天津理工大学大学物理稳恒磁场市公开课获奖课件

1、1 不论导线中传导电流还是磁铁，根源都是一个即电荷运动。都可归结为运动电荷之间相互作用。这种相互作用是经过磁场来传递。电荷之间磁相互作用与库仑相互作用不同，不论电荷是静止还是运动，它们之间都存在着库仑相互作用，但只有运动着电荷才存在着磁相互作用。 为定量地描述电场分布，曾引入电场强度矢量E概念。同样为描述磁场分布情况，也需引入一矢量，这就是磁感应强度矢量B，它和电场强度E是相应。本来B应叫做磁场强度，但是由于历史原因，磁场强度这个词叫另一个矢量H占用了，因此B只能叫磁感应强度了。磁场与磁感应强度矢量第1页第1页2 磁场中磁力线能够借助于一些试验显示出来，假如在垂直于长直导线玻璃上撒上一些铁屑，

2、铁屑会被磁场磁化，能够当作一些细小磁针，它们会在磁场中沿一个个同心圆排列起来。因此由载流长直导线所产生磁力线应是一个个同心圆。二 磁通量 磁场中高斯定理 为了形象地反应磁场分布情况，能够象在静电场中用电力线表示电场分布那样，用一些假想曲线来表示磁场分布。我们知道给定磁场中某一点，磁感应强度B大小和方向都是拟定，因此要求曲线上每一点切线方向就是该点B方向。而曲线疏密程度则反应了该点附近B大小，这样曲线就叫做磁力线（B线）。磁力线和电力线同样也是人为地画出来，并非磁场中真有这样一些线。第2页第2页3 能够看出磁力线回转方向和电流之间关系遵从于右手螺旋法则，即用右手握住导线使大拇指伸直，并指向电流方

3、向，这时其它四指弯曲方向就是磁力线方向。第3页第3页4从各种磁力线图能够看出磁力线含有下列特性：由于磁场中某点磁场方向是拟定，因此磁力线不会相交。磁力线这一特性和电力线同样。 载流导线周围磁力线都是围绕电流闭合曲线，没有起点也没有终点。 磁力线这一特性和电力线不同，静电场中电力线是起始于正电荷，终止于负电荷。 磁场中各点B大小普通是不同。为使B线不但能表示磁场方向，且能描述磁场强弱，可象电场中引入电力线数密度那样，引入磁力线数密度：经过磁场中某点处垂直于B矢量单位面积上B线数目正比于该点B数值。因此B大地方磁力线比较密集；B小地方磁力线比较稀疏。对于均匀磁场来说，磁场中磁力线彼此相互平行，各处

4、磁力线密度相等；对于非均匀磁场来说，或者磁力线相互不平行，或者磁力线密度不相等，或者二者都有。第4页第4页5磁通量 和定义电通量类似，通过磁场中某一曲面磁力线数叫做通过此曲面磁通量，用m表示。 在曲面上任取一面元ds，此面元ds所在处B与单位法线n之间夹角是，那么通过此面元磁通量为ds式中dscos是面元ds在垂直于B方向投影。通过一有限大小曲面磁通量m就等于通过这些面积元ds上磁通量dm总和，即或第5页第5页6 对于一闭合曲面来说，普通取向外指向为法线正方向。这样当磁力线从曲面内穿出时，磁通量是正， m 0（ 0 ）；而当磁力线从曲面外穿入时，磁通量是负， m /2， con0 ）。 由于磁

5、力线是闭合，因此对任一闭合曲面来讲，有多少条磁力线进入闭合曲面，就一定有多少条磁力线穿出闭合曲面。这就是说：通过任意闭合曲面磁通量必等于零，即第6页第6页7 这个结论叫做磁场中高斯定理，它是表明磁场性质一个主要定理。它和静电场中高斯定理 在形式上很相同，但它们却有本质上区别。在静电场中，由于自然界有单独存在自由电荷，因此通过闭合曲面电通量能够不为零；而在磁场中，由于自然界没有单独存在磁极，因此通过任意闭合曲面磁通量必为零。请记住第7页第7页8三 毕奥萨伐尔定律 Biot-Savart law 下面讨论载流导线磁场与电流关系。在静电场中，计算任意带电体在某点电场强度E时，我们曾把带电体分成无限多

