数值分析07线性代数方程组的直接法课件

1、第七章线性方程组 的直接解法AX = b（3.1） 线性方程组数值解法的分类直接法（适用于中等规模的n阶线性方程组） Gauss消去法及其变形 矩阵的三角分解法迭代法（适用于高阶线性方程组） Jacobi迭代法 Gauss-Seidel迭代法 逐次超松弛法 共轭斜量法1 高斯消去法1三角形方程组的解法-回代法（3.2）（3.3） 2顺序高斯消去法 基本思想：通过消元将上述方程组 化为三角形方程组进行求解。顺序Gauss消去法可执行的前提定理 1 给定线性方程组 ，如果n阶方阵 的所有顺序主子式都不为零，即 则按顺序Gauss消去法所形成的各主元素 均不为零，从而Gauss 消去法可顺利执行。注

2、：当线性方程组的系数矩阵为对称正定或严格对角占优阵时，按Gauss消去法计算是稳定的。3、列主元Gauss消去法计算步骤：1、输入矩阵阶数n，增广矩阵 A(n,n+1);2、对于(1) 按列选主元：选取 l 使 (2) 如果 ，交换 A(n,n+1) 的第k行与第l 行元素(3) 消元计算 ：3、回代计算消元公式为：对k = 1, 2, , 按上述步骤进行到第n步后，方程组变为：即为所求的解注：无回代的Gauss消元法实际上就是将 方程组的系数矩阵化为行最简形矩阵。5无回代消去法的应用（1）解线性方程组系设要解的线性方程组系为：AX = b1, AX = b2, AX = bm上述方程组系可以

3、写为AX = B = (b1, , bm)（2）求逆矩阵设A = (aij)nn是非奇矩阵，A 0，且令由于 AA-1 = AX = I因此，求A-1的问题相当于解下列线性方程组相当于（1）中m = n, B = I 的情形。 （3）求行列式的值用高斯消去法将 A化成3 矩阵的三角分解法 高斯消元法的矩阵形式 每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵LkA 的 LU 分解( LU factorization )定理2：（矩阵的三角分解）设A为n n实矩阵，如果解AX = b用高斯消去法能够完成（限制不进行行的交换，即 ），则矩阵A可分解为单位下三角矩阵L与上三角知阵U的乘积。A = LU且这种分解

4、是唯一的。注： （1） L 为单位下三角阵而 U 为一般上三角阵的分解称为Doolittle 分解 （2）L 为一般下三角阵而 U 为单位上三角阵的分解称为Crout 分解。 LU 分解求解线性方程组直接三角分解法解AX = b的计算公式对于r = 2, 3, , n计算（2）计算U的第r行元素 （3）计算L的第r 列元素 (r n)(1)4 平方根法1矩阵的LDR分解定理3：如果n阶矩阵A的所有顺序主子式均不等于零，则矩阵A存在唯一的分解式A = LDR其中L和R分别是n阶单位下三角阵和单位上三角阵，D是n阶对角元素的不为零的对角阵，上述分解也称为A的LDR分解。 2平方根法 如果A为对称正

5、定矩阵，则存在一个实的非奇异下三角矩阵，使A=LLT ，且当限定的对角元素为正时，这种分解是唯一的。定理4：（对称正定矩阵的三角分解）将对称 正定阵 A 做 LU 分解U =uij=u11uij / uii111u22unn记为 A 对称即记 D1/2 =则 仍是下三角阵，且有用平方根法解线性代数方程组的算法（1）对矩阵A进行Cholesky分解，即A=LLT，由矩阵乘法：对于 i = 1, 2, n 计算（2）求解下三角形方程组 （3）求解LTX = y3改进平方根法 其中改进平方根法解对称正定方程组的算法 令LTX = y，先解下三角形方程组 LDY = b 得解上三角形方程组 LTX =

