拉普拉斯方程的格林函数法-4(定稿)课件

1、第四章 拉普拉斯（Laplace）方程 的 格林（Green）函数法数学物理方法拉普拉斯方程 第四章 拉普拉斯（Laplace）方程的格林（Green）函数法 第一章，作为本课程的基础，从试探、训练的角度出发，对一些典型方程和定解条件的导出，进行了演绎。 第二、三两章，我们较为系统地介绍了求解数学物理方程的三种常用方法： 分离变量法 行波法 积分变换法 本章，我们将介绍拉普拉斯的格林函数法。 先讨论涉及此类方程解的一些重要性质 再建立格林函数的概念 然后通过格林函数建立拉普拉斯方程第一边值问题解的积分表达式4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法 在第一章中，我们已经从无源静电场的电位分布和稳恒场的

2、温度分布等两个方面的问题，同时导出了三维拉普拉斯方程作为描述稳定的或平衡的物理现象之拉普拉斯方程，谈它的初始条件是没有意义的！至于边界条件，如前所述有三种类型，但应用较为广泛的是以下两种边值情况。（1） 第一边值问题 在空间 中某一区域 的边界 上，给定了连续函数 ，要求这样一个函数 ,它在闭区域 （或记作 ）上连续，在 内有连续偏导数，且满足拉普拉斯方程，在 上与已知函数 相重合，即第一边值问题也称为迪利克莱（Dirichlet)）问题，或简称为迪氏问题。 2.3中所讨论过的问题，就是圆域内的狄氏问题。调和函数谈到拉普拉斯的连续解，也就是说，具有二阶连续偏导数并且满足拉氏方程的 连续函数，称

3、为调和函数。所以，迪氏问题也可以换一种说法：在区域 内 寻找一个调和函数，使它在边界 上的值为已知！（2） 第二边值问题 在某光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 ，要求寻找这样一个函数 ，它在 内部的区域 中是调和函数，在 上连续，在 上任意一点处的法向导数 存在， 并且等于已知函数 在该点的值：这里 是 的外法向矢量。第二边值问题，也称为牛曼（Neumann）问题 以上两个边值问题，都是在边界上 给定某些边界条件，而在区域内部求拉普拉斯方程的解，这样的问题称为内问题。（4） 牛曼外问题 在光滑的闭曲面的边界 上给出连续函数 ，要求寻找这样一个函数 ，它在 外部的区域 内是调和函数，在 上连续

4、，在 无穷远处满足条件（4.3），而且它在 上任意一点处的法向导数 存在，并满足这里 是边界曲面 的内法向矢量。（1） 第一边值问题（2） 第二边值问题（3） 迪氏外问题（4） 牛曼外问题 下面，我们重点讨论内问题，所用的方法也可以用于外问题。光滑闭曲面（边界）闭曲面 所包围的空间 边界 + 所包围的空间 =因为上式左端所以有上式移项后，称为第一 Green 公式交换 与 的位置，则有将（4.7）与（4.8）式相减，得到为第二 Green 公式为第一 Green 公式 利用格林公式，我们可以推出调和函数的一些基本性质。在公式（4.9）中， 被认为是调和函数了，同时假定它在上有一阶连续偏导数，再

5、取 ，并以 代替上式中的 ，从而得到因为在 内是解析区， （依据解析函数的性质）。而在球面 上内球面法方向与半径反向（复变函数对区域的定义）因此对第一项有被挖去小球后剩余部分，全部落在 区域之中，在此区域应用第二格林公式，有（4.11）变成这就是调和函数的基本积分表达式，它在区域 内任何一点处的值，可以用其在边界 上的函数 和法向导数 的积分表示出来，极具广泛的应用价值，是研究调和函数性质的基础。同理，对第二项有将上面两项结果代入 (4.11) 式，可得（3）调和函数的平均值定理证明 由调和函数基本积分表达式定理 调和函数 在其定义域 内任意一点 的值，等于 以 为球心，以 为半径，且完全落在

6、 内部的这个 球面 上积分的平均值。 只需将上式应用球面 ，即 ，并注意以及牛曼内问题有解的必要条件所以（4）拉普拉斯方程解的唯一性问题现在，利用格林公式来讨论拉普拉斯方程的唯一性问题。将证明如下结论： 设 ， 是定解问题的两个解，则它们的差 也必定是原问题，且满足边界条件的解。对于迪氏问题， 满足对于牛曼问题， 满足以下需要证明：以下需要证明：事实上，在（4.8）中，取 ，则得由条件（4.16）或（4.17）得故在 内必有即4.3 格林函数 (Green Function) 调和函数的基本积分表达式上述（4.12）式说明了调和函数可以用边界 上的函数 和边界上法方向的导数 ，来确定它在区域

7、内任意一点 的函数值！ 但是，这个公式不能直接提供迪氏（Dirichlet) 问题或牛曼（Neumann）问题的解，因为公式中：既包含了又包含了对于狄氏问题而言已知，但 不知道而对于牛氏问题而言已知，但 不知道由解的唯一性知道，当给定了 之后，就不能再任意给定 。所以要想从（4.12）式中得到如迪氏问题的解，就必须消去 ，这就需要引进格林函数的概念。在上述第二格林公式（4.9）中，取 ， 均为 内的调和函数，且在 上有连续一阶偏导数，则得将（4.12）与（4.18）相减，得如果能够选取调和函数 ，使其满足则（4.19）中的 项就被消去了，于是有 令则（4.21）式可表示为G 被称为拉普拉斯方程

