数学中的公理化方法讲义市公开课获奖课件

1、第四章 数学中公理化办法与结构办法 公理化办法在近代数学发展中起着基本作用，它思想对各门当代数学理论系统形成有着深刻影响，而数学结构办法则是全面整理和分析数学一个十分合理办法，其观点曾造成一场几乎席卷世界数学教学改革运动，即“新数学”运动。 两种办法均是用来构建数学理论体系，一个是局部，一个是整体。 本章将概括简介这两种思想办法，从中领略数学理论构建普通思想办法。第1页第1页4.1公理化办法历史概述 公理化办法基本思想 数学是撇开现实世界详细内容来研究其量性特性形式与关系。其结果只有通过证实才可信，而数学证实采用是逻辑推理办法，依据逻辑推理规则，每步推理都要有个大前提，我们不难想象到，最初那个

2、大前提是不也许再由另外大前提导出，既是说，我们逆推过程总有个“尽头”，同样，概念需要定义，新概念由前此概念定义，必也出现这样情况最原始概念无法定义。第2页第2页4.1公理化办法历史概述 因此，我们要想建立一门科学严格理论体系，只能采取以下方法：让该门学科一些概念以及与之相关一些关系作为不加定义原始概念与公设或公理，而以后全部概念及其性质要求均由原始概念与公设或公理通过准确定义与逻辑推理方法演绎出来，这种从尽也许少一组原始概念和公设或公理出发，利用逻辑推理标准，建立科学体系方法叫做公理化方法。第3页第3页4.1公理化办法历史概述 公理化方法历史考察 众所周知，在长达一千多年光芒灿烂希腊文化中，哲

3、学、逻辑学、几何学得到了很大发展，尤其是哲学家和逻辑学家亚里斯多德，总结了前人所发觉和创建逻辑知识，以完全三段论作为出发点，用演绎方法推导出其余十九个不同格式全部三段论，创建了人类历史上第一个公理化方法，即逻辑公理化方法，从而为数学公理化方法创造了条件。 亚里斯多德思想办法深深地影响了公元前3世纪希腊数学家欧几里德，后者把形式逻辑公理演绎办法应用于几何学，从而完毕了数学史上主要著作几何原本。第4页第4页4.1公理化办法历史概述 欧几里德几何原本是有史以来用公理化思想办法建立起来第一门演绎数学，并且成为以后很长时期严格证实典范。几何原本在数学发展史上树立了一座不朽丰碑，对数学发展起了巨大作用，基

4、本上完善了初等几何体系。当然，现在看来由于受当初整个科学水平限制，这种公理化办法还是很原始，其公理体系还是不完备。因此，称这一阶段为公理化办法早期阶段。第5页第5页4.1公理化办法历史概述 欧几里德几何原本孕育了一个理性精神，成为展示人类智慧和结识能力一个光辉典范。 欧几里德原本所表述数学观是： 几何理论是封闭演绎体系。原本成功地将零碎数学理论编为一个以基本假设到最复杂结论整体结构。从逻辑结构来看，原本是一个最早形成演绎体系，除所用逻辑规则外，具备了其理论推导所有前提，从理论发展形势来看是一个封闭理论演绎体系。第6页第6页4.1公理化办法历史概述 抽象化内容。原本中涉及都是普通、抽象概念，它所

5、探讨是这些概念和命题之间逻辑关系，由一些给定概念和命题推表演另一些概念和命题。它不考虑这些概念和命题与社会详细生活关系，也不研究这些数学“模型”所由之产生那些显示原型。如在原本中研究了“所有”矩形（即抽象矩形概念）性质，但不研究任何一个详细矩形实物大小；原本中研究了自然数若干性质，但却一点也不涉及详细自然数计算及应用。第7页第7页4.1公理化办法历史概述 公理化办法。原本基本结构是由少数不定义概念（如点、线、面等）和少许不证自明命题（五个公设和五个公理）出发，定义出该体系中所有其它概念，推表演所有其它命题（定理）。原本就是用这种公理化办法建立起了几何学逻辑体系，从而成为其后所有数学范本。 在公

6、理化办法早期阶段，它“严格性”也只是相对当初情况而言。譬如，有些基本概念定义不够妥当，有些证实只但是是借助于直观等等。第8页第8页4.1公理化办法历史概述 尤其是原本中第五公设陈说从字面上看很不自明，因此人们从两个方面对它产生了怀疑：第一，第五公设是否正确地反应了空间性质；其二、它本身很也许是一个定理。 对于这两个问题，人们从下列几种方面进行了探讨：一是它能否从其它公理推出；二是换一个与它等价而本身却又是很自明公设；三是换一个与它相反公设。第9页第9页4.1公理化办法历史概述 通过诸多第一流数学家近两千年大量工作，第一方案尚未成功。到了十八世纪中叶，意大利数学家萨克利吸取了前人正面直接证实而失

7、败教训，反其道而行之，改用反证法来证实（将第五公设换成它否认，然后推出矛盾，那么就能够证实第五公设就是一个定理，即不独立于其它公理），并于1733年公布了他证实，但随后不久数学家们发觉他证实有问题。 第10页第10页4.1公理化办法历史概述 萨克利最先使用归谬法来证实第五公设。他在一本名叫欧几里得无懈可击（1733年）书中，从著名“萨克利四边形”出发来证实平行公设。 萨克利四边形是一个等腰双直角四边形，如图，其中 且为直角。 萨克利指出，顶角含有三种也许性并分别将它们命名为：第11页第11页 1、直角假设： 和 是直角； 3、锐角假设： 和 是锐角； 2、钝角假设： 和 是钝角；能够证实，直角

