定积分的概念与微积分基本定理-精讲版课件

1、了解定积分的实际背景/了解定积分的基本思想/了解定积分的概念/了解微积分基本定理的含义 2.12 定积分的概念与微积分基本定理1定积分 (1)定积分的定义及相关概念 如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0 x1xi1xixn b，将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点i(i 1,2，n)，作和式 . 当n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b 上的定积分，记作 .在f(x)dx中， 分别叫做积分下限与积分上限，区间 叫做积分 区间， 叫做被积函数， 叫做积分变量， 叫做被积式(2)定积分的性质kf(x)dx . . a，bf(x

2、)f(x)dxa与bx 2微积分基本定理 如果f(x)是区间a，b上的连续函数，并且F(x)f(x)， 这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿莱布尼兹公式 F(b)F(a) 3通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取 负值，还可能是0. (1)当对应的曲边梯形位于x轴上方时，定积分的值取正值，且等于 (2)当对应的曲边梯形位于x轴下方时，定积分的值取负值，且等于 (3)当位于x轴上方的曲边梯形的面积等于位于x轴下方的曲边梯形的面积 时，定积分的值为0；定积分的值等于 曲边梯形的面积曲边梯形的面积的相反数位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x轴下方的曲边梯形面积4如右图所示，由三条直线x

3、a，xb(ab)，x轴及一条曲线y f(x)(f(x)0)围成的曲边梯形的面积为S (1)若在区间a，b上，f(x)0，则S (2)若在区间a，c上，f(x)0；在区间c，b上，f(x)0， 则S . 5匀变速运动的路程公式 作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数vv(t)(v(t)0) 在时间区间a，b上的定积分， 即 . 6变力作功公式 一物体在变力F(x)(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F相 同的方向从xa移动xb(a0)当x0时，t0，当xa时，tt1 ,所以阻力做的功是1用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限，要借助于求曲边梯形的面积

4、和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想2用微积分基本定理求定积分；关键是找到满足F(x)f(x)的函数F(x)，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出F(x)3利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分4在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形直观地确定出被积函数以及积分的上、下限【方法规律】5要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当f(x)0时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借

5、助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来例如：当函数f(x)在区间a，b上恒为正时，定积分 的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲边梯形的面积一般情况下，定积分 的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图象以及直线xa、xb之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积取负号6体会定积分的化归和逼近的思想方法.(本题满分12分)(原创题)如图在区域(x，y)|2x2,0y4中随机撒900粒豆子，如果落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比，试估计落在图中阴影部分的豆子数解答：区域的面积为S116.图中阴影部分的面积设落在阴影部分的豆子数为m，由已知条件 即m 因此落在图中阴影部分的豆子约为600粒【答题模板】1.定积分是通过“分割，求和，取极限”的手段，解决了“以直代曲”，“以有限代替无限”的数学问题，它揭示了整个微积分的真谛，由于其应用的广泛性，因此对定积分的考查特别值得关注2定积分与几何