6、 Y 得 5 向量和矩阵的范数 1向量的范数定义1：设X R n， 表示定义在Rn上的一个实值函数，称之为X的范数，它具有下列性质：（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 (1) 非负性：即对一切X R n，X 0, 0(2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n， 设X = (x1, x2, xn)T，则有（1）（2）（3）三个常用的范数：范数等价: 设A 和B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2 0 使得 , 则称 A 和B 等价。定理5：定义在Rn上的向量范数 是变量X分量的 一致连续函数。 定理6：在Rn上定义的任一向量范数 都与范数 等价， 即存在正数 M

7、与 m ( Mm ) 对一切XRn，不等式成立。推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。 对常用范数，容易验证下列不等式： 定义2：设给定Rn中的向量序列 ，即其中若对任何i (i = 1, 2, n )都有则向量 称为向量序列 的极限，或者说向量序列 依坐标收敛于向量 ，记为定理7：向量序列Xk依坐标收敛于X*的充要条件是向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。2矩阵的范数定义3：设A为n 阶方阵，Rn中已定义了向量范数 ， 则称 为矩阵A的范数或模， 记为 。即矩阵范数的基本性质： （1）当A = 0时， 0，当A 0时， 0（2）对任意实数k 和任意A，有（3）对任意两个n阶矩阵A、B

8、有（5）对任意两个n阶矩阵A、B，有（4）对任意向量XRn，和任意矩阵A，有例5:设A(aij)M. 定义证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而定理8：设n 阶方阵A = (aij)nn，则（）与 相容的矩阵范数是（）与 相容的矩阵范数是其中1为矩阵ATA的最大特征值。（）与 相容的矩阵范数是上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和-范数。可以证明, 对方阵 和 ，有 (向量| |2的直接推广)Frobenius范数:3矩阵的范数与特征值之间的关系定理9：矩阵A 的任一特征值的绝对值不超过A的范数，即 定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，记为：并且如果

9、A为对称矩阵，则 注:Rnn中的任意两个矩阵范数也是等价的。定义5： 设| |为Rnn上的矩阵范数，A,BRnn称 |A-B|为A与B之间的距离。定义6：设给定Rnn中的矩阵序列 ，若则称矩阵序列 收敛于矩阵A，记为定理10 设BRnn，则由B的各幂次得到的 矩阵序列Bk, k=0,1,2)收敛于零矩阵 （ ）的充要条件 为 。 求解 时，A 和 的误差对解 有何影响？ 设 A 精确， 有误差 ，得到的解为 ，即绝对误差放大因子又相对误差放大因子6 线性方程组的性态和解的误差分析6 Error Analysis for . 设 精确，A有误差 ，得到的解为 ，即 Wait a minute W

10、ho said that ( I + A1 A ) is invertible?(只要 A充分小，使得 是关键的误差放大因子，称为A的条件数，记为cond (A) ,越 则 A 越病态，难得准确解。大定义7：设A 为n 阶非奇矩阵，称数 为矩阵A的条件数，条件数的性质： ）cond ( A )1）cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数）若 ， 则记为cond( A )。 注: cond (A) 与 所取的范数有关常用条件数有：cond (A)2特别地，若 A 对称，则cond (A)1=A1 1cond (A)=A 例：Hilbert 阵cond (H2) =27c

11、ond (H3) 748cond (H6) =2.9 106cond (Hn) as n 注：现在用Matlab数学软件可以很方便求矩阵的状态数!定义2: 设线性方程组的系数矩阵是非奇异的,如果cond(A) 越大,就称这个方程组越病态.反之,cond(A)越小,就称这个方程组越良态.一般判断矩阵是否病态，并不计算A1，而由经验得出。 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； 元素间相差大数量级，且无规则； 主元消去过程中出现小主元； 特征值相差大数量级。 近似解的误差估计及改善：设 的近似解为 ，则一般有cond (A)误差上限 改善方法(1) ：Step 1:近似解Step 2:Step 3:Step 4:若 可被精确解出，则有 就是精