8、假设与第五公设等价。萨克利计划是证实后两个假设能够造成矛盾，依据归谬法就只剩余第一个假设成立。这样就证实了第五公设。 萨克利在假定直线为无限长情况下，首先由钝角假设推出了矛盾，然后考虑锐角假设，在这一过程中他取得了一系列新奇有趣结果，如三角形三内角之和小于两直角；过给定直线外一给定点，有无数多条直线不与该直线相交，等等。即使这些结果事实上并不包括任何矛盾，但萨克利认为它们太不合情理，便认为自己导出了矛盾而鉴定锐角假设是不真实。第12页第12页4.1公理化办法历史概述 数学家们从萨克利错误中得到了启发，锐角假设（三角形内角和小于180）尚未造成矛盾，因而它与其它公理也许是协调。 即使萨克利证实是

9、错误，但他提出反证法及其所得结果却起了他始终所未料到作用，即两种几何并存也许性。也就是说，除了欧几里德几何外，尚有非欧几何。第13页第13页4.1公理化办法历史概述 始终到十九世纪，由高斯、罗巴切夫斯基、包耶等许多杰出数学家作了大量推导工作都没有发觉矛盾，于是采用锐角假设（三角形内角和小于180）罗巴切夫斯基几何系统就产生了。从此也就冲破了欧几里德几何“一统天下”旧观念对人们束缚，使人们意识到逻辑上无矛盾并不只限于一个几何。 第14页第14页4.1公理化办法历史概述 在1854年又发觉了钝角假设（三角形内角和不小于180）也成立黎曼几何系统，以后人们称这两种几何为非欧几何。 非欧几何产生后，尚

10、有两方面问题有待进一步处理。从逻辑方面看，这种逻辑无矛盾性尚有待于从理论上得到严格证实；从实践方面看，非欧几何客观原型是什么？人们还不清楚。也就是说，非欧几何到底反应了哪种空间形式也没有得到详细解释。第15页第15页4.1公理化办法历史概述 到了十九世纪五十年代，伴随微分几何、射影几何进一步发展，为非欧几何寻找模型提供了条件。 意大利贝特拉米于1869年在其论文非欧几何实际解释中提出了用欧氏球面作为黎曼几何一个解释（欧氏球面部分大圆被解释成黎曼几何直线，球面上点被解释成黎曼几何点）。第16页第16页4.1公理化办法历史概述 德国数学家克莱因于1870年在欧氏平面上用不包括圆周圆内部结构了一个罗

11、氏几何模型，人们称它为罗氏平面，在此平面上给罗氏几何一个解释，即把欧氏几何直线解释成罗氏平面上直线，欧氏几何点解释成罗氏平面上点。 由于非欧几何在欧氏几何中找到了它模型，因此非欧几何无矛盾性就转化为欧氏几何无矛盾性，也就是说倘若欧氏几何无矛盾，则非欧几何也无矛盾。 第17页第17页4.1公理化办法历史概述 随后不但人们找到了非欧几何在天文学与相对论中解释和应用，并且相继发觉欧氏几何每条公理在罗氏空间极限球上得以所有成立。于是，反过来欧氏几何相容性可借助非欧几何协调性给以确保。从而就证实了两种几何是互相协调，第五公设独立性问题得到处理。 非欧几何确实立增进了公理化办法及几何基础研究进展。第18页

12、第18页4.1公理化办法历史概述 在创建非欧几何过程中，公理化办法得到了下列发展： 非欧几何诞生第一步就在于结识到：平行公设不能在其它九条公设和公理基础上证实。它是独立命题，因此能够采用一个与之相反公理并发展成为全新几何。这就是说，在一个公理系统中，我们能够把一个含有独立性公理换成另外公理而得到一个全新公理系统，这种办法是当代一个主要公理化办法。 非欧几何创建深刻地启示人们，能够证实“在一个给定公理系统中一些命题不也许证实”。第19页第19页4.1公理化办法历史概述 非欧几何系统已经不是像原本那样依赖于感性直观实质性公理系统。非欧几何建立标志着从实质性公理化办法向形式公理化办法过渡，这表明人们

13、结识已从直观空间上升到抽象空间。 非欧几何创建，为公理化办法能够推广和建立新理论提供了依据，大大提升了公理化办法。 非欧几何创建，还产生了下列重大影响： 非欧几何诞生标志着欧氏几何统治终止，欧氏几何统治终止则标志着所有绝对真理终止。第20页第20页4.1公理化办法历史概述 非欧几何创建，使人们开始结识到数学空间与物理空间之间有着本质区别。数学确实是人思想产物，而不是独立于人永恒世界东西。 非欧几何创建使数学丧失了真理性，但却使数学取得了自由。数学家能够并且应当摸索任何也许问题，摸索任何也许公理系统，只要这种研究含有一定意义。 非欧几何为数学提供了一个不受实用性左右，只受抽象思想和逻辑思维支配范

14、例，提供了一个理性智慧摒弃感觉经验范例。第21页第21页4.1公理化办法历史概述 当然，非欧几何并非毫无实用性。比如，19爱因斯坦发觉广义相对论研究中，必须用一个非欧几何来描述这样物理空间，这种非欧几何便是黎曼几何。又如，由1947年对视空间（从正常有双目视觉人心理上观测到空间）所作研究得出结论：这样空间最好用罗巴切夫斯基非欧几何来描述。这些事实阐明：数学对人类文明发展作用是何等重大。 非欧几何创建，标志着公理化办法进入到其完善阶段。第22页第22页4.1公理化办法历史概述 在非欧几何创建之后，以希尔伯特为代表数学家掀起了对几何基础研究，同时也增进了康托、维尔斯托拉斯、戴德金等为代表数学家对数