6、个电荷元dq，求出每个电荷元在该点电场强度dE，而所有电荷元在该点dE 叠加，即为此带电体在该点场强E。pdqr第8页第8页9与这类似，也可把一载流导线当作是由许多个电流元Idl连接而成，I是导线中电流，dl表示在载流导线上沿电流方向所取线元，它是矢量。这样载流导线在磁场中某点所产生磁感应强度B就是由这导线所有电流元在该点所产生dB迭加。 毕奥萨伐尔在通过大量试验基础之上，通过度析之后指出：对于载流导线上任一电流元Idl，它在真空中某点P磁感应强度dB大小与电流元大小Idl和电流元到P点矢径r之间夹角正弦成正比，并与电流元到P点距离r平方成反比，即第9页第9页10K是百分比系数，它与磁介质与单

7、位制选择相关。在国际单位制中0叫真空中磁导率上式可写成第10页第10页11dB方向垂直于dl和r所构成平面，其指向由右手螺旋来决定。若用矢量式表示，则有 是沿r方向单位矢量，其大小等于1请记住第11页第11页12ldlI0arPAB例1 载流长直导线磁场 考虑直导线旁任意一点P磁感强度。据毕奥萨伐尔定律，可看出任意电流元Idl产生元磁场dB方向都一致，在P点是垂直于纸面向内。因此在求总磁感应强度B大小时，只需求dB代数和。对于有限长一段导线AB来说第12页第12页13相除ldlI0arPAB12 从P点作垂足P0，其长度为a，以0点为原点，设电流元Idl到0点距离是l。可看出第13页第13页1

8、4代入前式中，即将积分变量 l 换为 ldlI0arPAB12第14页第14页15 假如导线为无限长， 10， 2，则 载流无限长直导线周围磁感应强度B大小与距离a一次方成反比。在实际中碰到当然不也许是真正无限长直导线，但若在闭合回路中有一段长为L直导线，在其附近aL范围内上式近似成立。ldlI0arPAB12请记住请记住此结果第15页第15页16PIAAdBdBrrRxx0dl例2 载流圆线圈轴线上磁场 设线圈中心是0，半径R，任意点A处电流元Idl在对称轴线上点P产生元磁场dB，它位于P0A平面内且与PA连线垂直。dB与0P夹角=PA0。由于轴对称性，通过A点直径另一端A处电流元产生元磁场

9、dB与dB对称。合成后垂直于轴线方向分量互相抵消，因此只需计算沿轴线方向磁场分量。对于整个圆周来说同样，每个直径两端电流元产生元磁场在垂直于轴线方向一对对互相抵消，总磁感应强度B将沿轴线方向。大小等于各个元磁场沿轴线分量dBcos代数和第16页第16页17由毕-萨定律知对于轴线上点P， = /2，sin = 1；而x = r sin故PIAAdBdBrrRxx0dl第17页第17页18故圆心处，x = 0当 R x 时 上面只计算了轴线上磁场分布，轴线以外磁场分布计算比较复杂不再讨论。PIAAdBdBrrRxx0dl请记住第18页第18页191. 高压输电线在地面上空25m处通有电流5.010

10、3A，则该处地面上由这个电流所产生磁感应强度B=_。第19页第19页201.边长为a一个导体方框上通有电流I，则此框中心磁感应强度（A）正比于a2 （B）与a成正比（C）与a成反比 （D）与I2相关。正方形中心：四边在中心产生B方向都一致045Oaa C第20页第20页21假如导线为无限长， 10， 2，则ldlI0arPAB12第21页第21页222.一弯成直角载流导线在同一平面内，形状如图所表示，0到两边无限长导线距离均为a，则0点磁感应强度大小aa0II B第22页第22页23圆心：正方形中心：四边在中心产生B方向都一致045ORRR08.11 有一个圆形回路1及一个正方形回路2，圆直径

11、和正方形边长相等，两者中通有大小相等电流，它们在各自中心产生磁感应强度大小之比B1/B2为 C第23页第23页24由磁场中高斯定理知，若为一封闭曲面，则通量为零。现为一不封闭曲面，则通量比零差一圆面通量3.在磁感应强度为B均匀磁场中，沿半径为R圆周作一如图所表示任意曲面S，则通过任意曲面S磁通量为（已知圆面法线r与B成角） DrS第24页第24页252.两根导线沿半径方向被引到铁环上A、C两点，电流方向如图所表示，则环中心0处磁感应强度大小_。AC12II0由于两段圆弧形导线是并联，因此 两根直导线通过圆心B=0，圆上1部分与2部分产生B大小相等方向相反，因此环中心0处磁感应强度大小为0。0T

