2015年第二十届“华罗庚金杯”奥数决赛试卷（小高组c卷）

1、 PAGE PAGE 162015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）计算：+ 2（10分）将自然数1至8分为两组,使两组的自然数各自之和的差等于16,共有 种不同的分法3（10分）将2015的十位、百位和千位的数字相加,得到的和写在2015个位数字之后,得到一个自然数20153;将新数的十位、百位和千位数字相加,得到的和写在20153个位数字之后,得到201536;再次操作2次,得到201536914,如此继续下去,共操作了2015次,得到一个很大的自然数,这个自然数所有数字的和等于 4（10分）如图,四边形ABCD是边

2、长为11厘米的正方形,G在CD上,四边形CEFG是边长为 9 厘米的正方形,H在AB上,EDH是直角,三角形EDH的面积是 平方厘米5（10分）如图是网格为34的长方形纸片,长方形纸片正面是灰色,反面是红色,网格是相同的小正方形沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片,如果形状和正反面颜色相同,则视为相同类型的卡片,则能裁剪出 种不同类型的卡片6（10分）一个长方体,棱长都是整数厘米,所有棱长之和是 88 厘米,问这个长方体总的侧面积最大是 平方厘米7（10分）x3x5,这里x表示不超过x的最大整数,则x 8（10分）右边是一个算式,9个汉字代表数字1至9,不同的汉字代表不同的数字,则该算式可

3、能的最大值是 二、解答下列各题（每小题10分,共40分,要求写出简要过程）9（10分）已知C地为A,B两地的中点上午7点整,甲车从A出发向B行进,乙车和丙车分别从B和C出发向A行进甲车和丙车相遇时,乙车恰好走完全程的,上午10点丙车到达A地,10点30分当乙车走到A地时,甲车距离B地还有84千米,那么A和B两地距离是多少千米?10（10分）将2015个分数,化成小数,共有多少个有限小数?11（10分）a,b 为正整数,小数点后第3位经四舍五入后,式子+1.51,求a+b?12（10分）已知算式abcdaade,式中不同字母代表不同的数码,问四位数abcd最大值是多少?三、解答下列各题（每题15

4、分,共30分,要求写出详细过程）13（15分）在图中,ABCD是平行四边形,F在AD上,AEF的面积8cm2,DEF的面积12cm2,四边形BCDF的面积72cm2,求出CDE的面积?14（15分）将530本书分给48名学生,至少有几名学生分到的数量相同?2015年第二十届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、填空题（每小题10分,共80分）1（10分）计算：+1【分析】把繁分数的分子分母中的算式分别化简,然后根据分数的基本性质解答即可【解答】解：+1;故答案为：12（10分）将自然数1至8分为两组,使两组的自然数各自之和的差等于16,共有8种不同的分法【分析

5、】根据题意,分成的两组之和为（1+8）8236,因为两组的自然数各自之和的差等于16,因此和较大的一组等于（36+16）226,较小的一组是362610,由此即可解答【解答】解：分成的两组之和为：（1+8）8298236和较大的一组等于：（36+16）252226较小的一组是：362610因为102+83+74+61+2+71+3+61+4+52+3+51+2+3+4相应地261+3+4+5+6+71+2+4+5+6+81+2+3+5+7+83+4+5+6+82+4+5+7+82+3+6+7+81+4+6+7+85+6+7+8所以共有8种不同的分法故答案为：83（10分）将2015的十位、百位

6、和千位的数字相加,得到的和写在2015个位数字之后,得到一个自然数20153;将新数的十位、百位和千位数字相加,得到的和写在20153个位数字之后,得到201536;再次操作2次,得到201536914,如此继续下去,共操作了2015次,得到一个很大的自然数,这个自然数所有数字的和等于8479【分析】按题设条件,操作16次后,如上图,发现数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7,从第12次开始为11、3、3、5、7,这5个数字重复出现根据整个规律,推出操作了2015次,得到的数,再求和即可【解答】解：按题设条件,操作16次后,如下：数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7,

