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文档简介

1、第五节一、空间曲面的面积 二、质心 三、惯性矩 四、引力 重积分的应用 五*、在积分不等式证明中的应用举例 1. 能用重积分解决的实际问题的特点所求量是 对区域具有可加性 从重积分定义出发， 建立积分表达式 用微元分析法 (元素法) 分布在有界闭域上的整体量 2. 用重积分解决问题的方法 一、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成. 设它在 D 上的投影为 d ,(称为面积元素)则故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且所以注：此为广义积分例2. 计算双曲抛物面被柱面所截解: 曲面在 xoy 面上投影为

2、则出的面积 A .将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点同理可得则得形心坐标：若物体占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静力矩 对 y 轴的 静力矩例4. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解: 利用对称性可知质心在 z 轴上，采用先二后一法, 炉壁方程为因此故自重, 求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为所以所求形心为类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原

3、点的转动惯量如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.例5.求半径为 的均匀半圆薄片对其直径解: 建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.所以解: 取球心为原点, z 轴为 轴,则球体的质量例6.求均匀球体对于过球心的一条轴 的转动惯量.设球体 所占区域为(用球坐标) G 为引力常数四、引力设物体占有空间区域 ,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为对 xoy 面上的平面薄片D ,它对原点处的单位质量质点的引力分量为例8. 求半径 R 的均匀球对位于点的单位质量质点的引力.解: 利用对称性知引力分量所以所求引力为为球的

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