数列知识点总结及题型归纳总结

1、nn让学习成为一种习惯！高三总复 - 数一、数的概念（1）数列定义：按一定次序排的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作 a ，数列第一个位置的项叫第 1 项或首项第二个位置的叫第 2 项，序号为 的叫第 n 项也叫通项）记作 a ；数列的一般形式： ， ， ， ，简记作 1 2 n n例：判断下列各组元素能否构成数列（1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9;(2)2010 年省参加高考的考生人数。（2）通项公式的定义：如果数 n叫这个数列的通项公式。例如： ， 5 ，的第 项 之的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就：1 1 1 ，2 3 4 数列的通项公式是

2、a = n （ n 7， N数列的通项公式是 a = （ n 说明： n表示数列中的第n项，=f 表示数列的通项公式； 同一个数列的通项公式的形不一定唯一。例 = (k ) k；不是每个数列都有通项公式。例如1，1.4，1.414，（3）数列的函数特征与图象表：序号： 2 3 4 5 6项 ：4 5 6 7 8 9上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射函观点看列 实质上是定义域为正整数集 （它的有限子集）的函数 f ( ) 当变量 n 从 1 开依次取值时应的一系列 函数值 f f f (3), ， f ( ) ，通常用 来替 f 孤立点例：画出数列a n n的

3、图像（4）数列分类：按数列项数有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间大小关 系分：单调数列（递增数列、递减数列列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？（1）1，2，4，6， (2)10, 8, 7, 6, 5, (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, (4)a, a, a, a, a,（5）数列 的前 nn项和 与项 a nn的关系：a ( 1 ( n n n 例：已知数列 n的前 n 项s 2 ，求数列 n的通项公式1让学习成为一种习惯！练：1根据数列前 4 项，写出它的项公式：（1，3，5，7； 2 （2 ， ， ， ； （3 1 1 1

4、 ， ， ， 。1*2 2*3 3*4 4*5（4，99，999，9999 （5，77，777，7777， (6)8, 88, 888, 2数列 a n2 3( )（1）写出1,， ，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？3 京理 14，文 15）在某报自测健康状况的报道中，自测血压结果与相应年龄的统数据如下. 观察表中数据的特点，用适当的数填入表中空白_）内。4、由前几项猜想通项：根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公（1 （4）（7 （ ） （ ）5. 观下列各图，并阅读下面的字，像这样， 10 条直线相交，交点的个数最多是（ 通项公式 为

5、.A 个 B45 个 C50 个 D55 条 直 相 交，最多有 1 个交点 条 线 相 交，最多有 个交点 条 线 相 交，最多有 个交点21111让学习成为一种习惯！二等数题一等差数列定义：一般地，如果一个数列从2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数 列 就 叫 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 做 等 差 列 差 公 差 通 常 用 字 母d表 示 。 用 递 推 公 式 表 示 为a d ( 或 ( n 。n n例：等差数列 a 2 ， n n 题二等差数列的通项公式： n ；n 1说明：等差数列（通常可称为 数）的单调性： d 为增数列， d 例：1.已知等差数

6、列 ， 则 等（ ） 9 12为常数列， 为递减数列。2.A15 B30 C31 D 首项 ，差 d 等差数列，如果 a 2005 ，序号 n 等 n（A）667 ）668 （C）669 （D）6703.等差数列a 2 ， 为 n n n为 （填“递增数列”或“递减数列题三等差中项的概念：定义：如果a，成等差数列，那么叫做a与的等差中项。其中 a ， A ， b 成差数列 即 2a n n 例国 I 数的等差数列 n 1 A120 105 C 90（ 2 ） n n a a 80 a 1 12 D （ ）2.设数列 是单调递增的等差数列，前三项的和为 12前三项的积为 48则它的首项是（ ）A

7、 B.2 C.4 D.8题四等差数列的性质：（1）在等差数列 起，每一项是它相邻二项的等差中项；n（2）在等差数列距的项组成的数列是等差数列；n（3）在等差数列 m ， ， a ) d ， d n ma n ( ) n ；（4）在等差数列n m ， n ， ， 且 则 m n pq；题五等差数列的前 和求和公式：S nn ) n n 1 n na 2 22d ）2。( 2 ( A ) 列 )递推公式：S n( a ) n ( 1 n 2 2) 例：1.如等差数列a 4 5，那么a 2 7（A （B （C （D3让学习成为一种习惯！2.（2015 湖南卷文）设是等差数列n 项和已知 ， 11，则