7、从第12次开始为11、3、3、5、7,这5个数字重复出现,则操作2015次：（20156）54014,则2015次操作的对应的数字是5;则所有自然数和为：前4位：2+0+1+58,后6为：3+6+9+1+4+1+6+636,重复的数字和为：1+1+1+3+3+5+721,重复401次后,和为401218421,余数4,对应数字的和为：1+1+1+3+3+514,以上数字相加即为所有自然数和8+36+8421+148479故：应该填：84794（10分）如图,四边形ABCD是边长为11厘米的正方形,G在CD上,四边形CEFG是边长为 9 厘米的正方形,H在AB上,EDH是直角,三角形EDH的面积

8、是101平方厘米【分析】1、延长EF、AD交于点K;2、将DEK和ADH面积相等,所以,HB2;3、S阴影SABEKSDEKSADHSBHE【解答】根据上述分析故答案是：S阴影SABEKSDEKSADHSBHE11（11+9）0.59110.59110.52（11+9）1015（10分）如图是网格为34的长方形纸片,长方形纸片正面是灰色,反面是红色,网格是相同的小正方形沿网格线将长方形裁剪为两个形状相同的卡片,如果形状和正反面颜色相同,则视为相同类型的卡片,则能裁剪出8种不同类型的卡片【分析】可首先分析向左的减法,然后根据左右对称情况得出向右的剪法,减去重合的剪法,从而得出总的不同剪法【解答】

9、解：先考虑从正面剪,中间那条粗线是一定要剪开的,剪开后,从点1有三种选择,向上向左向右;1、向上：,属于第1种类型;2、向左：剪至点3,又有3种选择,向上向左向下,（1）向上（黑线）：,红线是和黑线对称的情况,但按红线剪出的图形旋转后和黑线相同,属于第2种类型;（2）向左：,按红线剪出的图形旋转后和黑线不同,是两种不同的类型,属于第3、4种类型;（3）向下：向下剪至点6,有两种选择,向左,向下,向左：,按红线剪出的图形旋转后和黑线不同,是两种不同的类型,属于第5、6种类型;向下：,按红线剪出的图形旋转后和黑线不同,是两种不同的类型,属于第7、8种类型;综上可得,总共有8种类型故答案是：86（1

10、0分）一个长方体,棱长都是整数厘米,所有棱长之和是 88 厘米,问这个长方体总的侧面积最大是224平方厘米【分析】长宽高的和是：88422厘米,长方体的总侧面积最大,长宽高的长度必须最接近,即228+7+7,然后再利用长方体的侧面积公式,也就是用底面周长乘高,据此解答即可【解答】解：长宽高的和是：88422（厘米）,长方体的总侧面积最大,长宽高的长度必须最接近,即228+7+7,（7+7）28288224（平方厘米）;答：这个长方体的总侧面积最大是224平方厘米故答案为：2247（10分）x3x5,这里x表示不超过x的最大整数,则x2【分析】按题意,要使原式成立,则xx,3x5x,而3x5为整

11、数,不难求得x2【解答】解：根据分析,要使原式成立,则xx,3x5x,x,3x50 x2而3x5为整数,不难求得x2故答案是：28（10分）右边是一个算式,9个汉字代表数字1至9,不同的汉字代表不同的数字,则该算式可能的最大值是8569【分析】观察这个算式,要使这个算式的值最大,那么两位数与两位数的乘积就要尽可能的大,所以天空96,则湛蓝87;同理,两位数与一位数的乘积也要尽可能的大,所以翠绿43,则树5;那么盼1,望2;据此解答即可【解答】解：根据分析可得,12+435+96872+215+83528569;故答案为：8569二、解答下列各题（每小题10分,共40分,要求写出简要过程）9（1