12、第25页第25页264.匀强磁场磁感应强度则通过二分之一径为R、开口向z轴负方向半球壳表面磁通量大小=_Wb。-z通过半球壳表面磁通量与通过圆面通量相等第26页第26页272.如图所表示载流体系（0点是半径为R1和R2两个半圆弧共同圆心），试计算0点磁感应强度B。R1R20I解：方向向外； 方向向里； 方向向里； 方向向外 方向向外第27页第27页28练习：2.一弯成直角载流导线在同一平面内，形状如图所表示，0到两边无限长导线距离均为a，则0点磁感应强度大小aa0II3.真空中将通有电流I 无限长导线折成如图形状，已知半圆环半径为R ，求圆心O点磁感应强度 1 一载有电流I细导线分别均匀地密绕

13、在半径为R和r长直圆筒上，形成两个螺线管，两螺线管单位长度上匝数相等。设R=2r，则两螺线管中磁感应强度大小BR/Br=_。第28页第28页291 一载有电流I细导线分别均匀地密绕在半径为R和r长直圆筒上，形成两个螺线管，两螺线管单位长度上匝数相等。设R=2r，则两螺线管中磁感应强度大小BR/Br=_。 两螺线管单位长度上匝数相等，则两螺线管中磁感应强度大小亦相等。1第29页第29页302.一弯成直角载流导线在同一平面内，形状如图所表示，0到两边无限长导线距离均为a，则0点磁感应强度大小aa0II B第30页第30页313.真空中将通有电流I 无限长导线折成如图形状，已知半圆环半径为R ，求圆

14、心O点磁感应强度 因O在cd延长线上 方向垂直纸面向里 第31页第31页32 我们知道在静电场中电力线是起自正电荷，终止于负电荷。它们不会形成闭合线，也不会在没有电荷地方中断或相交。场强E沿任何闭合回路线积分等于零，即E环流此即场强环流定律。它阐明电场是一保守场，由此能够引入电势概念。四 安培环路定理第32页第32页33 但在磁场中磁力线是一些围绕电流闭合曲线；比如长直导线周围，磁力线都是一些同心圆。因此我们能够预见到磁场是与静电场不同，在磁场中B沿任一闭合路径线积分不为零，即 含有这样一个性质矢量场我们称之为涡旋场，因此决定了磁场不存在电势那样磁势。LIAr 以载流长直导线为例，它周围磁力线

15、应是一组以导线为中心同心圆。我们取一平面与导线垂直，在这一平面内任取一包围电流闭合曲线L，并在闭合曲线上任取一点A，此点磁感应强度为式中I为导线中传导电流；r为A点离开导线垂直距离。B方向？和矢径r方向相垂直。第33页第33页34考虑安培环路L中一个线元 在L所在平面内以0点为中心，r为半径做一圆弧交0B于C点。ABC近似地为始终角三角形，为B与dl之间夹角，故有设dl在0点所张圆心角为d，则弧长0AdBCLr由于d很小，A点与C点很靠近，故于是有由此知B矢量沿这一闭合路径线积分为积分结果只与包围在闭合曲线内传导电流相关与闭合路径形状无关。第34页第34页350AdBCLr 假如闭合路径L不在

16、一个平面内，那我们能够对L上每一段线元dl用通过该点垂直于导线平面作参考，把dl分解为在此平面内分量dl和垂直于此平面分量dl。由于由于B与dl相垂直，因此所得结果仍为上。 假如沿同一闭合路径反方向积分，此时B与dl之间夹角为钝角。第35页第35页36ILLI 这就是说，电流正负可按在闭合曲线上所取回转方向决定，它遵守右手螺旋法则。取螺旋旋转方向为积分回转方向，那么螺旋迈进方向即为电流正方向，反之为负。 假如所选闭合路径L中没有包围电流，那么积分结果显然为零。正负第36页第36页37I1I2I3（A）II（B） A图中闭合曲线内有两个方向相反电流I1和I2 ，闭合曲线外有一电流I3 ，B矢量沿

17、此闭合曲线线积分为 至于B图，因闭合曲线内包围两等值而反向电流I，B矢量沿这闭合曲线线积分必定为零。 第37页第37页38 以上讨论即使是对长直导线而言，但其结论含有普遍性。对任意几何形状通电导线磁场都是合用。这一普遍规律性关系式称为安培环路定理，可表述下列： 在磁场中，磁感应强度沿任何闭合环路L线积分，等于穿过这环路所有电流强度代数和0倍。用公式表示则有 下面应用安培环路定理来计算一些含有一定对称性电流分布磁场强度。 正如高斯定理能够帮助我们计算一些含有一定对称性带电体电场分布同样，安培环路定理也能够帮助我们计算一些含有一定对称性载流导线磁场分布。下面我们举几种这方面例子。请记住第38页第3