8、等于( )A13 35 633.（2015 全国卷理） 设差列n 项为 ，若 S ,则 a 9 4 9=4.（2015 重庆文）等差数列na ， a 的为（ ） 1 5（A）5 （B）6 （C）8 （D5.若一个等差数列前 3 项和为 34最后 项的为 146且所有项的和为 390，则这个数列有 ） A.13 项 项 C.11 项 D.10 项6.已知等差数列 项和为 S ， 12，则 a 2 8 7.（2014 全国卷理）设等差列 项和为 S ， a a n 5 3则 8 全）已知数列 是等差数列， =1， + + =100. （）求数列b 的通项 b ； 9.已知差列，10，其前 10 项

9、的和1070，则其公差等于( )13C.13D.10.（2015 陕西卷文）设等差数 s 的 n 项为 n , 12 3,则 11 全）设 等数列 为列 的前 n 项和，已知 S 7S 75 为数 n n的前 n 项和，求 T 。12.等差数列项和记为S，已知，a求通项 ；若 S =242求 n已知13.在差数列 a 40, 求S 3 17中）已 S8 12 求 和d1 ）知a 10, S 求a 和 6 88；(3)4奇奇让学习成为一种习惯！题六对于一个等差数列：若项数为偶数，设共有若项数为奇数，设共有 n 项则 S 偶 n ，则 奇奇 nd 偶 a S 奇 ；S 偶 S n； S 偶。题七对

10、与一个等差数列， , n2 , n3 2 仍成等差数列。例：1.等差数列a 的前 m 项为 ，前 m 和为 100，则它的前 3m 项和（ ）A.130 B.170 C.210 D.2602.一个等差数列前n项的和为 48，前 2n项的和为 60，则前 3n项的和为 。3已知等差数列 项和 100，前 100 项为 10则前 110 项和为4.设 为差数列 项和， ，S410 30， 79=5 全 II）设 S 是等数列 的前 n 项和若 n ， 6 3 12AB1 1C3 8D19题八判断或证明一个数列是等差数列的方法： 定义法： d (常数） N 列中项法： a a n N) 列通项公式法

11、：a kn k b为 n列前项和公式法： An 2 Bn ( A ) 列例：1.已知数列 满足 a n n ，数列 n为 （ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断2.已知数列 n的通项为a 2 n，则数列 n为 （ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断3.已知一个数列 n的前 n 项s n ，数列 n为（ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断4.已知一个数列 n的前 n 项s 2 nn2，则数列 n为（ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断5nn79

12、6 nn79 6 n让学习成为一种习惯！5.已知一个数列 满足 a n a ，数列 为（ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断6.数列=8， ，且a 0（ n N）求数列式7 天理2）设 S 数 的前 n 项，且 S =， （ ） n n A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.非等比数列又非等差数列题九数列最值（1）a 1，d 时 有大值；a 1，d 时 有小值；（2）最值的求法：若已知，的最值可求二次函数 n2bn的最值；可用二次函数最值的求法（n 或者求出负界项，即： 若已知 ，则 最时 n 的（

13、 n N n ）可如下确定 或 a n n 。例：1等差数列a ， 1 912，则前项的和最大。2设等差数列 项和为 ，已知a ，S 312S 13求出公差 d 的围，指出S ， 1 212中哪一个值最大，并说明理由。3 上）设a N）是等差数列 是前 n 项和且 ， ，下列结论错误的 n 是（ ）d0 B. 0 C. S 与 S 均 的大6nn让学习成为一种习惯！4已知数列 （ 数 项中最大项和最小项分是5.已知 n是等差数列，其中 ，公差 。（1）数列 n从哪一项开始小于 0？（2）求数列 n前n项和的最大值，并求出对应n的值6.已 n是各项不为零的等差数列，其中 ，公差d ，若,求列 n

14、前n项和的最大值7.在等差数列 n中， ，求的最大值题十利用 ( 1 ( n n n 求通项1.数列 前 n 项 S ）试写出数列的前 5 项数 是等差数列吗？）能写出列 的通项公式吗？7n n 让学习成为一种习惯！2已知数列 项 nn2 n 3.设数列 n的前 n 项为 S =2n，数列 n的通项公式；4.已知数列 和 S ( n n求证：数列列求数列式5. 安文）设数列 的前 n 项和 n2，则的值为（ ）（A） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64等比数列等比数列定义一般地如一个数列从第二项起一项与它的前一项的比等于同一个常数那么这个数列就叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；