15、学分析基础实数理论研究。从而造成了“分析算术化”方向出现，使数学分析基础立足于实数理论之上，取代了直观几何阐明。由于对实数理论研究，又推动了代数重大改变，即由代数方程求解造成了群论产生，从而使代数研究对象发生了质改变，逐步变成一门研究各种代数运算系统形式结构科学。第23页第23页4.1公理化办法历史概述 由于形式公理化办法在分析、代数领域中取得了成功，反过来又将几何公理化办法研究推向一个新阶段，即形式公理化阶段。希尔伯特在1899年出版名著几何基础就是这个时期研究结果突出代表。 所谓形式公理化办法，是指在一个公理系统中，基本概念要求为不加定义原始概念，它涵义、特性和范围不是先于公理而拟定，而是

16、由公理组隐含拟定。第24页第24页4.1公理化办法历史概述 希尔伯特在他几何基础中，放弃了欧几里德几何原本中公理直观显然性，把那些在对空间直观进行逻辑分析时无关主要内容加以拼弃，着眼于对象之间联系，强调了逻辑推理，第一次提出了一个简明、完整、逻辑严谨形式化公理系统。从此公理化办法不但是数学中一个主要办法，并且已被其它学科领域所采用。因此人们称它为公理化办法发展史上一个里程碑。第25页第25页4.1公理化办法历史概述 即使希尔伯特几何公理系统从本质上讲是一个形式化公理系统，但它毕竟没有完全挣脱几何所研究内容范围。为了使形式公理系统更形式化，涵盖模型更多，就必须使形式化公理系统来自详细模型而又要挣

17、脱详细模型过多条条框框束缚，于是人们需要研究更复杂逻辑结构，从而就造成了当代数理逻辑形成和发展。当代数理逻辑出现后，至少在下列两个方面发挥了巨大作用。 第26页第26页4.1公理化办法历史概述 其一，本世纪初以希尔伯特、哥德尔为代表数学家和逻辑学家掀起了以数理逻辑为工具来研究整个数学基础高潮，又因数学基础进一步发展需要，反过来又促使当代数理逻辑发展，从而也就造成了证实论（或元数学）、模型论、递归函数论出现。尤其是英国大哲学家、数学家、和逻辑学家罗素于19发觉集合论悖论，震动了整个数学界，从而更增进了公理化集合论形成和发展。集合论公理化系统出现及当代数理逻辑出现，将形式公理化办法推向一个更高阶段

18、纯形式公理化阶段。 希尔伯特建立元数学是以形式系统为研究对象一门新数学，它包括对形式系统描述、定义、也包括对形式系统性质研究。简言之，元数学是以整个理论而不是以它某一部分作为数学研究对象。元数学等创建把形式公理化办法向前推动了一大步。第27页第27页4.1公理化办法历史概述 纯形式公理化办法特性是含有高度形式化和抽象化，系统基本概念、基本关系用抽象符号表示，命题由符号构成公式表示，命题证实用一个公式串表示。一个符号化形式系统只有在解释之后才故意义。 公理化办法详细形态有三种：实体性公理化办法、形式公理化办法和纯形式公理化办法，用它们建构起来理论体系分别为几何原本、几何基础和ZFC公理系统。第2

19、8页第28页4.1公理化办法历史概述 其二，为数学应用于当代科学技术开辟了前景。电子计算机出现就是突出一例，这是由于电子计算机设计需要研究如何用基本逻辑运算去表示和结构复杂逻辑结构和运算，这正是当代数理逻辑研究一个基本课题。由于电子计算机出现造成了机器证实及数学机械化方向产生，从而使当代纯形式公理化办法又取得了一个新用场。 公理化办法本身及其在数学理论和实践应用中巨大作用，伴随科学技术发展还在继续向前发展。 第29页第29页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 一、公理化办法逻辑特性 公理化办法作用在于从一组公理出发，以逻辑推理为工具，把某一范围系统内真命题推表演来，从而使系统成为演绎体系.

20、对于所选公理，我们一方面要求能从公理组推出该系统内所有真命题，另一方面又要求从公理组不能推出逻辑矛盾，再就是希望所选公理个数至少. 这三个方面构成了公理化办法逻辑要求，此也是判别一个公理系统是否科学合理准则。 第30页第30页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 （1）无矛盾性（相容性或协调性） 无矛盾性要求在一个公理系统中，公理之间不能自相矛盾，由公理系推出结果也不能矛盾，即不能同时推出命题A与其否认命题 ，显然，这是对公理系统最基本要求。 如何证实给定公理系统无矛盾性呢？若想通过“由这一公理系作出所有也许推论并指出其中没有矛盾”来证实是不也许。 第31页第31页4.2公理化办法逻辑特性、意

21、义和作用 为此，人们创造了一个特殊方法即解释法或作模型法。其基本思想以下： 将公理系每一不定义概念与对象某一集合相对应，而且要求对应于不同概念集合没有公共元素，然后，使公理系T每一关系对应着对应集合元素间某一确定关系。第32页第32页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 这样所得集合与关系全体叫做解释域，公理系T每一命题 能够用自然办法相应于解释域中相应命题 。假如所得命题 为真，那么就称公理系T命题 在这个解释下是真，假如 假，则 在这个解释下是假，假如公理系T所有公理在这个解释下均为真，那么这个解释称为所给公理系模型。第33页第33页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 解释域及其性质经常

22、是另一数学理论 研究对象， 本身同样能够是公理化，因此说，用解释法能证实公理系 相对相容性，即能作出“假如 相容，即么 也相容”判断。 解释法实质上是将一个公理系系统无矛盾性证实化归为另一个公理系统无矛盾性证实，是一个间接证实。 克莱因就是采用这种办法将罗氏几何无矛盾性化归为欧氏几何无矛盾性。第34页第34页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 正是由于罗氏几何相容性要由欧氏几何相容性来得证，本来并无疑问欧氏几何相容性问题也引起了人们怀疑，迫使人们再去寻找欧氏几何相容性证实，由于解析几何能够当作是实数系统中欧氏几何一个解释模型，于是欧氏几何相容性证实转化为实数系统无矛盾性证实，而实数系统可建立

