轨迹与方程市公开课获奖课件

1、空间解析几何主讲 杨涤尘第1页第1页第二章 轨迹与方程主要内容：1、平面曲线方程2、曲面方程3、母线平行于坐标轴柱面方程4、空间曲线方程第2页第2页第一节 平面曲线方程一、曲线与方程：定义：当平面上取定了标架之后，假如一个方程与一条曲线有着关系：（1）满足方程(x,y)必是曲线上某一点坐标；（2）曲线上任何一点坐标(x,y)满足这个方程；则这个方程称为这条曲线方程，这条曲线称为方程图形。曲线方程常表示为：F(x,y)=0 或 y=f(x)第3页第3页二、曲线矢量式方程例1、求圆心在原点，半径为R圆方程。解：矢量式方程 |OM|=R普通方程x2+y2=R2例2、已知两点A(-2,-2),B(2,

2、2)，求满足条件 |MA|-|MB|=4动点轨迹。化为普通方程为xy=2 (x+y2)故曲线为yxoxy=2解：矢量式方程 |MA|-|MB|=4第4页第4页1、矢性函数 当动点按某种规律运动时，与它对应径矢也伴随时间t不同而改变（模与方向改变），这么径矢称为变矢，记为r(t)。假如变数t(atb)每一个值对应于变矢r一个完全值（模与方向）r(t)，则称r是变数t矢性函数，记为r=r(t) (atb).2、矢性函数分量表示 设平面上取定标架为O;e1,e2,则矢性函数可表示为r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb). （1）其中x(t),y(t)是r(t)分量，它们分别是变数t函数。第

3、5页第5页3、矢量式参数方程 若取(atb)一切也许值，由（1）r(t)=x(t)e1+y(t)e2 (atb).4、坐标式参数方程曲线 参数方程常能够写成下列形式：称为曲线坐标式参数方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t)终点总在一条曲线上；反之，在这条曲线上任意点，总相应着以它为终点径矢，而这径矢可由t某一值t0(at0b)通过（1）完全拟定，则称表示式（1）为曲线矢量式参数方程，其中t为参数。表示径矢r(t)第6页第6页 已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量v =X,Y共线，求直线l方程。解：设M(x,y)为直线l上任意一点，并设OM=r，OM0=r0

4、，则点M在l上充要条件为矢量M0M与v共线，即M0M=tv(t为随M而定实数）又由于M0M=r-r0因此r-r0=tv（1）矢量式参数方程为 r=r0+tv (t+)（2）矢量式参数方程为5、直线方程故得l第7页第7页注1：参数t几何意义：当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。事实上，|MM0|=|tv|=|t|注2：直线方向矢量：与直线l共线非零矢量 v 称为直线l方向矢量。（3）：直线对称式方程由直线参数方程（2）中消去参数t可得：对称式方程（4）直线普通方程和点法式方程将对称式方程改写为Ax+By+c=0 (3)第8页第8页 其中A=Y，B=-X，C=-(Yx0-Xy0),方程(

5、3)称为直线普通方程。反之，设(x0,y0)是（3）上一点，则Ax0+By0+c=0故（3）可改写为A(x-x0)+B(y-y0)=0 （4）或可见系数A，B几何意义是： 矢量q=B,-A是直线（3）一个方向矢量，而矢量p=A,B垂直于矢量q，从而垂直于直线（3），我们称p=A,B为直线（3）法矢量，而方程（4）称为直线点法式方程。第9页第9页6、两条直线相关位置鉴定给定两条直线l1: A1x+B1y+C1=0 l2: A2x+B2y+C2=0则（4）两直线交角第10页第10页例3、一个圆在始终线上无滑动滚动，求圆周上一点P轨迹。解： 取直角坐标系，设半径为 a圆在x轴上滚动，开始时点 P 恰

6、在原点， 通过一段时间滚动， 圆与直线切点移到 A 点，圆心位置移到C点，这时有r=OP=OA+AC+CP设=(CP,CA),于是矢量CP对x轴所成有向角为POraaxCy第11页第11页则又由于|OA|=AP=a，因此OA=ai, AC=aj从而点P矢量式参数方程为r=a(-sin)i+a(1-cos) （+）其坐标式参数方程为这种曲线称为旋轮线或摆线。xOy第12页第12页例5 已知大圆半径为a，小圆半径为大圆半径四分之一，若大圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，动圆上某一定点P轨迹称为四尖星形线，求四尖星形线方程。解（略）参数方程为第13页第13页七 曲线参数方程例6 把椭圆普通方程式

