微分的其他应用课件

1、微分的其他应用应用微分作近似计算微分的思想就是一个线性近似的观念，利用几何的语言就是在函数曲线的局部，用直线代替曲线，而线性函数总是比较容易进行数值计算的，因此就可以把线性函数的数值计算结果作为本来函数的数值近似值，这就是运用微分方法进行近似计算的基本思想通过对如下的微分概念的图形表示，可以更进一步理解这种近似的含义。从图中可以看到，随着b点趋向于a点， 的值也趋向于f（b）-f（a）的值，它们的差值是a与b之间差值的高阶无穷小，因此对于任意函数在某点的取值，我们总是可以在函数的这点的的附近找到一个比较容易计算的点，再从这点出发，在通过这点的函数曲线的切线上面计算所需要求的点的函数值的近似值，

2、显然我们选取的计算点与本来要求计算的点的差距越小，则计算的近似程度越高。泰勒定理及其应用上面利用微分所作的线性近似，毕竟还是相当粗略的，因为所谓线性近似，就是用直线代替函数在某点附近的曲线，而毕竟直线与函数本身所代表的曲线，还是相差不少的，如果要更进一步进行精细的近似计算，则需要更为逼近函数本来的曲线的相对简单函数的曲线，利用下面的更为一般的泰勒定理，我们就可以通过构造比较简单的，容易进行数值计算的函数，来获得比线性函数更好的近似性质。首先我们构造这样的简单函数形式，即所谓泰勒多项式：如果函数y=f（x）在点a处具有直到n阶导数，那么多项式称为函数y=f（x）在x=a处的n阶泰勒多项式。或者这

3、是一个精确成立的恒等式，因此不仅给出了近似计算法，也给出了误差估计。一般地，除了分析函数增量的近似以外，利用泰勒多项式，还可以给出函数在的近似表示如下：如果函数f在点a具有连续的n阶导数，则可以把函数表示为这就是函数f在点a处的n阶泰勒公式。这两个定理是分析一般函数最为有力的工具之一，它不仅是表现在进行近似计算方面，它同样给出了函数的在某点的性态。实际上，前面的线性近似是包含在泰勒近似当中的，即对函数进行1次逼近就是线性近似。（1）如果函数f（x）是区间a，b上的凸函数，则对于任意不同的属于这个区间的两点c和d，有下面的不等式成立：（2）如果函数f（x）是区间a，b上的凸函数，则对于任意不同的

4、属于这个区间的两点c和d，以及任意大于0，小于1的数k，有下面的不等式成立：特别地，如果我们取k=1/2，那么上面的不等式就变成了这个不等式更为常用。进一步，如果函数f（x）是区间a，b上的凸函数，则在这个区间上-f（x）被称为凹函数。而如果函数是某个闭区间上的2阶可微凹函数，则函数在这个区间的2阶导数小于等于0，其中至多只是在有限个点成立等号。然后我们定义什么是函数图形上的拐点：如果连续函数在某点a附近发生凸性的变化，则称点（a，f（a）为函数的拐点。通过上面的这些几何特征的定义，以及判别条件，我们就可以做到画出一般函数的草图，这是我们应该掌握的一个重要技能，因为给函数画出草图往往是我们直观

5、了解这个函数的关键前提，特别是如果这个函数比较复杂，即使是经过解析方面的分析，仍然是表示为非常复杂的解析表达式，这种情况下，只有几何方面的特征能够给人足够清晰的印象。根据上面的定义，我们就可以这样来理解函数的渐近线，设函数y=f（x）具有渐近线y=ax+b，那么我们可以得到：当 时， ，其中 表示一个无穷小。 这样我们就可以得到一个近似表达式这就充分表达了我们研究渐近线的最终目的之一，就是希望在x充分大时，应用这个近似表达式进行近似计算，而实际上这个表达式同时也提供了在实际问题当中求渐近线的方法。函数作图运用我们以及学习的导数概念，函数作图的一般步骤如下：（1）求出函数的定义域和值域。（2）确

6、定与函数定义域密切相关的几何特征：奇偶性和周期性。（3）求出函数的1阶导数与2阶导数。（4）在函数定义域内求出方程 的根，求出使得函数的1阶导数与2阶导数不存在的点，把所有这些点作为函数定义域的分界点，从而把函数的定义域分为一些部分区间。（5）在每一个这样的部分区间内，确定函数的1阶导数与2阶导数的符号，从而可以得到函数的单调区间，凸凹区间，局部极值点，拐点。（6）利用求极限的方法，求出函数图形的各种可能的渐近线。（7）给出极值点和拐点后，根据具体情况，有可能需要在各个部分区间再补充几个点，根据上面所揭示的函数性质，就可以联结这些点而得到函数的草图。曲率和曲率半径的概念以及曲率和曲率半径的计算

7、。弧微分及其计算。直观地说，曲率就是表征曲线的弯曲程度。对于一段曲线来说，它的定义就是这段曲线的切线的角度的变化量除以这段曲线的长度，这个曲率称为这段曲线的平均曲率，而对于曲线上面的任意一点来说，这点的曲率，就是这点的某个邻域的平均曲率在邻域长度趋向于0时的极限，也就是可以看到这个定义从数学意义来看，就是一种导数。因此关于曲线的曲率的研究实际上就是导数概念的一个应用。还可以看到计算曲率，就意味着计算曲线弧长的微分与切线偏转角度的微分，因此有必要引入弧微分的概念。设一段曲线由如下参数方程描述：其中函数f，g都存在连续的1阶导数和2阶导数，并且 ，那么定义这段曲线的弧微分为利用弧微分的定义，我们可

8、以得到一般曲线的曲率的计算公式根据曲率的这个计算公式以及上面的弧微分的计算公式，我们可以计算一种特殊的曲线的平均曲率，即圆的平均曲率，可以得到圆的平均曲率实际上是一个常数，也就是说，圆周函数的任意点的曲率都是相同的，并且等于圆周的半径的倒数，这就启发我们对于一般的曲线，都可以定义它的任意一点的曲率的倒数称为曲线在这点的曲率半径。显然，这个定义是具有非常直观的意义的，因为根据上面的曲率的一般计算公式，可以看到一般曲线在某点的曲率完全由曲线在该点的1阶导数和2阶导数决定，因此如果过曲线上任意一点作一个圆与曲线相切，它的半径就是该点的曲率半径，那么曲线在该点的只与该点处的1阶导数和2阶导数有关的性质

9、，就完全可以通过研究通过该点的这个圆而得到，因为它们具有同样的凸性和曲率，以及共同的切线。我们称这个圆为曲线在该点的曲率圆，而这个圆的圆心则称为曲线在该点的曲率中心。求方程近似解的二分法和切线法计算方程的近似根的所谓二分法直接来源于连续函数在闭区间上的一个性质，即零值定理。因为我们知道零值定理实际上就是一个方程的根的存在性定理。只要通过零值定理判断这个方程在给定的闭区间存在至少一个根，就可以通过不断地把这个闭区间分成两半，每次都可以判断方程的根是存在于哪个闭区间，从而逐渐地逼近方程的根的位置。当然二分法的效率是很低的，下面我们讨论另一个效率更高的方程根的近似计算法，即切线法，或者称为牛顿法。这种方法从几何直观的角度来看，是非常容易理解的，不过我们希望同学们能够基于几何意义，自己能够推导出具体的解析计算公式，这也是