23、在ZFC公理化集合论基础上，因此，实数系统无矛盾性又化归为集合论无矛盾性证实，而后者通过几代数学家们努力，至今尚未得到彻底处理。第35页第35页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 （2）独立性 独立性要求在一个公理系统中，被选定公理组中任何一个公理都不能由其它公理推出。 独立性其实要求是公理组中公理之间不能有依从关系，若某一公理被其余公理推出，那它实质上就是一个定理，在公理组中就是多出，因此，独立性要求公理组中公理数目至少。 第36页第36页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 利用解释法同样能够证实所给公理系独立性问题，所谓公理系T中公理A独立性无非是指A由其它公理既不能证实，也不能否认。

24、 建立一个新公理系，就是将公理 换成它否认 ，而其它公理保持不变，只要能证实新公理系是相容，就可断言 在公理系T中独立，从而将独立性问题化归为相容性证实问题，而新公理系相容性证实可用解释法。第37页第37页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 （3）完备性 完备性要求在一个公理系统中，公理组选取能确保由公理组推出该系统所有真命题，因此，公理不能过少，不然就推不出一些真命题，这是关于完备性古典定义。 当代数学常借助模型同构给公理系完备性下定义，即假如公理系T所有模型或解释都彼此同构，就称这个公理系是完备。 第38页第38页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 所谓模型同构是指这个公理系两个模型（

25、X，R）与（Y，S）（这是为简便计，假设给定公理系中只有一个不定义概念和一个不定义关系。X与Y是某两个集合，R与S分别是这两个集合中关系）间存在一个双射第39页第39页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 在上述公理化方法三个特性中，无矛盾性是最主要而又是非有不可。 独立性从理论上讲，从完美简炼上讲，应该要求，因为公理和定理在整个系统中处地位不同，公理是出发点，定理是推出，不能混在一块。不过，独立性要求有时可降低。现行中学几何体系就放弃了这一要求。 至于完备性，要求就大大放宽了；而且“从研究完备公理系确定对象转向研究其公理系不完备对象”被认为是当代数学特性之一。第40页第40页4.2公理化办法

26、逻辑特性、意义和作用 二、公理化办法意义和作用 对于公理化办法作用和意义，希尔伯特曾评论道：“无论在哪个领域，对于任何严厉研究精神来说，公理化办法都是并且始终是一个适当不可缺乏手段；它在逻辑上是无懈可击，同时也是富有结果；因此，它确保了研究完全自由。在这个意义上，用公理化办法进行研究就等于用已掌握了东西进行思考。早年没有公理化办法时候，人们只能朴素地把一些关系作为信条来遵守，公理化研究办法则能够去掉这种朴素性而使信奉得到利益”。“能够成为数学思考对象任何事物，在一个理论建立一旦成熟时，就开始服从于公理化办法，从而进入了数学。通过突进到公理更深层次我们能够取得科学思维更进一步洞察力，并弄清我们知

27、识统一性。尤其是，得力于公理化办法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导作用”。第41页第41页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 公理化办法对数学发展起到了巨大作用，如在对公理化办法逻辑特性研究中，产生了许多新数学分支理论，非欧几何是由研究欧氏几何公理系统独立性产生，元数学理论或证实论是由研究公理系统相容性产生，等等。第42页第42页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 详细地说，公理化办法意义和作用能够概括为下列几点： 表述和总结科学理论 公理化办法使相关理论系统化，把它们按照某种逻辑顺序构建成一个系统，因而便于人们系统地理解知识体系，便于掌握理论本质。它是应用演绎推理基本办法，它为结识世

28、界提供了演绎推理模式，提供了一个理性证实手段，它是表述科学理论一个比较完善办法，它为各门科学提供了一个思想办法上示范和有效表述手段，有助于增进理论完善和严格化。它赋与数学内在统一性，有助于人们理解数学各分支、各部门之间本质联系。第43页第43页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 完善和创新理论 公理化办法应用要求一门科学充足成熟：积累了一定数量基础知识，进行了一定系统分析和研究，对该门学科知识结构有了较进一步理解。因此，实现公理化过程也是进一步研究理论体系过程。采用公理化办法还能够发觉和补充理论系统中缺点和漏洞。从而有助于完善已有理论，创建新理论。 第44页第44页4.2公理化办法逻辑特性、

29、意义和作用 培养和熏陶人们逻辑思维能力 数学学习，主要不在于只是记住概念、公式、定理和法则，而在于学会如何去取得这些知识，即学会正确地进行数学思维，逻辑思维正是数学思维关键成份之一。逻辑思维能力是一个主要数学能力。而公理化办法使逻辑思维在数学中作用得以充足发挥，大大提升了数学教育成效，实现高度思维经济，这无疑对培养和熏陶学生逻辑思维能力有其十分主要作用和意义。另外，由于公理化办法能够揭示一个数学系统和分支内在规律性，从而使它系统化，这也无疑有助于人们学习和掌握。第45页第45页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 中学数学中几何体系就是按照公理化办法思想编排，这使中学几何成为大家公认为最有助于