12、0分）已知C地为A,B两地的中点上午7点整,甲车从A出发向B行进,乙车和丙车分别从B和C出发向A行进甲车和丙车相遇时,乙车恰好走完全程的,上午10点丙车到达A地,10点30分当乙车走到A地时,甲车距离B地还有84千米,那么A和B两地距离是多少千米?【分析】首先根据甲丙相遇走完全程的一半,乙走完全程的即可列出一组甲乙丙速度的关系式,再根据丙3小时走一半路程,乙3.5小时走完全程可以列出乙丙的速度关系式重点求出甲乙的速度比,根据甲车距离B地84千米,求得对应的份数,即可求出所求【解答】解：根据题意可知,当甲丙相遇时走完全程的一半,乙走完全程的,即（V甲+V丙）V乙再根据丙3小时走了全程的一半,乙3

13、.5小时走完全程,即6V丙3.5V乙根据得：V甲：V乙3：4所以甲乙路程之比就是3：4一份量是：84（43）84千米全程是：844336千米故答案为：336千米10（10分）将2015个分数,化成小数,共有多少个有限小数?【分析】先找出分母中只有因数2,5,同时有2和5的数的个数,即可得出结论【解答】解：在2015个分数,的分母中,只有因数2的数有2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024共10个数,只有因数5的数有5,25,125,625共4个数,既有因数2,也有因数5的数有10,20,40,50,80,100,160,200,250,320,400,500,640,80

14、0,1000,1250,1280,1600,2000共19个数,所以总有10+4+1933个有限小数,答：共有33个有限小数11（10分）a,b 为正整数,小数点后第3位经四舍五入后,式子+1.51,求a+b?【分析】根据条件,代入验证,求出a,b,即可得出结论【解答】解：由题意,a7,则取b1,+1.4+0.1431.54,不符合题意;a6,则取b3,+1.2+0.4291.63,不符合题意;a5,则取b4,+1+0.5711.57,不符合题意; a4,则取b5,+0.8+0.7141.51,符合题意; a+b912（10分）已知算式abcdaade,式中不同字母代表不同的数码,问四位数ab

15、cd最大值是多少?【分析】aadeabcd中,de的个位数仍为d（19）1（19）（2、4、6、8）6（12、24、36、48）5（3、5、7、9）（15、25、35、45）【解答】解：从上面的分析可以看出e可能为1、6、（3、5、7、9）设：e为9,希望得最大值,则d为5从a（19）检测,得115910352259202533593015通过检测,abcd的最大值为3015答：这个四位数最大是3015三、解答下列各题（每题15分,共30分,要求写出详细过程）13（15分）在图中,ABCD是平行四边形,F在AD上,AEF的面积8cm2,DEF的面积12cm2,四边形BCDF的面积72cm2,求

16、出CDE的面积?【分析】连接BD（如下图）,若AEF以AF为底、EFD以FD为底,他们的高相等,则底边比等于面积比,可以求出AF：DF2：3;若ABF、BFD分别以AF、FD为底,他们高相同,则SABF0.2SABCD、而SBDF0.6SABD0.3SABCD;SBCDFSBFD+SBCD,求出SABCD;由SABF0.2SABCD,求出SABF;,根据SAEBSABFSAEF,可以SAEB;SAEB与SECD之和为平行四边形面积的一半,可以求出SECD【解答】解：连接BD（如上图）,根据AEF的面积8cm2,DEF的面积12cm2,求出AF：DF8：122：3;SBCDFSBFD+SBCD0.5SABCD+0.3SABCD0.8SABCD72,所以：SABCD90;SABF0.2SABCD18,SABESABFSAEF10;SABE+SECD0.5SABCD45;故SECD45答：SECD的面积为45cm214（15分）将530本书分给48名学生,至少有几名学生分到的数量相同?【分析】若48名学生分到的数量互不相同,则至少要：0+1+2+3+471128530,不满足条件;若只有2名学生分到的书数量相同,则至少要：（0+1+2+