8、的格林函数 讨论：(1) 阶偏导数，对于 Laplace 方程的 Dirichlet 问题如果格林函数表达式中的 一经求得，且它在闭区域 上存在连续的一的解存在，那么这个解必定能够表示成对于Poisson 方程 的 Dirichlet 问题若存在在 上一次连续可微的解，那么这个解必定能够表示成 讨论: (3) 格林函数在静电学中有广泛的应用 格林函数的静电源像法或称为镜像法，其发源于静电学原理。 设闭曲面 内一点 处，有一个单位正电荷。则它在 面的内侧感应有一定分布的密度的负电荷，而在 的外侧分布有相应的正电荷。（单位电荷的电量 q=1) 如果曲面 是导体并接地，则外侧正电荷立即消失，且电位为

9、零。这时， 内任意一点 的电位，将由两种电荷共同作用产生（贡献）： 这就是定解问题（4.24）的解。因此这里格林函数也就是导体曲面内的电位。电像法这种在像点处放置一虚构的电荷，来等效替代界面上 感应电荷所产生电位的方法，称之为电像法。4.4 两种特殊区域的格林函数 (Green Function)及迪氏问题的解 只要求出了它的格林函数，这个区域内的迪氏问题的解，就能以积分形式表示出来。从（4.23）式知，对于一个由曲面 所围成的区域 ， 实践经验告诉我们，对于某些特殊的区域，它的格林函数可以用电像法求得。所谓电像法 就是：在区域 外，找到 关于边界 的像点 ， 然后在这个像点放置适当的负电荷，

10、 由它产生的负电位与 点单位正电荷所产生的正电位恰好在曲面 上互相抵消。 由于 在 内部，它的像点 在 的外部，所以放在 处的像电荷所产生的电位，在 内部 正是调和函数 ，而且依据要求，有 故，在 与 处，两个点电荷产生的电场所形成的电位，就是所要求的格林函数。下面，将以半空间、球域为例，说明电像法的应用。（2） 寻找格林函数 （3） 求定解问题的解 4.4.2 球域的格林函数设有一球心在原点，半径为 的球面 ， 在球内任取一点 ，连接并延长至 ，使 ，点 被称为点 关于球面 的反演点或镜像点。 在 放置单位正电荷，在 放置 单位的负电荷。 下面，需要适当选择 的值，使得这两个电荷所产生的电位

11、，在球面 上相互抵消。即或其中， 是球面 上任一点。以 表示 ，则（1）建立反演点 或镜像点（2）寻找调和函数因此，只要在点 处放置 单位的负电荷，由它所形成的电场，在任一点 的电位这个电位 ，不仅在 所围成的球域 的内部是调和函数！而且在 上具有一次连续可微，同时在 上满足所以，球域的格林函数为（3）求解球域内的 迪氏问题现在，利用格林函数求球域内的迪氏问题的解。为此，需要计算出 ，注意到从更广泛的意义上于是于是代入（4.23）式，可得球内迪氏问题的解在球面 上 , 有上式写成球坐标形式其中：以上推导都是形式上的，即假定定解问题有解的条件下得到的解的表达式，至于（4.28)与（4.32）是否

12、就是定解问题的解，尚需加以验证。在此从略。为什么要引入格林函数？为了建立 Laplace 方程解的表达式，需要导出 Green 公式。因为它是数学分析中线面 积分奥高公式的直接推论。2. 从解的形式（有限解分）入手，便于深入地进行理论分析和研究。3. 以统一的方式，研究各类定解问题。4. 对于线性问题，格林函数一旦求出，就可以计算任意源的场。最为漂亮的是求点源场分布。几种方法的比较1. 行波法：广泛应用于无界空间的波动问题，有一定的局限性。分离变量法：诚然很基本、很重要。可以应用于颇为广泛类型的定解问题，但其解为无 穷级数，这总将带来一些不便。格林函数法：直接求特解，囊括了各种定解问题。只要求

13、出各类边值问题相应的格林函 数 G , 问题迎刃而解。内容提要1. 格林公式 设 是以足够光滑的曲面、 为边界的有界区域。函数 和 在 上具有一阶连续偏导数，在 内具有连续二阶偏导数，则有（1）第一格林公式：（2）第二格林公式：2. 调和函数的基本性质（1）基本积分公式上述（4.12）式说明了调和函数可以用边界 上的函数 和边界上法方向的导数 ，来确定它在区域 内任意一点 的函数值！内容提要（2）（3）平均值公式3. 格林函数的定义4. 特殊区域上的格林函数（1）上半空间的格林函数内容提要（2）球域的格林函数5. 特殊区域上拉普拉斯方程狄利克雷问题的解（1）上半空间上狄利克雷问题的解为内容提要（2）球上狄利克雷问题的解为或写成球坐标形式为内容提要