30、培养逻辑思维能力科目。但正如苏联数学教育家斯托利亚尔所言：“在学校中普通能够实现，只是有实际内容公理体系”。 现行几何教材正是这样做：通过采用扩大公理系统办法，而其它概念、性质和定理则采用推理和直观相结合办法演泽出来，即在学生可接受情况下，充足表达公理化办法思想。 中学几何书本中公理系统是一个扩大公理系统，只满足相容性，不满足独立性和完备性。第46页第46页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 平面几何公理七条： 通过两点有一条直线，并且只有一条直线。 在所有连接两点直线中，线段最短。 平行公理：通过直线外一点，有且只有一条直线和该直线平行。 两条直线被第三条直线所截，假如同位角相等，那么，这

31、两条直线平行。 边角边公理：有两边和它们夹角相应相等两个三角形全等。 角边角公理：有两角和它们夹边相应相等两个三角形全等。 矩形面积等于它长与宽积。第47页第47页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 立体几何公理六条： 假如一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上所有点都在这个平面内。 假如两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过该点公共直线。 通过不在同一条直线上三点，有且只有一个平面。 平行于同一条直线两条直线互相平行。 长方体体积等于其长、宽、高积。 夹在两个平行平面间两个几何体，被平行于这两个平面任意平面所截，假如截得两个截面面积总相等，那么这两个几何体体积相等。第48页第4

32、8页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 三、初等函数公理化定义 1、幂函数公理化定义 对于x和y一切正实数值满足方程 唯一不恒等于零连续函数第49页第49页 2、指数函数公理化定义 对于x和y一切正实数值满足方程 4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用唯一不等于零连续函数第50页第50页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 3、对数函数公理化定义 对于x和y一切正实数值满足方程 唯一不等于零连续函数第51页第51页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 4、正弦函数、余弦函数公理化定义 第52页第52页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第53页第53页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第54

33、页第54页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用下面我们仅证实其中定理3与定理4。第55页第55页第56页第56页第57页第57页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第58页第58页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（2）G中有元素e，叫做G左单位元，它对G中每一个元素a都有 下面我们再来看看群公理化定义 令G是一个非空集合， 是它一个代数运算，假如满足下列条件：第59页第59页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用则称G对代数运算 作成一个群。（3）对G中每个元素a，在G中都有元素 ，叫做a左逆元，使第60页第60页4.2公理化办法逻辑特性、意义

34、和作用 四、公理化办法不足 1、每一个数学分支都要按公理化办法三条原则去实现它公理化是不也许。 我们知道，在公理化办法及当代数理逻辑取得重大成就基础上，为了避免数学中产生悖论，使整个数学建立在一个严格化基础上，以希尔伯特为代表数学家试图将所有数学分支都按公理化办法三条原则实现它公理化，哥德尔不完全定理表明希尔伯特等人计划要所有实现是不也许。第61页第61页 1931年，奥地利数学家哥德尔发表了题为论数学原理及相关系统中形式不可鉴定命题论文，其中证实了一条定理： 任一足以包括自然数算术形式系统，假如是相容，则它一定存在有一个不可鉴定命题，即存在某一命题A使A否认在该系统皆不可证。 这一定理被称为

35、哥德尔第一不完全性定理。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第62页第62页 第一不完全性定理表明：任何形式系统都不能完全刻画数学理论，总有一些问题从形式系统公理出发不能解答。在第一不完全性定理基础上，哥德尔进一步证实了： 在真但不能由公理来证实命题中，包括了这些公理是相容（无矛盾性）这一论断本身。也就是说，假如一个足以包括自然数算术公理系统是相容，那么这种相容性在该系统内是不可证实。 这就是所谓哥德尔第二不完全性定理。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第63页第63页 第一不完全性定理和第二不完全性定理合称“哥德尔不完全性定理” 哥德尔不完全性定理是属于某种否认性结果，但这项否认性结果却带

36、来了数学基础研究划时代变革。其对数学基础产生巨大影响而在20世纪数学史上写下了浓重一笔。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第64页第64页 首先，哥德尔不完全性定理破天荒地第一次分清了数学中“真”与“可证”是两个不同概念，可证实命题当然是真，但真命题不一定是可证实。对于形式系统来说，“可证”是能够机械地实现，“真”则需要深入思想能动性以及超穷工具。这一切突破了人们对数学真理传统了解，将对数学真理认识推向了崭新层次。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第65页第65页 另一方面，哥德尔不完全性定理证实中提出“原始递归函数”概念，成为算法理论或可计算理论起点，尤其是它引导图灵提出了抱负计算机概念

37、，为电子计算机研制提供了理论基础。 另外，即使哥德尔不完全性定理指出了形式化数学不足，但这并不意味着公理化办法消亡，相反，哥德尔结果极大地增进了数学办法论发展，处理了一批证实论问题，使数理逻辑在新起点上取得了新发展。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第66页第66页 哥德尔定理意义在于，不但是数学所有，甚至任何一个故意义科学体系也不能用一个合理系统概括起来，由于这样合理系统是不也许完备。还须指出是，哥德尔理论改变了数学发展进程，触动了人类思维深层结构，它又渗入到音乐、艺术、生物、计算机和人工智能等领域。4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用第67页第67页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用

38、2、公理化办法普通地讲只能利用于一个数学分支发展到一定成熟阶段，不然就有也许对数学发展起束缚作用。 我们知道公理化办法长处之一是能够使它内容系统化、条理化、逻辑化。但是，我们还要指出普通来说只有在一个数学分支发展到一定阶段才有也许利用公理化办法揭示它内在规律，从而使它系统化。假如一个新数学分支刚刚诞生就要强调它逻辑严密性、系统性，不但没有好处，反而对它发展也许起到束缚作用。比如，微积分产生、发展直至完善所经历道路就是一个突出例证。第68页第68页4.2公理化办法逻辑特性、意义和作用 3、由于公理化办法主要突出了逻辑思维，并且它主要用于“回顾”性“总结”，对“摸索”性“展望”作用较少。公理化办法

