数理方程复习市公开课获奖课件

1、第1页第1页三类基本方程在直角坐标系中表示一、 波动方程二、热传导方程三、拉普拉斯方程第2页第2页 定解问题适定性：解存在性、解唯一性和解稳定性； 若一个定解问题存在唯一且稳定解，则此问题称为适定。 定解问题泛定方程+定解条件边界条件拟定本征值和本征函数要求掌握三类边界条件常见例子（见第一章课件，如边界吸热，放热，绝热，自由冷却，边界固定，边界为自由端等）以及初始条件表述办法。初始条件拟定级数叠加系数第3页第3页1、线性二阶偏微分方程普通形式 该方程为齐次该方程为非齐次数学物理方程分类 方程为双曲型方程为抛物型方程为椭圆型若方程中与u相关项幂指数均为1，方程为线性。第4页第4页行 波 法一、行

2、波法主要用来求解无界区域内波动方程定解问题达朗贝尔公式第5页第5页对无限长区域内波动方程，任意扰动总是以行波形式分为两个方向传播出去，波速为 ，也即 :以速度 沿 负方向移动行波以速度 沿 正方向移动行波通解物理意义： 第6页第6页二、普通二阶齐次线性偏微分方程特性线求法： 其特性方程为：其特性方程解即为特性线方程：如第7页第7页双曲型方程过其中每一点有两条不同实特性线椭圆型方程过其中每一点不存在实特性线抛物型方程过其中每一点有一条实特性线三、傅里叶级数 第8页第8页傅里叶变换式傅里叶逆变换式复数形式傅里叶变换第9页第9页基本思想：通过度离变量，把偏微分方程分解成几种常微分方程，常微分方程带有

3、附加条件而构成本征值问题。分离变量(傅立叶级数)法要求能纯熟应用分离变量法求解波动方程，热传导方程，拉普拉斯方程（矩形区域和圆形区域）定解问题。第10页第10页解题环节:边界是否齐次写出本征值、本征函数、待求物理量傅立叶级数展开式边界齐次化写出定解问题方程非齐次项和初值条件级数展开代入原泛定方程得到另一变量微分方程和初值写出解表示式和系数第11页第11页边界齐次化（考点）第12页第12页第13页第13页边界条件（四种）： 第14页第14页波动方程： 热传导方程： 第15页第15页拉普拉斯方程： 1、矩形区域： 2、圆域（圆盘、圆环区域）（重点）： 第16页第16页若研究区域包括圆心，必须考虑该

4、自然边界条件。满足有界性条件 通解为： 在求叠加系数时，要善于利用初始条件，注意比对等号两边系数，达到化简叠加系数目的.第17页第17页求解非齐次方程特性函数法第18页第18页将V（x,t）按W（x,t）本征函数进行展开，如：令：若 表示式能够写成关于x正余弦形式， 不用展开，不然， 也需要按W本征函数展开。 第19页第19页将展开式代入原方程，注意等号两边比对，代入初始条件，化简叠加系数。详细内容参见课件中相关例题。本部分重点复习第三章课件中倒数第二个例题。第20页第20页格林函数主要掌握使用格林函数求解三维拉普拉斯方程1、 熟记第一格林公式和第二格林公式-第一格林公式 -第二格林公式 第2

5、1页第21页2 拉普拉斯方程钮曼问题 有解必要条件3 拉普拉斯方程解唯一性问题结论 狄利克雷问题在原定解问题中解是唯一拟定； 钮曼问题解在相差一个常数下也是唯一拟定.4、三维拉普拉斯方程基本解.或第22页第22页使用镜像法求上半空间内格林函数在狄利克雷问题中第23页第23页为上半空间 格林函数.球域内格林函数：详细内容参见课件上相关例题。第24页第24页贝塞尔函数n阶贝塞尔方程做代换 , n阶贝塞尔方程原则形式.熟记！熟记！第25页第25页贝塞尔函数级数解法n阶贝塞尔方程一个特解熟记！第26页第26页或当 n 不为整数时, 和 线性无关n阶贝塞尔方程通解为 另两个特解第27页第27页当n为整数

6、时，有：当n为整数时, 与 线性相关n阶贝塞尔方程通解只可写为贝塞尔函数性质：1 有界性 第28页第28页n为偶数时， 为偶函数n为奇数时， 为奇函数性质2 奇偶性 性质3 递推性（大题考点） 详细内容参见课件上相关例题第29页第29页贝塞尔方程 本征值为 与本征值相应本征函数为： 第30页第30页称为贝塞尔函数模。傅立叶-贝塞尔级数第31页第31页往年考题第32页第32页定解问题适定性指是_。1定解问题中定解条件包括_，2. 边值问题 固有值为_ ，_ ，n = _ 。固有函数为第33页第33页先求出相应齐次方程满足齐次边界条件固有函数系，为_，再设 u( x, t)= _，将自由项按此函数系展开为_，一起代入原方程，利用初始条件，求出待定函数，最后得u ( x,t ) = _。3. 对于非另一方面方程定解问题通常采用固有函数法求解，比如对定解问题第34页第34页5. 贝塞尔方程通解可表示为 _ 。= ， =_。6. 第一类贝塞尔函数二、用格林函数法求解球域内拉普拉斯方程狄利克雷问题： （10分） 第35页第35页四、（12分）求解下列定解问题 三、（12分）求解热传导方程定解问题 第36页第36页五、（12分）求下列狄利克雷问题解（其中a为常数）六、（12分）用达朗贝尔公式求波动