7、化为参数方程。法一法二设y=tx+b,代入原方程得解得 在第二式中取t=0,得x=0，因此舍去第一式，取从而第14页第14页在法二中，若令u=-t，则得椭圆另一个表示式为注：第二种解法中，设y=tx+b，事实上是在椭圆上取一定点(0,b),作以(0,b)为中心直线束，而这时椭圆参数方程恰为直线束中直线与椭圆交点普通表达式。由于这时过点(0,b)y轴斜率不存在，因此需补上点(0,-b)，或把它当作当t时交点。第15页第15页例7 化方程 y2(2a-x)=x3 (a0) 为参数方程。解：设y=tx，代入可得参数方程注1：有些曲线只能用参数方和表示而不能用普通方程表示，即不能用x,y初等函数来表示

8、，如注2：在曲线普通方程与参数方程互化时，必须注意两种形式方程等价性，即考虑参数取值范围。第16页第16页第二节 曲面方程一、. 定义: 若曲面S与三元方程F (x, y, z) =0有下列关系:(1) S上任一点坐标满足方程F (x, y, z) =0;(2) 不在S上点坐标都不满足方程F (x, y, z) =0;那末, 方程F (x, y, z) =0叫做曲面S方程, 而曲面S叫做方程F (x, y, z) =0图形.F (x, y, z) = 0 Sxyzo第17页第17页例1、求连结两点A(1,2,3),B(2,-1,4)线段垂直平分面方程。解：垂直平分面能够当作到两定点A和B等距离

9、动点M(x,y,z)轨迹，故点M特性为|AM|=|BM|用两点间距离公式代入并化简可得：2x-6y+2z-7=0例2 求两坐标面xOz和yOz所成二面角平分面方程。解：由于所求平分面是与两坐标面xOz和yOz有等距离点轨迹，因此M(x,y,z)在平分面上充要条件是|y|=|x|即X+y=0 与 x-y=0第18页第18页(x x0)2 + (y y0)2 + (z z0)2 = R2 (1)称方程(1)为球面原则方程.尤其: 当球心在原点O(0, 0, 0)时, 球面方程: x2 + y2 + z2 = R2 例3、求球心为M0(x0, y0,z0), 半径为R球面方程. 解：对于球面上任一点

10、M(x, y, z), 都有|M M0|2 =R2.即 M0 M R第19页第19页解依据题意有所求方程为第20页第20页解: 原方程可改写为(x 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 5故: 原方程表示球心在M0(1, 2, 0), 半径为 球面.例5: 方程 x2 + y2 + z2 2x + 4y = 0表示如何曲面?第21页第21页例6 方程 图形是如何？依据题意有图形上不封顶，下封底解第22页第22页二、曲面参数方程1、双参数矢函数在两个变数u,v变动区域内定义函数r=r(u,v) 或 r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 (2)称为双参数矢函数，

11、其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是变矢r(u,v)分量，它们都是变数u，v函数。当u,v取遍变动区域一切值时，径矢OM= r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3 终点M(x(u,v),y(u,v),z(u,v)所画轨迹普通为一张曲面。Mozxy S第23页第23页2、曲面矢量式参数方程定义：若取u,v(aub,cvd)一切也许值，由（2）表示径矢r(u,v)终点M总在一个曲面上，反之，在这个曲面上任意点M总相应着以它为终点径矢，而这径矢可由u,v值 (aub,cvd)通过（2）完全决定，则称（2）式为曲面矢量式参数方程，其中u,v为参数。3、曲面坐标式参

12、数方程由于径矢r(u,v)分量为x(u,v),y(u,v)z(u,v),因此曲面参数方程也常写成表示式（3）称为曲面坐标式参数方程。第24页第24页例5 求中心在原点，半径为r球面参数方程。 M RxyzPQ解：设M(x,y,z)是球面上任一点，M在xOy 坐标面上射影为P，而P在x轴上射影为Q，又设在坐标面上有向角(i,OP)=,Oz轴与OM交角zOM=，则r=OM=OQ+QP+PM且 PM=(rcos)k因此r=(rsincos )i +(rsinsin )j+ (rcos)k (4)此即为中心在原点，半径为r球面矢量式参数方程。 QP=(|OP|sin)j=(rsinsin )jOQ=(

13、|OP|cos )i=(rsincos )i第25页第25页中心在原点，半径为r球面坐标式参数方程为（4），（5）中，为参数，其取值范围分别是0与-。第26页第26页例7 求以z轴为对称轴，半径为R圆柱面参数方程。 解：如图,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i, QP(Rsin )j, PM=uk因此 r=(Rcos)i+ (Rsin )j +uk （6）此即为圆柱面矢量式参数方程。其坐标式参数方程为（6）（7）式中，u为参数，其取值范围是-，-u+ 第27页第27页第三节 母线平行于坐标轴柱面xyzo1、引例: 考虑方程x2 + y2 = R2所表示曲面.在