39、若不与试验办法相结合，则不会更加好地处理问题；若不与其它科学办法相结合，也不会更加好地发觉问题。 因此对公理化办法作用和意义估价要恰当。不然无论是从结识论还是从办法论来讲都有束缚作用。第69页第69页4.3几种典型公理系统简介 一、希尔伯特几何基础公理系统 第70页第70页4.3几种典型公理系统简介 一、希尔伯特几何基础公理系统 基本对象几何基础公理系统 基本关系 基本公理 点、线、面 结合关系、顺序关系协议关系、连续关系 平行关系 结合公理、顺序公理协议公理、连续公理 平行公理第71页第71页4.3几种典型公理系统简介 希尔伯特公理体系中基本概念共有八个（其中基本对象三个、基本关系五个），对

40、基本概念唯一要求是适合五组公理。公理组共有18条公理（其中结合公理6条、顺序公理4条、协议公理5条、平行公理1条、连续公理2条）。这里要指出是，希尔伯特公理体系对欧几里德公理体系最主要补充是顺序公理中点与线顺序公理及连续公理。 这部分详细内容可参见傅秀章先生著几何基础（北师大出版社）。第72页第72页4.3几种典型公理系统简介 希尔伯特这个公理体系已被世界上一些数学家看作典型作品。 希尔伯特在几何基础中所采用是形式公理化办法，即对象直观背景完全被舍弃了他所从事已不再是某种特定对象研究，而只是由给定公理（更准确地说是假设）出发去进行演绎。由于几何学所研究只是由什么样前提出发能推出什么样结论，而对

41、所讨论对象是什么事不关怀。 第73页第73页4.3几种典型公理系统简介 简言之，原本是实质性公理系统，即“对象公理演绎”系统；几何基础是形式化公理系统，即“假设演绎”。 这里我们要尤其指出是，若将希尔伯特公理体系中平行公理换成相反公理，我们就得到罗氏几何公理体系。这也是希尔伯特公理体系一个美妙特点。在这里，我们又一次看见了公理化办法巨大力量。 第74页第74页4.3几种典型公理系统简介 二、集合论公理系统ZFC公理系统 1、ZFC公理系统形成简介 自从集合论中罗素悖论出现后，诸多逻辑学家和数学家致力于集合论改进工作，尤其突出是著名德国数学家策梅罗，他于19首先提出他改进方案，即策梅罗集合论公理

42、系统。后经费兰克尔、斯克朗等人改进，于1921-1923年间逐步形成了一个严格形式化集合论公理系统，这就是著名ZF公理系统。在ZF公理系统中加上选择公理，便是今天ZFC公理系统。 第75页第75页4.3几种典型公理系统简介 二、集合论公理系统ZFC公理系统 1、ZFC公理系统形成简介策梅罗(德, 1871-1953)费兰克尔(德 , 1891-1965) 斯克朗(挪, 1887-1963) 第76页第76页4.3几种典型公理系统简介 2、ZFC公理系统结构框图 集合论公理系统 基本公理 基本关系 基本对象“集”及其“元素”“集”及它“元素”从属关系“ ” 外延公理 、空集公理对偶公理 、并集公

43、理子集公理 、幂集公理无穷公理 、正则公理代换公理 、选择公理 第77页第77页4.3几种典型公理系统简介 3、ZFC公理系统特点、意义和作用 首先，ZFC公理系统是一个完全形式化抽象公理系统，也就是说它结构表示形式完全已符号化。 比如，外延公理： 另一方面，ZFC十条公理可概括为三类：即外延原则，它主要作用是确保集合唯一性；概括原则，它主要作用是处理结构集合问题；选择原则，它主要作用是处理选择集合问题。 即:假如两个集合A与B包括有完全相同元素，则它们必相等. 第78页第78页4.3几种典型公理系统简介 最后，ZFC公理系统为分析学奠定了严格地理论基础。比如在无穷公理和并集公理基础上能够严格

44、建立自然数、自然数集合及自然数理论；在幂集公理基础上能够引出实数系；在子集公理基础上能够讨论实数任何子集及其性质等。由此可见，只要ZFC公理系统无矛盾，那么实数理论也就无矛盾。然而，尽管至今ZFC公理系统尚未发觉矛盾，但这种无矛盾性还没有得到严格理论证实。并且依据哥德尔不完全性定理，ZFC公理系统本身不也许证实自己是无矛盾，即它无矛盾性只有借助外系统来证实。第79页第79页4.3几种典型公理系统简介 三、自然数公理系统 1、自然数公理化提出 数学顾名思义是一门研究数科学，人们皆知自然数来自实践，并且是数学起步点。然而，由自然数产生直到十九世纪末，在这个漫长历史时期却很少有些人对自然数理论奠基工

45、作进行过专门研究。只有到了近代，由于公理化相容性研究及数学中悖论出现，才迫使人们反过头来进一步研究数学起点，即自然数理论奠基工作，寻求建立自然数公理化办法。 第80页第80页4.3几种典型公理系统简介 自然数公理化办法建立有几种类型，其中最著名是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表算术原理：新叙述办法中所提出公理化办法。 皮亚诺(意, 1858-1932)第81页第81页4.3几种典型公理系统简介 自然数公理化办法建立有几种类型，其中最著名是意大利数学家皮亚诺在他1889年发表算术原理：新叙述办法中所提出公理化办法。 2、皮亚诺自然数公理系统 （1）原始（或基本）概念。 （i） 原始对象：自然

