计算材料学导论2008jsjjg-6fem

1、主讲教师：吴波计算机在材料科学与工程中的应用College of Materials Science and EngineeringFuzhou University教学目录绪论 （1） 网络与资源的应用 （2）实验方案设计、模型与数据处理 （8）主要物理场的数值模拟 （4）计算机辅助材料设计与模拟 （12）过程控制 （4）材料检测分析 （4）狭义的计算材料学数学建模数据处理数值求解材料设计与模拟广义的计算材料学 第四单元 主要物理场的数值模拟3 数学模型 数学模型：用数学语言对所研究的客观对象或系统的特征和数量关系建立的符号系统。数学模型建立内容主导方程第一边界条件定解条件几何条件物理条件初

2、始条件边界条件定解条件第二边界条件第三边界条件图1 多场耦合关系的有向图 图中圆圈内部表明的是一个物理场，如位移场(位移)，括弧内部指该场的基本场变量。有向线段表明的是场之间单向作用，箭头的起点发于源场，终点指向目的场，如从电场到位移场的有向线段表明电场对位移场的作用。线段中间的文字表明发生作用的物理量，如电场力表明电场是通过电场力对位移场发生作用的。 多物理场耦合分析具有以下几个特点： 温度场是影响范围最广的场。所有的场在不同程度上都受到了温度的影响，这主要是因为任何一种场都具有其物质实体，这种实体的属性一般是温度的函数。 所有场都会对位移场发生作用。其作用主要是通过力来实现的，虽然位移场的

3、基本变量是位移，但是外界场主要通过力如磁场力、电场力、流体压力和热应力等使之发生变形。 位移场和流场是影响较弱的场。一般而言，二者不会对电磁场发生较大的作用。这主要是因为二者的介质通常不同。电磁场在空气中传播时，空气的强流动也不会对电磁场发生太大的影响。当电磁场在固体中传播时，固体的小变形不会对介质的性能造成过于明显的影响。 性质相似的场容易发生相互作用。流场和位移场中发生的是比较宏观的机械运动，二者容易发生流固耦合作用；电磁场源于场间光子的相互交换，二者性质相同而使得电磁场几乎成为不可分割的两个场(静电场和静磁场是电磁场的特殊情况)；温度场源于大量分子的无规则运动，是微观机械运动的宏观表现，

4、这与宏观机械运动的流场和位移场不同。 所以总体上，上述五个场可以分为三类：结构场和流场是一类，电磁场是一类，温度场是一类。 MATLAB程序中的偏微分方程(PDE)工具箱提供了一种用有限元法求解偏微分方程得到数值近似解的方法，可以求解线性的椭圆型、抛物线型、双曲线型偏微分方程及本征型方程和简单的非线性偏微分方程。 3.1.2 数值分析方法 问题的提出： 对于某一材料科学与工程问题，通过建模，其基本方程（微分方程）和相应的定解条件已知。求解基本方程的两种途径：(1)精确的解析解（解析法）建立明确的函数表达式。(2)近似的数值求解（数值解）一系列数据对4.1 数值模拟方法 (离散化方法)4.2 物

5、理场的模拟 温度场应力场浓度场有限差分法（FDM）有限单元法（FEM）边界元法 （BEM）Tensile Round Bar FEM model Von Mises stress distribution Tensile Round Bar Local failure probability distribution under 80,000 cyclic loadsLocal failure probability distribution under 100,000 cyclic loadsFour-Point-Bend Bar Four-point-bend load FFFEM mod

6、el, displacement and Von Mises stress distribution Four-Point-Bend Bar Four-point-bend load FFFEM model, displacement and Von Mises stress distribution Local failure probability distribution under 100,000 cyclic loadsLocal failure probability distribution under 120,000 cyclic loadsFailure Probabilit

7、y of Turbine Blade 4.1.1 有限差分4.1.1.1 应用背景4.1.1.2 有限差分定义4.1.1.3 有限差分解题步骤4.1.1.4 误差分析4.1.1.1 有限差分的应用背景有限差分法在材料成形领域的应用较为普遍，目前材料加工中的传热分析（如铸造过程中的传热凝固、塑性成形过程中的传热、焊接过程中的传热等），流动分析（如铸件充型过程、焊接熔池的产生、移动等）。与有限元法相比，有限差分法在流场分析方面优势明显。 有限差分定义以有限差分代替无限微分，以差分方程代替微分方程，以数值计算代替数学推导的过程，从而讲连续函数离散化，以有限的离散的数值代替连续的函数分布。由主导方程和