18、8页39例1 长直螺线管内磁场 设有一均匀密绕长直螺线管，通有电流I。由于螺线管很长，因此管内中间部分磁场是均匀，方向与管轴线平行。在管外侧磁场很弱，可忽略不计。第39页第39页40abcdp 为了计算管内中间部分某一点P磁感应强度，能够通过P点作一矩形闭合回路abcd，在线段cd以及在线段bc和ad位于管外部分，由于在螺线管外，B=0。在bc和da位于管内部分，即使B0，但dl与B相垂直，即cos=0， =/2。线段ab上各点磁感应强度大小相等，方向都和积分路径一致，即从a到b，因此B矢量沿闭合路径abcda线积分为第40页第40页41abcdp 设螺线管长度为L，共有N匝线圈，则单位长度上

19、线圈匝数为n=N/L，通过每匝电流为I。因此回路abcd所包围电流总和是 由右手螺旋法则，电流应为正值。于是由安培环路定理，有即或此式与依据毕-萨定律得出结果相同，但应用安培环路定理比较简朴。第41页第41页42RrP例3 长直圆柱形载流导线内外磁场 设导线为圆柱形，截面半径为R。电流I沿轴线方向流动。在截面上电流是均匀分布。对于所考察P点来说，当P点离导线距离比P点离两端距离小得多时，能够把导线当作是无限长。在这区域内，磁场对轴线含有对称性。磁力线是在垂直轴线平面内以轴线为中心圆上。取过P点磁力线为积分回路，线上任一点B数值相等，方向与该点dl方向一致。第42页第42页43RrP由安培环路定

20、理，可得到式中r是P点离轴线距离。因此导线外P点磁感应强度为 由此可见，长直圆柱形载流导体外磁场与长直载流导线产生磁场相同。第43页第43页44rQR 在导线内部，磁场同样是轴对称。取过Q点磁力线为积分回路，因单位截面电流是I/R2，因此包围在这一回路内电流为应用安培环路定理得到由此知Q点B大小为 可见在圆柱形导体内部，磁感应强度和离开轴线距离r成正比。第44页第44页45rQRB0RrB随r改变曲线如图所表示。第45页第45页46六 磁场对载流导线作用安培定律 我们知道，磁场对运动电荷有作用力，而导线中电流是由自由电子定向运动形成。因此载流导线在磁场中也必定要受到磁力作用，通常把这个力叫做安

21、培力。 安培从试验结果出发，总结了关于磁场对载流导线作用力基本规律，这就是安培定律。关于这个定律论证过程比较复杂，我们只直接给出结论。安培定律： 磁场对电流元Idl作用力，在数值上等于电流元大小、电流元所在处磁感应强度以及电流元Idl与磁感应强度B之间夹角正弦之乘积。第46页第46页47 安培力方向由右手螺旋决定，即右手四指由Idl经小于180角弯向B，此时大拇指指向即安培力方向。 在计算一给定载流导线所受磁场作用时，必须对各个电流元Idl所受力争矢量和。即若用矢量式表示，则为第47页第47页48lII 比如一长为l载流直导线在匀强磁场B中。因各电流元所受力方向一致，都是垂直于图面向里，因此作

22、用在长直导线上合力即等于各电流元上各个分力代数和，即合力将作用于导线中点，方向垂直于图面向里。也就是说，在磁力F作用下导线将沿垂直于自己并垂直于磁场方向移动。当导线与磁场平行时（=0）磁力为零；导线与磁场垂直时（ =/2）导线所受磁力最大第48页第48页49例 如图表示一段半圆形导线，通有电流I，圆半径R。均匀磁场与导线垂直。试分析此半圆形载流导线受力情况。取坐标0 xy，此时各段电流元所受安培力数值上都等于方向沿各自半径离开圆心向外。整段导线受力为各个电流元所受力矢量和0 xy第49页第49页500 xyd 由于是矢量迭加，我们应将各个电流元所受力dF分解为x方向和y方向分量dFx和dFy

