函数的单调性 全省一等奖-精讲版课件

1、函数的单调性OxyOxyOxy21yOx引例：常见函数的图象二、新知探究解析法图像法通俗语言：在区间（0，+）上， 随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。数学语言：在区间（0，+）上， 任取 ，得 当 时，有 。这时我们就说函数 在区间（0，+）上是增函数x01234f(x)014916列表法0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征数量特征0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征0yx1x

2、2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0

3、yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1x2时， f(x1) f(x2)y随x的增大而减小0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx 在区间I内在区间I内图象 y=f(x) y=f(x)图象特征从左至右，图象上升从左至右，图象下降数量特征y随x的增大而增大当x1x2时， f(x1) f(x2) 那么就说在f(x)这个区间上是单调减函数，I称为f(x)的单调 减 区间.Oxyx1x2f(x1)f(x2)由此得出单调增函数和单调减函数的定义.xOyx

4、1x2f(x1)f(x2)设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I， x1,x2 I设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A. 如果对于属于定义域A内某个区间I上 x1,x2 I 那么就说在f(x)这个区间上是单调增 函数，I称为f(x)的单调 区间.增当x1x2时，都有f(x1 ) f(x2 )，当x1x2时，都有 f (x1 ) f(x2 )，单调区间（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的

5、，减函数的图象是下降的。注意：判断1：函数 f (x)= x2 在 是单调增函数；xyo（2）函数单调性是针对某个区间而言的，是一个局部性质;（1）如果函数 y =f(x)在区间I是单调增函数或单调减函数，那么就说函数 y =f(x)在区间I上具有单调性。在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。注意：判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2) f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数；（3） x 1, x 2 取值的任意性yxO12f(1)f(2)yoxyox在(-,+)是减函数在(-,0)和(0,+)是减函数在 增函数在 减函数yoxyoxyox在(-,+)是增

6、函数在(-,0)和(0,+)是增函数在 增函数在 减函数xy例1：下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？解：函数y=f(x)的单调区间有 -5,-2),-2,1),1,3),3,5 其中y=f(x)在区间-5,-2), 1,3)是减函数， 在区间-2,1), 3,5 上是增函数。例2. 写出单调区间数缺形时少直观xy_ ,讨论1：？不能数形结合的思想要了解某函数在某一区间上是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用的方法，但这种方法比较粗略。严格地 说，它还需要进行证明。例3 （1）证明函数f(x)=-3x+2在R

7、上是减函数。分析：按定义只需设x1,x2是R上的任意两个实数， 当 x1x2，我们来证明f(x1)f(x2)。证明： x1,x2 R,且 x1x2，f(x1)-f(x2)=(-3 x1 +2)-(-3 x2+2)= 3( x2- x1)由x1x2 ，得 x2- x1 0于是 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2)所以，函数f(x)=-3x+2在R上是减函数。取值作差变形定号下结论判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： 1. 任取x1，x2D，且x1x2 2 .作差f(x1)f(x2)； 3 .变形（通常是因式分解和配方） 4 .定号（

8、即判断差f(x1)f(x2)的正负）；5 .下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性） 三判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1 取值： x1，x2D，且x1x2；2 作差：f(x1)f(x2)；3 变形：通常是因式分解和配方；4 定号：即判断差f(x1)f(x2)的正负；5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性作差变形定号下结论例4 证明函数 在区间0，+）上为增函数。取值例6：证明函数 在R上是减函数。 x1,x2 0，+）,且x1 x2， 则：由0 x1x2 得 且 于是 f(x1)-f(x2)0。即 f(x1)

9、f(x2)所以函数 在区间0，+）上为增函数。取值作差变形定号下结论证明:例4 证明函数 在区间0，+）上为增函数。例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。练一练 试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。成果运用若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。 解：二次函数 的对称轴为 ,由图象可知只要 ，即 即可. oxy1xy1o成果运用若二次函数 的单调增区是 ， 则a的取值情况是 （ ） 变式1变式3请你说出一个在 上单调递减的函数若二次函数 在区间 上单调递增，求a的取值范围。 A. B. C. D. 返回 是定义在R上的单调函数，且 的图