8、定解条件，组成微分方程组选择合适的网格布局、步长，进行区域离散化；采用精确法或迭代法解差分方程对数值解进行精度和收敛性的分析和检验用数学方法或物理方法，选择合适的差分形式，替代主导方程和定解条件，构成差分格式2.2.3 有限差分法解题基本步骤1）建立微分方程根据问题的性质选择计算区域，建立微分方程式、初始条件和边界条件。2）构建差分格式首先对求解区域进行离散化，确定计算节点，选择网格布局、差分形式和步长；然后以有限差分代替无限微分，以差商代替微商，以差分方程代替微分方程及边界条件。3）求解差分方程差分方程通常是一组数量较多的线性代数方程，其求解方法主要包括两种：精确法和近似法。其中精确法又称直

9、接法，主要包括矩阵法、Gauss消元法及主元素消元法等；近似法又称间接法，以迭代法为主，主要包括直接迭代法、间接迭代法以及超松弛迭代法。4）精度分析和检验对所得到的数值解进行精度与收敛性分析和检验。网格布局示意图网格线布局b，单元体布局c节点 步长正交网格线系区域离散化i , jxyi-1 , ji+1 , ji, j+1i, j-1xy步长和差分步长 :相邻两节点的距离或单元体长度一阶差分：xf = xi+1 xi，xb= xi xi-1 ， xc =(xi+1 xi-1)/2yf =yj+1 yj，yb=yj yj-1 ， yc=(yi+1 yi-1)/2正交网格线系区域离散化i , jx

10、yi-1 , ji+1 , ji, j+1i, j-1xy一阶差商一阶差商： y/ x= (yi+1 yi)/ x y/ x= (yi yi-1)/ x y/ x= (yi+1 yi-1)/ 2xU=u(x,y),则一阶差商u/ x=(ui+1,j ui,j ) / x u/ y=(ui,j+1 ui,j ) / yu/ x=(ui,j ui-1,j ) / x u/ y=(ui,j ui,j-1 ) / yu/ x =(ui+1,j ui-1,j ) / 2x u/ y =(ui,j+1 ui,j-1 ) / 2y对于 y = y(x)，二阶差商：d2y/dx2= (yi+2 2yi+1 +

11、 yi)/ x2d2y/dx2 = (yi 2yi-1 + yi-2)/ x2d2y/dx2 = (yi+1 2yi + yi-1)/ x2对于U=u(x,y),则二阶差商：d2u/dx2 =(ui+1,j 2ui,j + ui-1,j ) / x2d2u /dy2 =(ui,j+1 2ui,j + ui,j-1 ) / y2对于 y = y(x)，二阶差分： 2yf = yi+2 2yi+1 + yi 2yb = yi 2yi-1 + yi-2 2yc= yi+1 2yi + yi-1实例2.2.3-1（见教材第32页）有限差分网格示意图i , jxyi-1 , ji+1 , ji, j+1

12、i, j-1xy11645327890.50.5T0=900oCTm=100oC=Ti+1-2Ti+Ti-1=00=Ti+1-2Ti+Ti-1=02.2.5 商用有限差分程序简介 （中仿科技 总代理）1、FLAC有限差分程序 （商业化） FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua，连续体快速拉格朗日分析法）是一个基于显式有限差分方法的连续介质程序，主要用来模拟土、岩、或其它材料的非线性力学行为，可以解决众多有限元程序难以模拟的复杂的工程问题，例如大变形、大应变、非线性及非稳定系统（甚至大面积屈服/失稳或完全塌方）等问题。 2、UDEC/3DEC有限差分程

13、序 UDEC/3DEC是针对岩体不连续问题开发，用于模拟非连续介质在静、动态载荷作用下的反应，包括块体间的完全脱离的有限差分方程序。UDEC/3DEC可以在所有的windows环境下安装运行，利用标准输出窗口（如记事本）进行命令流操作。包含有多种材料模型，包括动画在内的多种图形捕捉和输出功能，用户可以利用内置FISH语言而最大程度地控制模型运行。 图2-3 用3DEC程序模拟石塔的稳定性 图2-2 用3DEC程序模拟石拱桥的坍塌过程3、PFC有限差分程序 PFC（Particle Flow Code）是利用显式差分算法和离散元理论开发的微、细观力学程序，它是从介质的基本粒子结构的角度考虑介质的

14、基本力学特性，并认为给定介质在不同应力条件下的基本特性主要取决于粒子之间接触状态的变化，适用于研究粒状集合体的破裂和破裂发展问题、以及颗粒的流动（大位移）问题。图2-4 不同孔隙率下凝灰岩的PFC3D模型 有限元方法，Finite ElementMethod， FEM有限元分析 Finite ElementAnalysis，FEA有限元方法的基础是变分原理和加权余量法有限元方法的基本思想： 把连续的几何结构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量，并在每一单元中假设一近似插值函数以表示单元中场函数

15、的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题化为离散域中的有限自由度问题，求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以致整个集合体上的场函数。有限元离散过程中，相邻单元在同一节点上场变量相同达到连续，但未必在单元边界上任一点连续；在把载荷转化为节点载荷的过程中，只是考虑单元总体平衡，在单元内部和边界上不用保证每点都满足控制方程。由于单元可以设计成不同的几何形状，因而运用有限元法可以模拟和逼近复杂的求解域。显然，如果差值函数满足一定的要求，随着单元数量的增加，求解的精度会不断提高而最终收敛于精确解。从理论上讲，无限增加单元的数量，可以得到问题的精