23、。由于电流分布对称性，各段上x方向上力总和为零，只有y方向分力对合力有奉献。由于因此合力在y方向大小为为了便于积分要统一变量。由于dl = Rd，因此 合力F作用在半圆弧中点，方向沿轴y正方向。第50页第50页51abcdl1l2f2If1f2f1磁场对载流线圈作用匀强磁场中一刚性矩形平面载流线圈，边长分别为l1和l2 ，电流强度为I，线圈平面与磁场方向成任意角，对边ab和cd与B垂直。 导线bc和da所受磁场作用力分别是f1和f1。依据安培定律两力在同始终线上，大小相等，方向相反，互相抵消，合力为零。导线ab和cd所受磁场作用力分别为f2和f2 ，依据安培定律两力大小相等，方向相反，但不在一

24、条直线上，形成一个力偶，力矩第51页第51页52f2f2Ia(b)d( c )abcdl1l2f2If1f2f1 习惯上我们惯用线圈平面法线方向来表示线圈方位。假如用线圈平面正法线n方向和磁场方向夹角来代替，由于+=/2，因此上式应为式中Pm=IS是线圈磁矩大小。 磁矩Pm是矢量，它方向应是载流线圈平面正法线n方向，因此上式也可写成矢量式上式不但对矩形线圈成立，对于匀强磁场中任意形状平面线圈也同样成立。第52页第52页53abcdI讨论： =p/2，线圈与磁场平行，磁通量 F =0，力矩 Mmax=ISB=0，线圈与磁场垂直，磁通量F =BS，力矩M=0，这时线圈处于平衡。=p，线圈与磁场垂直

25、，磁通量F =-BS，力矩M=0，这时线圈处于不稳定平衡。f2f2Ia(b)d( c )第53页第53页54八 带电粒子在电磁场中运动洛仑兹力 阴极射线管事实上是一个真空放电管。当我们在它两极之间加上高电压时，就会从它阴极发射出电子束即阴极射线来。电子束本身我们用肉眼看不到，因此管中附有荧光屏。电子束打在荧光屏上发出荧光，这样我们就能够看到电子运动轨迹。没有磁场时，电子束由阴极发出后沿直线迈进。假如把磁铁移近阴极射线管，电子束就会偏转。这表明电子束受到了磁场作用。当磁铁如图放置时，磁场是水平向内。这时电子束将向下偏转，即受到磁力是向下。第54页第54页55NS 这阐明电子速度v、磁感应强度B和

26、电子所受到力F三个矢量彼此互相垂直。假如我们将磁铁在水平面内转过一个角度，使B不在垂直于v，则电子束偏转将会减小。第55页第55页56 试验表明，运动带电粒子在磁场中受力F大小与粒子电荷q、速度v、磁感应强度B之间有下列关系是v和B之间夹角。F方向和v、B所构成平面垂直。另外F方向还和q正负相关，下图是正电荷受力情形，若是负电荷，则F方向与此相反。上式可写成矢量式 由于洛仑兹力方向总与带电粒子速度方向垂直，因此洛仑兹力永远不对粒子作功，它只改变粒子运动方向，而不改变它速率和动能。第56页第56页57R0 若v0与B垂直：此时粒子将受到与运动方向垂直洛仑兹力f，此力大小为方向垂直于v0和B，因此

27、粒子速度大小不变，只改变方向。带电粒子将作匀速圆周运动，而洛仑兹力起着向心力作用。因此 设有一匀强磁场B，一电量为q，质量为m粒子以初速v0进入磁场中运动。重力作用忽略不计。 若v0与B同向，在此情况下，由于B与v0之间夹角为零，因此作用于带电粒子上洛仑兹力带电粒子仍作匀速直线运动，不受磁场影响。第57页第57页58R0即 式中R是圆形轨道半径。由上式可知轨道半径与带电粒子运动速度成正比，与磁感应强度B成反比。速度越小，或B越大，轨道就弯曲越厉害。 带电粒子绕圆形轨道运营一周所需时间即周期是 周期与B成反比，但与带电粒子运动速度无关。第58页第58页594 两根长直导线通有电流I，如图所表示，有三个回路，则 DabccII第59页第59页605 在磁场空间分别取两个闭合回路，若两个回路各自包围载流导线条数不同，但电流代数和相同，则由安培环路定理可知（A）B沿闭合回路线积分相同，回路上各点磁场分布相同（B）B沿闭合回路线积分相同，回路上各点磁场分布不同（C）B沿闭合回路线积分不同，回路上各点磁场分布相同（D）B沿闭合回路线积分不同，回路上各点磁场分布不同 B第60页第60页619 一运动电荷Q，质量为m，垂直进入一匀强磁场中，则（A）其动能改变，动量不变 （B）其动能和动量都改变（C）其动能不变，动量改变 （D）其动能、动量都不变 C