14、xoy面上, x2 + y2 = R2 表示以原点O为圆心, 半径为R圆.xoy面上圆 x2 + y2 = R2 叫做柱面准线.平行于 z 轴直线 L 叫做柱面母线.曲面能够看作是由平行于 z 轴直线L沿xoy面上圆x2 + y2 = R2 移动而形成, 称该曲面为圆柱面.olM(x, y, 0)第28页第28页2、 定义: 平行于定直线并沿定曲线C移动直线 L 形成轨迹叫做柱面.定曲线C叫做柱面准线.动直线 L 叫做柱面母线.第29页第29页例1: 方程 y2 =2x 表示.母线平行于 z 轴柱面, oxzyy2 =2x它准线是xoy面上抛物线y2 =2x,该柱面叫做抛物柱面.第30页第30

15、页例2: 方程 xy = 0表示.母线平行于 z 轴柱面, xxy = 0zyo它准线是xoy面上直线xy = 0, 因此它是过z轴平面.第31页第31页3、 母线平行于坐标轴柱面方程.1 方程F (x, y) =0 表示:2 方程F (x, z) =0 表示:3 方程F (y, z) =0 表示:母线平行于 z 轴柱面, 准线为xoy面上曲线 C: F (x, y) = 0 .母线平行于 y 轴柱面, 准线为xoz面上曲线 C: F (x, z) = 0 .母线平行于 x 轴柱面, 准线为yoz面上曲线 C: F (y, z) = 0 .第32页第32页例3、下列方程各表示什么曲面？（母线平

16、行于z轴椭圆柱面）（母线平行于x轴双曲柱面）（母线平行于y轴抛物柱面）注：上述柱面方程都是二次，都称为二次柱面。第33页第33页第四节 空间曲线及其方程空间曲线普通方程空间曲线参数方程（1）矢量式参数方程（2）坐标式参数方程第34页第34页空间曲线普通方程 曲线上点都满足方程，满足方程点都在曲线上，不在曲线上点不能同时满足两个方程.空间曲线C可看作空间两曲面交线.特点：一、空间曲线普通方程第35页第35页例2、求在xOy 坐标面上，半径为R，圆心为原点圆方程。解：例1、写出Oz轴方程。解：Oz轴可当作两个平面交线，如或可见，空间曲线普通方程表示不是唯一。第36页第36页例3: 球面 x 2 +

17、 y 2 + z 2 = 32与平面 z = 2交线是x 2 + y 2 + z 2 = 32 z = 2一个圆, 它普通方程是第37页第37页例4: 方程组表示如何曲线?解: 方程方程.它准线xOy面上圆, 圆心在点因此方程组表示上述半球面与圆柱面交线.（维维安尼曲线Viviani）表示球心在原点O, 半径为a上半球面.表示母线平行于z 轴圆柱面第38页第38页二、空间曲线参数方程将曲线C上动点坐标x, y, z都表示成一个参数t函数.x = x (t)y = y (t) (2)z = z (t)当给定 t = t1时, 就得到C上一个点(x, y, z), 伴随 t变动便可得曲线C上所有点

18、. 方程组(2)叫做空间曲线参数方程.第39页第39页例5: 假如空间一点 M 在圆柱面 x2 + y2 = a2 上以角速度 绕 z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴正方向上升(其中,v都是常数), 那末点M 构成图形叫做圆柱螺旋线, 试建立其参数方程. 解: 取时间t为参数, 设当t = 0时, 动点位于x轴上一点 A(a, 0, 0)处。通过时间t,由A运动到M(x, y, z),M在xOy面上投影为M (x, y, 0).第40页第40页(1) 动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 因此通过时间t, AOM = t. 从而x = |OM | cosAOM = acos ty

19、= |OM | sinAOM = asin t(2) 动点同时以线速度v沿 z 轴向上升. 因而z = MM = vt 得螺旋线参数方程x = acos ty = asin tz = vt 注: 还能够用其它变量作参数.xyzAOMtM第41页第41页yxzAOMtM比如: 令 = t. 为参数; 螺旋线参数方程为:x = acos y = asin z = b 当从 0变到 0 + 是, z由b 0变到 b 0+ b ,即M点上升高度与OM 转过角度成正比.尤其, 当 = 2 时, M点上升高度h = 2 b, h在工程上称 h = 2 b为螺距.第42页第42页例6 维维安尼曲线 二分之一径为a球面与一个直径等于球半径圆柱面，假如圆柱面通过球心，则球面与圆柱面交线称为维维安尼曲线 ，试写出其普通方程和参数方程。解：普通方程参数方程Oxyz第43页第43页三、空间曲线在