16、确解，但此举必会导致计算时间的无限增加，因此，在解决实际工程过程中，求解所得的数据只要满足工程需要即可。有限元的优势与有限差分法相比，有限元法的准确性与稳定性都比较好，这是由于有限元法必须假定值在网格点之间的变化规律（既插值函数），并将其作为近似解，而有限差分法只考虑网格点上的数值而不考虑值在网格点之间如何变化。 有限元法常用术语 1、实体（Entity-客观存在的事物及其运动形态 （实际并独立存在的事物）2、单元（Element)有限元模型中每一个小的块体称为一个单元。根据其形状的不同，可以将单元划分为以下几种类型：线段单元、三角形单元、四边形单元、四面体单元和六面体单元等。由于单元是构成有

17、限元模型的基础，因此单元类型对于有限元分析至关重要。一个有限元程序提供的单元种类越多，该程序功能就越强大。3、节点(Node)用于确定单元形状、表述单元特征及连接相邻单元的点称为节点。节点是有限元模型中的最小构成元素。多个单元可以共用1个节点，节点起连接单元和实现数据传递的作用。4、载荷 (Load)工程结构所受到的外在施加的力或力矩称为载荷，包括集中力、力矩及分布力等。在不同的学科中，载荷的含义有所差别。在通常结构分析过程中，载荷为力、位移等；在温度场分析过程中，载荷是指温度等；而在电磁场分析过程中，载荷是指结构所受的电场和磁场作用。5、边界条件 (Boundary condition)边界

18、条件是指结构在边界上所受到的外加约束。在有限元分析过程中，施加正确的边界条件是获得正确的分析结果和较高的分析精度的关键。6、初始条件 (initial condition)初始条件是结构响应前所施加的初始速度、初始温度及预应力等。 有限元分析基本步骤建立求解域并将其离散化为有限单元，即将连续体问题分解成节点和单元等个体问题；2）假设代表单元物理行为的形函数，即假设代表单元解的近似连续函数；3）建立单元方程；4）构造单元整体刚度矩阵；5）施加边界条件、初始条件和载荷；6）求解线性或非线性的微分方程组，得到节点结果及其它重要信息。有限元解题示例2、问题分析这是一个具有内热源的一维稳态热传导问题，边

19、界条件已知，可采用有限元法求解其温度场分布。 软件的主要功能建立模型、结构分析、非线性分析、电磁分析、计算流体力学分析、接触分析、压电分析、结构优化典型有限元软件 ANSYS，ABAQUS，PATRAN前处理模块（Preprocessor）-实体建模和网格划分本体程序（求解器Solution）-求解模块后处理模块（Postprocessor）-结果图形显示和输出ANSYS2.2 ANSYS 分析步骤1 问题描述2 建立模型（1）设定分析作业名和标题（2）定义单元类型（3）定义实常数（4）定义材料属性（5）建立几何模型（光盘）（6）对几何模型划分网格3 定义边界条件并求解（1）施加位移边界（2）

20、施加转速惯性载荷并求解4 查看结果（1）旋转结果坐标系（2）查看变形（3）查看应力鼠标键盘方式也可以用命令流输入代替ANSYS 命令流模式/PREP7！定义标题/TITLE, TRANSVERSE SHEAR STRESSES IN A CANTILEVER BEAMANTYPE,STATICET,1,SHELL99,2,4 ! 8-NODE 壳单元PRINTOUTR,1,4,1 ! 四层轴对称壳RMORERMORE,1,0.5,1,0.5 ! 等厚度 上机练习二：数学软件MATLAB中PDE模块对薄板焊接温度场分析ANSYS有限元软件练习旋转光盘的应力分布径向应变图径向应力图 等效应力图AN

21、SYS教学录像第三章 主要物理场的数值模拟内容： 温度场 应力场 浓度场 耦合场重点：1 建模：数学描述微分方程形式2 求解： MATLAB中的 PDE工具箱求解 数值求解 有限差分，有限元法3.2.1 温度场数值计算1）温度场数学模型的建立（以玻璃池窑保温胸墙二维稳态传热为例）2）温度场数学模型的离散化(以单元体平衡法为例，参见硅酸盐工业热工基础P176-191)3）非稳态传热的差分格式TaS1S2主导方程：2T/x2+2T/y2 =0几何条件:保温胸墙层数R、厚度nx、高度m y边界条件： q1 =f,w(Tf Tw)+ w,m(Tm Tw )q2 =1(Tw Ta ) q3 =2(Tw Ta ) q4 =1/(S2 /2+1/3)(Tw Ta ) q5, 内