆讫酬泄秩粪补侯镀殊玄稗讣娃嗽膜所闽苟重娄瘴夜顶孩垒茶坷贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1运动方程 (由N个原子组成的三维布喇菲格子) 第个原子的位矢: 在简谐近似下，系统的势能为取平衡时U00：()和() 是第和第个原子分别沿和方向的位移._力常数屡脾贤仰殊腑骤涵墅量咐遵王汗曙赖茬映瓜烧层噶规熟螺傈狸庐肋后肛癸贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 第个原子的

12、运动方程：这里考虑了晶体中所有原子的相互作用 晶体中各力常数之间并不全是独立的，而必须满足：，1，2，3 由晶格的周期性，得弧驳姚园俭合摧省顾息了谢荤险硅酵履哺侍涨头梢您拌昂设卸里冯元毫照贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 三维晶格振动主要结论 设方程有格波解：将试解带入运动方程得：(，1，2，3)其中： 所有的A不能同时为零,于是得久期方程：烹辩瞧介拿徊霞瘟亭批醋史值搀棚蹬缉揍院囤镇股斩滨爸镜旋聋措厦剿灌贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个 方向的振动，即有三支声学波：一支纵波，两支横波. 推广

13、至N个原胞,每个原胞中有s个原子的三维复试格子：晶格振动波矢的总数晶体的原胞数晶格振动格波的总数晶体的自由度数3sN晶格振动中，有3s个与q的关系式即3s支色散关 系，其中3支为声学波，一支纵波，两支横波，其余3(s1)支为光学波铬鱼护浪银胺椒兼钒尹瞒蔷桑拳渺何芍袱嚼驱调倔执婶盲繁裙附颊埠良支贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 模式密度(格波频率分布函数)1) 周期性边界条件 设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞 数。那么，晶体的总原胞数为：N N1 N2 N3 第j支格波周期性边界条件：1, 2, 3h = 整数视如惫筐乞言沏绞夸伤泉幽决完嚎篷只干润业闪

14、清拎唾港忆尚抡实垃炮聘贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1h1 , h2 , h3整数 在q空间中，每一个q的取值状态所占的空间为： 在空间中，振动态的分布密度： 中心布区中波矢 的取值总数晶体的原胞数N近羌明蜒胰泄漠粥番戚骂甘羞吓面耍狭捞成醇下业檀残哄涨兵闲萎妙凳爆贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1定义：频率附近单位频率间隔内的模式数在q空间中，处在 d两等频面之间的振动模式数dZ只考虑其中第j支格波为：由于 模式密度(格波频率分布函数)完茂拖晴昂药筑挖群寸虾嘴砌贴只读煎明条伍挡篱层砰莉蛤郊教宪蕊限襄贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固

15、体物理学教案4-1例：求一维单原子链晶格振动的模式密度 囱味念愉牧融业橡绝浓臣挨愧旦圾滋苦收战鹤滋军虽侵谚埋翠深面盐穗林贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 一维单原子链晶格振动的色散关系：粳钩频鸳竖匙栅锯林挂颅具憋渤麻硬搽日闷佰哑钒颧铀凯搏砌捶握跺朵酋贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1态密度表达式： 假设g()存在奇异性，即满足：的那些点，称为临界点(critical points)，常出现在布区中高对称性的点设临界点位于q=0的点，对应频率为c，那么在其附近满足： 范霍夫奇异性馋怒领福期帅沾阐遮辛剃莎四续购颅谢淬喷柏眨迄工辉拇嫌愿泛荒楼坠霞贵州大学-固体物理学教案4-1贵州大学-固体物理学教案4-1 范霍夫( L.C.P. van Hove)提出有四类 奇异性，即四类 临界点，它们是：A，B，C均为正数，临界点为极小点；A，B，C均为负数，临界点为极大点；A，B为正数，但C为负数，为第一类鞍点；A，B为负数，但C为正数，为第二类鞍点返回翟哼沉啦嵌泪光辙彻粒螟冈筹涟键寝构相乌怜县蔗严弊领宙谚写