15、公比通常用字母表示( q 0)，即： ：a q ( 0) n。一递关与项式递推关系：an n通项公式：a a n 1n 推广：a a n 1 在等比数列n2 在等比数列na 4, ，则 a 3 ,则 193. 重文）在等比数列a 中， 8，a 64， 则比 q 为 ）（A）2 （B （C）4 （D）8在比列n ， ， = 822让学习成为一种习惯！5.在各项都为正数的等比数列 中，首项 ，前三项和为 ，a 3 5（ ）A 33 B 72 C 84 D 189二等中：三数a c成比列则为 a 的比项且b ，注 b 2 是等比列必而充条.例：1. 3和 的等比中项为( )( A ( ) ( ) (

16、 D （2013 重卷文设n为 的等数列， 2 且 a a , 成等比数列则n 项和=（ ）An2 7 n2 5 n2 3 B C 4 3 3 2 D三等数的本质（1 若 m ，则a 中 , p , q Nm q)（2n nm， ( n N n n )（3列，则下标成等差数的对应项成等比数（4数列又是等比数列为零的常数.例：1在等比数列n和是方程2 x 2 的两个,则a 4 7( )( A) 1 ( B ) (C ) ( D 2. 在比数列n ，a a9 ，则=3.在等比数列求中， a 33，a ，a 6 3 n 若T lg lg T n 1 2 n n9 n 2 n 2 n让学习成为一种习惯

17、！4.等比数列 的各项为正数，且a a log a log 5 7 3 1 3 2 （ ）A B10 C 2+ 广东卷理已等比数 满足 0, 1,2, 且a 52 n 2 n( n 3)则 时log a log a 2 2 3 22 （ ）A. B. C. D.( n 前项和公式 na ( S ) a q 1 1 ( q 例：1.已知等比数列2.已知等比数列 n n的首相的首相 51 51，公比，公比q ，则其前 n 项 S n，当项数 n 趋近无穷大时，其前 n 项和 n3.设等比数列 n的前 n 项为，已a a ，求n和4 年京卷）设f ( ) 4 7 3 n ， f (n)等于（ ）A2

18、 2 2 (8 B n C D7 7 7 n 5 全文，21）设等比a 的前 n 项和为 S ， S S 2S ，求数列的公比 ；n n 3 6 96设等比数列 n的公比为 q，前 n 项和 S ， ,S ，S 成等差数列，则 q 的值为 .若数 列， S 是前 n 项和， Nn *，那么 ， S k2 kk， k k成等比数列例：1.（2014 辽宁卷理）设等比数的前 n 项为，若SS=3 ，则=78A. 2 B. 2.一个等比数列前n33C.项的和为 ， 2nD.3项的和为 60，则前 n项的和为（ ）A83 B108 C75 63102n2n让学习成为一种习惯！3.已知数列列且m， S2

19、 ，则 3 等比列的判定法（1）定义法：an anq（常数 ；（2）中项法：an2a nn ( a 0) ； n （3）通项公式法： ( k , q 列（4）前 n 项和法： k n （ , q为常数 列。 kq , q为常数 列例：1.已知数列 n的通项为 2，则数列 n为 （ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断 2.已知数列 满足 a a a 0) ，数列 （ ）n n nA.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数列 D.无判断3.已知一个数列 n的前 n 项s ，则数列 n为（ ）A.等差数列 B.等数列 C.既不是等差数列也不是等比数

20、列 D.无判断利用 a ( 1 ( n 2) n n 求通项例：1.（2015 北卷）数列a 的前 项为 S ，且 =1， n n n，=1，2，3，求 a ， 的值及数列 通项公式2.（2015 山卷）已知数列n 5,前项和为，且 n * ) ，证明数列 n11让学习成为一种习惯！四求列项式法（1式（义）根等数、比列定求项例：1 已知差数列 满足： a 26 求 a ； n n2.已知数列 满足 a 2, n n ，求数列 n的通项公式；3.数列=8， ，且a （ n 数； 4. 已数列 n满足a 2,1a1n 1 an，求数列； 5. 设列 n满足a 0且1 1 1 n n，求 n的通项公