10、象过点A（0，2）和B（3，0） （1）解方程 （2）解不等式 （3）求适合 的 的取值范围思考 小结1.函数单调性的定义中有哪些关键点？2.判断函数单调性有哪些常用方法？3.你学会了哪些数学思想方法？作业2、证明函数 f（x）=-x2在 上是 减函数。3、证明函数 f（x）= 在 上是单调递增的。(选做)1、教材 p39 1，2，3，4 4，0，9，32，72，134，（）思考题225数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞;数无形时少直觉,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休;切莫忘,几何代数统一体,永远联系莫分离. 华罗庚判断题：（1）已知f(x)= ，因为f(-1)f(2),所以函

11、数f(x)是 增函数。（2）若函数f(x)满足f (2)f(3),则函数f(x)在区间2，3 上为增函数。（3）若函数f(x)在区间(1，2和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。（4）因为函数f(x)= 在区间（-，0）和（0，+） 上都是减函数，所以f(x)= 在（-，0）（0，+） 上是减函数。例5：证明函数 上是增函数。 例6：证明函数 在R上是增函数。证明：任取例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。例7：证明函数 在其定义域内 是减函数。思考例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x

12、)在D上是否仍为增函数？ 为什么？所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数是（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性不能是例2 如果 是m,n上的减函数，且 ， 是a,b上的增函数，求证 在m,n上也是减函数。复合

13、函数:判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。定义域：1、若已知 的定义域为a,b,则复合函数 的定义域由 解出。2、若已知 的定义域为a,b,则函数 的定义域即为小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。增函数增函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数减函数减函数减函数减函数复合函数单调性注：1、复合函数y=fg(x)的单调区间必须是其定义域的子集2、对于复合函数y=fg(x)的单调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的单调性确定的且规律是“同增，异减”例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2x)的单调区间

14、。小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间是定义域的某个区间。（2）求复合函数的单调区间. 注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.（1）掌握复合函数单调性的判断方法.小结同增异减四、小结1.概念探究过程：从直观到抽象、从特殊到一般。2.用定义证明函数的单调性。3.数学思想方法和思维方法：数形结合小结：考虑指数函数的单调性要先考虑函数的定义域，在定义域范围内求函数的单调性。知识探究（一） 若 呢？ 则函数 在区间D上的单调性如何？思考1：对于函数 定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值 ，若 ，对于函数 定义域内某个区间D上的任意两个自变量的值 ,若当 时，都有 (1) ,则称函数 在

15、区间D上是增函数；(2) ,则称函数 在区间D上是减函数.思考2：若函数 在区间D上为增函数， 为常数，则函数 、 的单调性如何？思考3：若函数 、 在区间D上都是增函数，则函数 、 在区间D上的单调性能否确定？思考4：若函数 在区间D上是增函数，则函数 在区间D上是增函数吗？函数 在区间D上是减函数？如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数 的单调区间，此时也说函数在这一区间上是单调函数. 知识探究（二）思考1：函数 是单调函数吗？思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言有哪几种可能情形？思考2：函数 在R上具有单调性吗？其单

16、调区间如何？思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？ xyo图1xyo图2思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单调性吗？思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是单调函数，那么 在区间 上是单调函数吗？理论迁移 例1 已知函数 ，求不等式 的解集. 例2 已知函数 在区间0，4上是增函数，求实数 的取值范围. 例3 已知定义在R上的函数 满足：对任意 R，都有 ，且当 时， ，试确定函数的单调性.（三）求复合函数的单调区间. 注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.（二）掌握复合函数单调性的判断方法.小结（一）函数单调性解题应用.1、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论)3、利用单调性求解不等式。(重在转化问题)2、利用函数单调性求函数的值域或最值。4、求函数单调区间的题型(包括求复合函数单调区间)同增异减1、当x0，+)，x增大时， 图（1）中的y值 ； 图（2）中的y值 。2、当x(，0)，x增大时， 图（1）中的y值 ； 图（2）中的y值 。请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：增大增大增大减小 函