46、数1、自然数集。 （ii）原始关系：后继数（比如3是2后继数）或后继函数。 第82页第82页4.3几种典型公理系统简介 （2）公理组 （i）每个自然数x都有直接后继它数。即 这条公理表明，自然数含有离散性，此性质是自然数一个主要特性。 （ii）1不是任何自然数后继数。即 这条公理确保了自然数集有首元素，即自然数集是一个良序集。 第83页第83页4.3几种典型公理系统简介 （iii）每一个自然数不存在多于一个直接后继它自然数。即 （iv）每一个自然数都不直接后继多于一个自然数，即第84页第84页4.3几种典型公理系统简介 此公理称为归纳公理，它是数学归纳法基础和依据。建立在自然数归纳公理基础上数

47、学归纳法主要逻辑特性是，将一个无穷归纳过程转化为一个有限环节演绎过程.（v）任何一个自然数集 ，若含有性质：a） ； b）假如 ，那么 则自然数集 包括了所有自然数。也就是说自然数集 与自然数集 相等。第85页第85页4.3几种典型公理系统简介 3、对皮亚诺公理系统逻辑特性补充阐明 前面我们曾提到过哥德尔不完备性定理，从理论上证实了皮亚诺公理系统是一个不完备公理系统，最近英国青年数学家巴黎斯等人，在组合论中发觉了皮亚诺公理系统中既不能必定又不能否认一个纯正组合问题，从而也就为哥德尔不完全备定理找到了一个详细实例。 哥德尔不完全定理还告诉我们，皮亚诺算术公理系统相容性在本系统内通过有限环节是无法

48、证实。但是，数理逻辑学家甘岑在放宽条件下，即在皮亚诺公理系统外，依据超穷归纳法用超穷环节证实了皮亚诺公理系统相容性。 第86页第86页4.4 数学结构办法一、结构办法简述 19世纪至20世纪初，数学得到了前所未有高速发展，研究领域越来越广，数学这棵生长树越长越茂密，树岔越分越细，从而数学显得越来越庞杂无序，使得即便是造诣高深数学家也无法全局把握、透视，面对这种发展趋势，于是数学界一个故意义课题就应运而生，那就是，用统一观点去处理这“庞杂”内容，使之“有序”。第87页第87页4.4 数学结构办法 对于数学局部内容，这个想法是能够实现，如希尔伯特几何基础、范德瓦尔登近世代数出版；ZFC集合论公理系

49、统问世；德国数学家克莱茵利用“群论”观点统一处理了各种几何学（此即爱尔朗根大纲），美国数学家伯克霍夫用“格”概念统一处理了代数系统理论。那么，对于整个数学而言，能否采用某种统一观点将其重新整理呢？第88页第88页4.4 数学结构办法 20世纪初，法国一批杰出年轻数学家在爱尔朗根计划启示下，于1933年成立了以尼古拉布尔巴基为名数学家集体，其行动目的就是从整个数学全局出发，以集合论为基础，利用形式公理化办法，重新整理各个数学分支，从内容结构上给以彻底改造。其基本出发点是：数学是研究形式结构科学，数学各分支应能按结构性质来统一分割和归类。第89页第89页4.4 数学结构办法 数学大师A.博雷尔(A

50、rmand Borel)在回顾参与布尔巴基活动往事时说：“布尔巴基并没有实现他所有梦想，达成所有目的。在我看来，这已经足够了。在培植数学整体观念、数学基础统一性、叙述风格、符号选择等等方面，对数学发展产生了持久影响。”“在我心中永远保留回想是，数学家们多年无私合作，各不相同个性能朝向共同目的，在数学史上也许是绝无仅有。”第90页第90页4.4 数学结构办法 那些流淌着青春学术激情，那些灵光四射智慧火焰，真理在“疯子们”激辩中荡漾着七彩光辉这种学术上原生态情况，使布尔巴基学派在很长时间里保持着旺盛创造力，哺育了众多泰斗级数学精英，主要组员中不断有些人取得沃尔夫数学奖和菲尔兹奖其主要组员先后有让迪

51、多内、安德列韦伊和亨利嘉当（以上两人为沃尔夫数学奖得主），克劳德谢瓦莱、劳伦特施瓦兹、亚利山大格罗申第克和让皮埃尔塞尔（后三人均曾获菲尔兹奖）等 第91页第91页 H. 嘉当(法, 1904- )布尔巴基学派(法, 1935- )迪多内(法, 1906- 1992)谢瓦莱(法, 1909-1984) 德尔萨特(法, 1903-1968) 韦伊(法, 1906-1998)第92页第92页4.4 数学结构办法 这个集体不但要求正式组员数学素质要好，善于创新，并且年龄不能超出50岁，他们经常组织讨论班和研究会，集思广益，协作摸索，1936年正式向法国政府申请科学基金，并以布尔巴基名义发表众多结果和出

52、版系列专著数学原理，他们著作独特观点和风格赢得了布尔巴基学派称号，其思想即是结构主义，是用结构办法处理数学。详细说来就是，利用形式公理法化办法抽象出各种数学分支各种结构，找出各数学分支之间结构差别，从而取得各数学分支间内在关联清楚图象。 第93页第93页4.4 数学结构办法 显然，结构主义能够看作是当代形式公理办法一个发展，由于，形式公理化办法是着眼于某一门数学形式公理化或者结构化；结构主义思想办法则是以当代形式公理化办法为工具，着眼于整个数学全局去看待各个数学分支，即不但要在数学大范围内分析研究每一门数学结构，并且还要分析研究各数学分支之间结构差别及其内在联系。第94页第94页4.4 数学结