21、式12 让学习成为一种习惯！ 已数列2a 足 a a ，求数列 a 的通项公式。7. 等数列 n的各项均为正数，且2 1 ，a32 26，求数列 n的通项公式8. 已数列 n满足a 2, 1 nn n ，求数列 n的通项公式；9. 已数列 满足 a a 4a n n ann 2（ n N数列式10. 已数列 满足 a n n n 2( n )n（ 数式13让学习成为一种习惯！11. 已数列 满足 a a 1n n 3( a nn （ N数式；12.数列已知数列na 1, a n n 则数列= n（2）加、加 用：an a ( ) n若an f ) n n，则 f 2 1 (2) 3 2L Ln

22、 n n两边分别相加得a f ( nk 例：1.知数列 满足a 1,an n1 4n ，求数列 的通项公式。1411让学习成为一种习惯！ 已数列 满足an n 1，求数列 的通项公式。 已数列 足 a n a nn ，数列 1 n的通项公式。4. 设列 满足 a ， n 1 ，求数列 n的通项公式（3）乘适于an f ( an若a a a f ，则 f (1)， f ， f ( ) a a 2 两边分别相乘得， nn f k 1 k 15n n 让学习成为一种习惯！例： 已知数列 足 n n 1)5n ， ，数列 n 的通项公式。已知数n ，na n n，求n。已知a ，an a ( ， a

23、。 n n（4）定数适于an qa f ( n ) n解题基本步骤：、确定f ( n、设等比数列 n) 、列出关系式an ( ( ) 1 2 、比较系数求 ， 、解得数列 式 、得列项公 16让学习成为一种习惯！例： 已知数列 中，a a 1 nn 2)，求数列。 n（庆,数列na1 an a 3( n该数列的通项 2014. 福理 22.本小题满分 分）已知数n 1n n * n求数列 n项公式；已知数 满足n a nn a 1，求数列。 n解：设n n n n已知数列 足 a n nn， ，数列 1 n的通项公式。解：设n n y x nn )17n nn n让学习成为一种习惯！已数n 1

24、 ) n ，求n 已数列 满足n 2 n 2 n a n ，求数列 的通项公式。解：设n ( 2y ( xnn2yn ) 已数列 满足n 2 a n ，求数列式 递推公式为an pan n（其中 ，q 均常数把递推公式转化为a ( a ) n n n n其中s， 满 p st 已数列 满足an n a , a a 2n 2，求数列 的通项公式。18nn让学习成为一种习惯！（5）推式既分析：把已知关系通过 a 1 , n 转化为数列 的递推关系，然后采用相应的方法求解。 1.（2015 北卷）数a 前 项和为 S ，且 a ， n n n，=1，2，3，求 ， ， 的值 及数列 的通公式 201

25、5 山东卷知数列n5, 前 项为 Sn N * ) n明数列 n是等比数列3已知数列 和 S n( n a n求证：数列列求数列式19让学习成为一种习惯！ 已知数列 的各项均为正数，且前 项 满足 n16( a a ， a a a n n 9成等比数列，求数列 的通项公式。（6）数换 用分关的推式分只一例： 已知数列 足 a 2 ，数列 a 的通项公式。（7）对穷推数消项得到第 n 与 项关系例： （2014 年全国 I 第 ，原题是填空题）已知数列 满足a a a a n a 2) ，求 1 的通项公式。2.设数列 n a 2 1 2 3 n， N*求数列 n2011n11n让学习成为一种习

26、惯！五数求直用差等数的和式和 n ( a ) n n 1 d 2 ( q S (1 )n 1 ( q 公比含字母时一定要讨论(理)无递缩等比数列时，S 例：1.已知等差数列 n满足a 2，求前n项和 n2. 等数 中， + =14，其前 n 项 =100,则 n（ ） nA B10 11 D123.已知等比数列 n满足a 2，求前n项和 n4.设f ( n 4 3 n N ) ， f ( )等于（ ）A. 2 n B. (8 C. 7 n D.n 错相法和如 b b 的和 例：1求和 x x n2 n 2.求和：S n1 a 2 a 3 a n21nbnnbn让学习成为一种习惯！3.设 是等差数列，b 是各项都为正数的等比数列，且a 1