普通物理学力学

1、普通物理学力学第1页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三力学（4）傅科摆第2页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三第3章 动量、动量守恒定律和能量守恒定律 3-1 质点的动量、冲量、动量定理、守恒律 3-2质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律 3-3 碰撞 3-4 角动量定理与角动量守恒定律第3页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三（1）动量定理：动量：质点质量与速度的乘积3-1 质点的动量、冲量、动量定理、守恒律第4页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三动量定理：按牛顿定律而 , m为常量，故表述：质点的动量对时

2、间的变化率就等于作用在该质点上的合力。或表述：质点动量的微分就等于作用在该质点上各力的元冲量的矢量和。第5页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三若对该式积分称为质点动量定理的积分式，v1,v2表示质点在瞬时t1,t2的速度。表述：力在某一时间内的冲量等于物体在这时间内的 动量的增量。用二维直角坐标表示：第6页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三（2）动量守恒：若则第7页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三3-2质点组的动量、冲量、动量定理、守恒律（1）动量定理N个质点构成的质点组，某一个质点的质量为mi, 对惯性坐标系，原点O的位矢为

3、 ，作用于质点上的合力为 。第8页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三共有n个方程，由于内力未知，无法求解，对这n个方程求和则为 由牛顿定理 ，内力总和为0 左式其中 为质点组总动量或第9页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三或表述：质点组动量对时间的微商，等于作用在质点组上诸外力之矢量和，或质点组动量的微分等于作用在质点组上诸外力的元冲量的矢量和。积分形式:第10页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三（2）守恒律若质点组只在内力作用下运动，则 于是故 为恒矢量 表述：质点组不受外力作用，或总受外力作用的矢量和为零而运动时，质点组的动

4、量为宜恒矢量。第11页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三二维直角坐标：当时,时,第12页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三【例】 讨论m1,m2两个质点系统的动量定理 解：两个质点相互作用的内力为f12,f21,令两个质点在t0时刻的速度为v10,v20,两个质点在t时刻的速度为v1,v2 。第13页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三根据牛顿三定律两式相加 如果作用于系统的合外力为零 则两个质点构成系统的总动量在运动过程中保持不变。第14页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三【例2】 一个质量为m1的人手上拿

5、着一个质量为m2的物体，此人与地面成角的速度v0向前跳去，当他达到最高点时，将物体以相对速度v水平向后抛出。问由于物体的抛出，跳的距离增加多少？第15页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三解：m2物体相对地面的绝对速度 v绝绝对m2物体相对人体系的速度 v相相对抛后，人相对地面的速度 v0牵牵连X轴 X方向动量守恒 抛出后人的速度第16页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三抛出后人的速度而人由最高点落地所需时间由动力学可知第17页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三可见：当质点系所受外力在某一轴上投影的代数和等于零，且需要求速度时，可

6、用动量守和定律求解。对于碰撞、发射、投掷等动力学问题，常用动量定理求解。在应用质点组动量守恒律解题时需注意到：公式中出现的速度必须是在同一惯性坐标系下的速度。本题中任何物体组成的质点系的总动量不守恒，而是不断地改变着大小和方向，而且在铅垂方向质点系的动量的投影也不守恒，而只是水平轴上的投影才守恒。只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变质点系的动量，内力可以改变质点系中各质点的动量。使人的动量在水平方向内第18页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三3-3 碰撞 自然界中有大量的宏观和围观的碰撞现象，碰撞的机理是非常复杂的，它涉及到物体的形变和内部结构。 在许多物体碰撞问题

7、中，可以认为相碰撞的物体在碰前和碰后都没有相互作用，它们分别作惯性运动，只有在相碰的瞬间（t），它们才发生相互作用，如果这种相互作用遵循牛顿三定律。 物体的碰撞一般分为三种：完全弹性碰撞弹性碰撞完全非弹性碰撞第19页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三完全弹性碰撞弹性碰撞完全非弹性碰撞完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞为两种特殊情况，日常遇到的是介于两者之间的碰撞，即两物体碰撞后多少有点形变，并以不同速度分开。物体弹性碰撞的动力学特征为动量守恒，相互作用力为短程力，但机械能并不守恒。碰撞后形状和体积完全没有改变碰撞后有剩余形变，并且两体并在一起，以同一速度运动第20页，共51页，

8、2022年，5月20日，17点56分，星期三（1）沿一直线的碰撞问题正碰或对碰，碰撞过程可分为两个阶段。压缩阶段：质量分别为m1，m2的两物体，以不同的速度相接近，接触到以同一速度u运动，是最大的压缩阶段。恢复阶段：两个物体形变逐渐恢复，由同一速度u分别变为不同速度v1，v2而分离开。第21页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三根据动量守恒为未知，根据冲量定理，寻找其他方程。第22页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三压缩阶段：挤压冲力为 同一直线对m1的力F沿X轴负方向为 时间内冲力F(t)的压缩冲量。和第23页，共51页，2022年，5月20日，17

9、点56分，星期三恢复阶段：恢复冲力 恢复冲量和第24页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三实验测定：恢复冲量与压缩冲量之比，对于一定的材料为一常数，称为恢复系数。 得e=1 完全弹性体 象牙e=0 完全非弹性体 泥土、棉花0e1 一般弹性体第25页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三把A消去 两弹性体碰后的相对速度与碰前相对接近速度的e倍，当e为已知，可确定两弹性体碰撞后的而速度。 和联立若e=1,第26页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三弹性碰撞时的动能损失第27页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三讨论：对于