53、构办法 布尔巴基学派在集合论基础上,首先经过抽象分析法，建立了三种基本结构，也称母结构，即代数结构、序结构和拓朴结构，然后以这三个母结构为基础，按照结构之间“不同”关系，交叉产生新结构，从而，使得数学由一个分支结构转移到另一个分支结构，有层次地一直延伸出去，形成整个数学。第95页第95页4.4 数学结构办法集合论代数结构序结构拓扑结构布尔代数结构分析结构序拓扑结构 结构层次框图下列:第96页第96页4.4 数学结构办法 正如他们所说：“数学好比一座大都市，都市中心有些巨大建筑物，就好比是一个个已经建成数学理论体系，都市郊区正在不断地并且多少有点杂乱无章地向外伸展，他们就仿佛是一些尚未发育成型正

54、在成长着数学分支，与此同加时，市中心又在时时重建，每次都是依据构思更清楚计划和愈加合理布局，在拆毁掉旧迷宫似断街小巷同时，将修筑起新更直、更宽、愈加以便林荫大道通向四方，”。第97页第97页4.4 数学结构办法 二、数学结构简介 一个抽象集合但是是一组元素而已，无所谓结构。但引进了运算和变换，就形成了结构。结构中必须包括元素间关系，这些关系通常是由运算或变换联系着。 1、数学结构详细实例 下面以抽象群理论来详细阐明结构是如何产生和如何拟定一个结构。 第98页第98页4.4 数学结构办法首先让我们考察三种运算： （1）实数加法：实数和按通常办法拟定。 （2）整数“按模素数 ”乘法 ：两数“乘积”

55、定义为两数通常乘积除以 余数。 （3）在三维欧氏空间中位移“合成”：两个位移（按这个顺序）“合成”（或“乘积”）定义为执行第一个位移后再执行第二个位移所得到位移。第99页第99页4.4 数学结构办法 在三种不同运算中，用统一符号“ ”表示运算，用 表示两个元素 经过运算后确定第三个元素，那么详细分析这三种不同运算“运算性质”，会发觉它们之间含有一个“显著平行性”（即类似性、对应性）。从中能够选出相互独立少数几个性质作为这三种运算“共同性质”。如第100页第100页4.4 数学结构办法（i）对于所有元素 有(ii)存在一个元素 ，使得对于每一个元素 ，有(iii) 相应于每一元素 ，存在一个元素

56、 ，使得第101页第101页4.4 数学结构办法 由此看出记号 能够用相同方式表示它们，对这三种不同运算，借助于统一之间“平行”运算性质。这种表示优点在于，在推理过程中无须考虑元素性质，唯一需要关心是，元素运算 含有性质“(i)、(ii)、(iii)”这个前提。这么，就能够引出对应运算结构。第102页第102页4.4 数学结构办法 群结构就是在某一集合中拟定了某种运算，且含有三个性质(i)、(ii)、(iii)一个结构。其中性质(i)、(ii)、(iii)叫做群结构公理，展开这些公理推论就构成群理论。显然，群理论较之“实数加”、“整数模”、“位移合成”等理论概括得多，它适合于这三者中任一个。这

57、就是研究结构意义之所在。 由上述分析看出，详细而言结构是集合中元素间满足一定条件（公理）某种关系，一个抽象集合只但是是一组元素而已，无所谓结构，但引进了关系，就形成了结构。因此，关系是主要，它就代表一个结构。第103页第103页4.4 数学结构办法比如，是表为，还是这没有区别。但对于积集合 ，这些元素就互相有区别了。第104页第104页4.4 数学结构办法2、三种基本数学结构简介(1) 代数结构 所谓非空集X中n元代数运算指 到 一个映射其中n叫做运算阶。最惯用代数运算是二元代数运算，也即习惯上代数运算。第105页第105页4.4 数学结构办法 序对 在代数运算 下象记作 ，显然， 中二元代数

58、运算 给出了 中一个三元关系： 当且仅当 时，三元序组满足这个关系。而三元序组 集合是笛卡尔积 子集，故二元运算能够视为一个结构。 若非空集 中代数运算记为 ，则序对就称为一个代数，即定义了运算集合。第106页第106页4.4 数学结构办法 代数例子很多，假如再给代数加上一定公理，那它就组成各种不同代数结构。如加上群公理、环公理、域公理等就分别组成群、环、域等常见代数结构。 再以群为例详细说明之；第107页第107页4.4 数学结构办法例、群结构 二元序对 称为群，是指它满足下列公理：（1） 中元素关于代数运算满足结合律，即 ，有（2） 中存单位元 ：即 ,使 ，有 （3） 中每一个元素，都在

59、 中存在逆元，即 第108页第108页 可见，群也就是在其上定义了满足上述公理二元代数运算非空集合。 代数结构是由离散性对象、运算关系及其公理组所构成结构系统。 （2）序结构 常见序结构有两种：半序结构和全序结构，建立了这两种序结构集分别称为半序集和全序集（也称半序结构和全序结构）。 4.4 数学结构办法第109页第109页4.4 数学结构办法 半序集：假如元素之间定义了一个关系“”，它满足下列公理： （i）自反性，对中一切元素 ,有 (ii) 反对称性，若 则 （iii）传递性，若 则 则称为半序集，这个关系为半序关系。第110页第110页4.4 数学结构办法 比如 自然数集中整除关系是半序

60、关系，由于n能被本身整除；若n能整除m,m能整除n,则m=n;若n能整除m,m能整除r,则n也能整除r,故自然数集是一个半序结构。 全序集：满足下列可比性条件（iv）半序集称为全序集； (iv)中任意两个元素 或至少有一个成立。第111页第111页4.4 数学结构办法 比如 一幂集中包括关系不含有可比性，故不是全序集。 又如 不难验证，数集 ，关于整除关系构成一全序结构。但自然数集关于整除关系不构成全序结构。 又如 自然数集关于“”关系构成一全序结构。 可见，序结构是由对象集、顺序关系及其公理组所构成结构系统。第112页第112页4.4 数学结构办法（）拓扑结构 为了在普通意义下引进拓扑概念，