矩阵论3-3.方阵的若当标准型课件

1、矩 阵 论 电 子 教 程哈尔滨工程大学理学院应用数学系 矩阵的对角化,若当标准型第 三 章定义1:设 为数域 上的多项式，令3.3 方阵的若当标准型 方阵化为对角形是有条件的，如果一个方阵不能被化为对角形，能否降低要求，化为一个分块对角形？在实数域内，此问题的答案是肯定的，分块对角形就是所谓的Jordan标准形。一， -矩阵与Smith标准形1, -矩阵 中次数最高的多项式称为 的次数数字矩阵与特征矩阵 都是 矩阵则 为多项式矩阵或 矩阵。零矩阵的秩为0定义2 如果 矩阵 中有一个 阶 子式不为零，而所有 阶子式(如果有的话)全为零，则称 的秩为 ，记为:这里 是 阶单位矩阵。 称为 矩阵的

2、逆矩阵，记为定义3 一个 阶 矩阵称为可逆的，如果有一个 阶 矩阵 满足: 对单位矩阵施行上述三种类型的初等变换便得相应得三种 矩阵得初等矩阵下列各种类型的变换，叫做 矩阵的初等变换： (1) 矩阵的任二行(列)互换位置； (2) 非零常数 乘矩阵的某一行(列)； (3) 矩阵的某一行(列)的 倍加到另一行(列)上 去，其中 是 的一个多项式。行列式因子的定 义： 设 为一个 阶 矩阵,对于任意的正整数 必有非零的 阶子式， 的全部 阶子式的首一最大公因子称为 的 阶行列式因子。记为: 显然，如果 ，则行列式因子一共有 个例1 求的各阶行列式因子。规定:由于 ，所以 。 显然 而且其余的7个2

3、 阶子式也都包含 作为公因子，所以另外定理4 任意一个非零的 阶 矩阵都等价于一个对角矩阵，即:2, -矩阵Smith标准形的存在性为 的Smith标准形。且是首项系数为1的多项式且是的不变因子证明:由定理2知, 与 有相同的行列式因子 ,而 的行列式因子为 所以, 为 的不变因子 阶 矩阵 的不变因子是唯一的例2将其化成Smith标准形解：解：将其化成Smith标准形。练习1例 3将其化为Smith标准形。解：其中 是互异的复数， 是非负整数。因为 ,所以满足如下关系:于是,我们有定义: 初等因子的定义 在上式中，所有指数大于零的因子 称为 矩阵 的初等因子例4 如果 矩阵 的不变因子为则

4、的初等因子为推论3 若 矩阵则 各个初等因子的全体就是 的全部初等因子。例5 求 矩阵的初等因子，不变因子与标准形。解：记那么对于 ，其初等因子为 由上面的定理可知 的初等因子为 的不变因子为因此 的Smith标准形为二,矩阵的Jordan标准形为 阶方阵A的 Jordan标准型。定义：称 为A的特征值 的若当块, 为 的代数重复度其中而:为A的特征值 的若当子块, 于是可以得到下面的定理定理7： 设 , 全部初等因子为：则存在可逆矩阵T，使得： 其中，每个初等因子 对应J 的若当子块解： 先求出 的初等因子。对 运用初等 变换可以得到例6： 求矩阵的Jordan标准形。所以 的初等因子为故

5、的标准形为或例7 ： 求矩阵的Jordan标准形。 解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到:所以 的初等因子为故 的Jordan标准形为或 求矩阵的Jordan标准形。练习2的标准形为：解答：或 求矩阵 练习3的Jordan标准形。解：如何求相似变换矩阵？ 由定理7知道，方阵与标准型J 是相似的，即存在可逆矩阵T，使得： ，求法如下：设 ，由 得所以：解方程并选择适当的 即得。 称 为相似变换矩阵。对于相似变换矩阵的一般理论我们不作过多的讨论，只通过具体的例题说明求 的方法。例8：的Jordan标准形及其相似变换矩阵。求方阵解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：故 的初等因

6、子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为 ，则：从而：整理以后可得一个线性方程组前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取但是不能简单地取 这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令： 显然 是前两个方程的解，将 代入第三个方程中，为的是选取适当的 ，使： 有解 即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵的秩为1 只需令就会使得上述矩阵的秩为1，再由第三个方程解出一个特解为于是：那么所求相似变换矩阵为由 ，知：即A通过相似变换T变成若当标准型J求方阵的Jordan

7、标准形及其相似变换矩阵 。练习4解： 首先用初等变换法求其Jordan标准形：故 的初等因子为从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵： 设所求矩阵为 ，则 ，对于 按列分块记为从而：整理后的三个方程为：前面的两个方程为同解方程组，可以求出它们的一个基础解系：可以取但是不能简单地取 这是因为如果 选取不当会使得第三个非齐次线性方程组无解。令： 显然 是前两个方程的解，将 代入第三个方程中，为的是选取适当的 ，使： 有解那么所求相似变换矩阵为 解：首先用初等变换法 求其Jordan标准形：三,Jordan标准形的某些应用例 9： 对于方阵求初等因子为从而 的Jordan标准形为再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式