10、完全弹性碰撞 体系动能守恒不存在势机械能守恒a）时， 此种情况，二球交换速度特别是当 ，碰后 。 停下来， 以 的速度继续运动，如运动员接力赛一样。 时，碰后，质量大的物体 基本保持原有速度 ，而质量小的物体 则跟着质量大的物体，以速度 减去它俩相对速度 为速度而运动。b）c）时，讨论类似。第28页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三对于完全非弹性碰撞，e=0，体系的动能损失的最多，转变为物体的其他形式的能量或辐射。动能不守恒。完全非弹性碰撞，碰撞后两球粘合在一起，并以同一速度v1=v2=v运动。 (4-30)第29页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三

11、碰后动能与碰前动能之比将(4-30)式代入若球m2原来静止v200，即碰撞后的动能减少了。第30页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三（2）斜碰（瞄准距不同的碰撞）斜碰亦称二维碰撞。 令质量为m1的小球以速度v10 运动，与原来静止质量为m2的小球完全发生碰撞，碰撞后各沿与m1的初运动方向成倾角1及2的方向以速度v1及v2运动。xy第31页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三令初速度v10的方向为x轴的正方向。由动量守恒xy第32页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三由完全弹性碰撞，动能守恒3个方程，4个未知数，v1，v2，1及2，只

12、给出m1，m2，v10的值，不能决定碰撞后的运动，还要给出另一个量，如1（或2）的值才能确定碰撞后的运动。第33页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三【例】：质量相同的两个小球A和B在水平面上作完全弹性碰撞（不是对心碰撞），最初B球静止，A球以速度v10=20m/s向B球运动。碰撞后，A球沿与它的初速度成30角的方向运动，球碰撞后B球运动的方向及A、B两球的速度和大小。3030第34页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三解：令A、B球质量均为m，碰后速度分别为v1，v2，水平不受力，动量守恒 完全弹性碰撞，碰撞前后动能守恒式说明矢量 构成三角形，式说明三

13、角形是以 为斜边的直角三角形。由题意， 与 的夹角为30，所以 与 的夹角 第35页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三的大小为以上计算看出，当两个质量相同的物体作完全弹性的非对心碰撞时，如果其中一个是静止的，那么碰撞后两物体的速度相互垂直。 第36页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三3-4 角动量定理与角动量守恒定律(1)力矩与角动量力和动量都是矢量，我们可以求出它们对空间某点或某轴线的矩。力矩： 对空间某一点的距， 的分量第37页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三式中(yFz-zFy)，(zFx-xFz)，(xFy-yFx)是

14、力矩M在三坐标轴的分量，也是离F分别对三个坐标轴x，y，z的力矩。Mx=(yFz-zFy)My=(zFx-xFz)Mz=(xFy-yFx)要求力对某一轴线的力矩Mz，可先求F对该轴线上某一点O的力矩M，在投到该直线上即可。第38页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三角动量：动量对空间某点的矩，只要把力换成动量即可。第39页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三我们知道力和力矩都能使物体的运动状态发生变化，当该点受到力作用时，它的速度就要发生变化，亦即它的动量要发生变化，那么当该点受到力矩作用时，什么物理量将发生变化呢？下面我们来研究这个问题。第40页，共5

15、1页，2022年，5月20日，17点56分，星期三（2）角动量定理 在没有定量关系以前，我们可以定性猜想：既然力能使质点的动量发生变化，那么力矩就应当能实质点的动量距发生变化，他们应一一对应，从牛顿 运动方程出发，用位矢 叉乘 两侧。第41页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三但因此第42页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三分量式力矩使角动量发生变化。表述：作用在质点上的合力对某固定点的力矩，等于同一固定，质点角动量对时间的变化率，此关系为角动量定理。第43页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三积分质点角动量的变化，等于外力在该时间

16、内该质点的冲量矩。第44页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三【例】一质量为m的质点，用两段长度各为a的绳系于竖直杆上，此系统杆的轴线以角速度w转动，求质点对A，B及O点的角动量，绳子与轴线间的夹角为。 aaAOB解：质点对A的角动量 的大小为： 质点对B的角动量 的大小为： 的方向向量垂直于 与 所决定的平面。第45页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三aaAOB 质点对O的角动量 的大小为：依赖于参考点的选择。 的方向垂直于 与 所决定的平面， 的方向和大小是恒定的。但 与 的方向则是不恒定的，即不同瞬时， 与 虽然大小保持不变，但方向是随时间而变化

17、的。同一瞬时， ， ， 的方向并不同，即 第46页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三(3)角动量守恒 当恒矢量，或包括两个方面 质点不受外力作用 受外力作用，但诸外力对质点 的合力矩为零。角动量守恒，不仅与质点受力的性质有关，而且还与参考点的选择有关。 第47页，共51页，2022年，5月20日，17点56分，星期三因为力矩和角动量是对一定参考点的物理量，角动量定理是对一定参考点的规律。角动量作为矢量，它的守恒包含着方向不变、大小不变两个方面， 的方向不变，使质点只能在垂直于 的某个固定平面内运动，根据定义 与 都必与 垂直，行星与卫星的轨道都是平面曲线，这是引力作用下角动量守恒的表现。 的大小不变意味着面积速度守恒。如质点在有力作用