力学课的数学准备市公开课获奖课件

1、力学课数学准备（一）-矢量、微积分部分秋季 王景赟第1页第1页附录A 矢量概述矢量概念自然界中有一类量既有大小、又有方向，这类量称为矢量（向量）。标量：只有数值大小量。例子：标量：距离，速率，质量，密度，体积，温度，电阻，功，能量，热量，功率，势能，电势能等矢量：位移，速度，加速度，力，动量，力矩，电磁场强度等等第2页第2页表示办法： ， ，a（黑体），（a，b，c）矢量没有固定空间位置矢量模： ， , a单位矢量：大小为一矢量 / 大小方向第3页第3页力合成：矢量加法/减法矢量加法(几何办法)矢量分解与合成(分析办法)第4页第4页矢量运算矢量加法矢量：a,ba+b=rabr平行四边形法则ar

2、b三角形法则br矢量相加必须是同一类量相加第5页第5页 已知两矢量： 、 ，求 扩展：多边形法则III第6页第6页互换律 a+b=b+a 结合律 (a+b)+c=a+(b+c)第7页第7页第8页第8页矢量负值：等值反向b负值：-b减法：a-b=a+(-b)矢量减法第9页第9页第10页第10页矢量分解与合成在给定坐标系中，矢量能够分解为在不同坐标系中，一个矢量能够有许多组分量。确定了坐标系，一个矢量分量才干唯一地确定。空间直角坐标系右手系第11页第11页矢量线性运算坐标式假设两个矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)b=bxi+byj+bzk=(bx,by,bz)则，a+b=(ax

3、+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k =(ax+bx,ay+by,az+bz)a-b =(ax-bx,ay-by,az-bz)矢量代数运算解析分析第12页第12页解：以东为x轴，北为y轴建立直角坐标系则v1=80i v2=120j v=v1+v2=80i+120j求其模，得到速率大小为144km/s利用正切求夹角tgg=120/80=1.5g=56xyg第13页第13页矢量模、方向角及其在轴上投影矢量模：矢量数值大小|a|=方向角、方向余弦与矢量在坐标轴上投影矢量a=axi+ayj+azk=(ax,ay,az)方向角a，b，g方向余弦cos a =ax/|a|，cos b = ay/

4、|a|，cos g =ax/|a|且它们满足 cos 2a+ cos 2b+ cos 2g=1第14页第14页例子已知两点坐标A（2,2, ）和B（1,3,0），求矢量 模、方向余弦和方位角解： =（1-2,3-2,0- ）=（-1,1, - ） cos a =-1/2，cos b = 1/2，cos g =- /2 a =2p/3，b = p/3，g =3p/4 第15页第15页矢量三种乘法：数乘、点乘和叉乘矢量乘以标量（数乘）：标量k与矢量 乘积定义为一个新矢量，它大小等于 大小k倍。假如k是正，则新矢量与 方向相同；假如k是负，则方向相反。设有矢量a与实数l，要求l与a乘积是一个矢量，记

5、为la，该矢量模为|la|=|l| |a|能够证实数乘矢量满足下列运算律:结合律： l (ma)=(lm ) a分派律： (l+m)a=la+ma例子:第16页第16页不同类矢量乘法运算产生新物理量两个矢量 和 标积（点乘）写作 ，定义为： 其中A为矢量 大小，B为矢量 大小， 为两矢量间夹角。譬如：fs=w第17页第17页第18页第18页例：1）分派率2） ab=axbx+ayby+azbz 由于 ab=(axi+ayj+azk) (bxi+byj+bzk)= axbxii+aybyjj+azbzkk=axbx+ayby+azbz3）第19页第19页第20页第20页矢量向量积定义：设矢量c是

6、由两个矢量a和b按下列要求拟定：|c|=|a|b|sin，是a与b之间夹角c方向垂直于a与b决定平面，c指向按右手规则拟定，即右手四指以不超出p角度，从a转向b时，拇指指向就是c指向。则称矢量c是a与b向量积（叉乘，叉积，外积），记为c=ababc|ab|例子： fr=La第21页第21页 例：两个矢量位于x -y平面内；矢量A大小为1.5并与x轴成30角；矢量B大小为2.0并与x轴成100角，求AB。|A B|AB sinq (1. 5 2. 0)sin 70 2.8 方向与A、B成右手坐标系第22页第22页向量积向量积ab模| ab |等于矢量a，b为邻边平行四边形面积推导：1） aa =

7、 0 2）两个非零矢量ab=0a|b 3） 对于单位矢量 ， ， ，有： 4)依据右手定则：向量积运算性质ab= -ba 分派率 (a+b)c= ac+ bc结合律 l(ab)=(la)b=a(lb)不互换！第23页第23页行列式第24页第24页矢量与物理定律假定有 a, b和c 三个矢量，在某一坐标系xyz中，分别含有分量 。再假定这三个矢量相关系即 现在设想有另一坐标系 xyz ，通过坐标系移动和转动后，矢量间关系保持不变。矢量语言是表述物理定律一个抱负语言。第25页第25页微积分简介第26页第26页微分一元函数：y=f(x)自变量x增量x函数增量y=y(x+x)-y(x)Oy=Ax2函数

8、增量含有高阶无穷小，其它函数类似。第27页第27页自变量增量x0时，称为自变量微分,改记成dx相应函数增量y称为函数微分,记成dydy和dx关系：dy=y(x+dx)-y(x)微商(导数)定义思考：在微商过程中，忽略了高阶无穷小奉献。思考：第28页第28页计算函数y=Ax2微商第29页第29页 例子：变速直线运动速度设描述质点运动位置函数为则 到 平均速度为而在 时刻瞬时速度为自由落体运动第30页第30页例子：求非均匀棒密度（一点线密度 均匀棒密度单位长质量 非均匀：建立坐标系0给出质量函数 取棒一段 到 这段质量 这段上平均密度 越小， 就越靠近于 点线密度 因而 第31页第31页物体运动速

9、度与曲线切线斜率都归结为同一个数学结构：函数增量与自变量增量之比极限微商几何意义第32页第32页 切 线:割线极限位置切线位置第33页第33页第34页第34页第35页第35页第36页第36页第37页第37页第38页第38页第39页第39页第40页第40页第41页第41页第42页第42页割线极限位置切线位置第43页第43页为曲线上点在处法线方程为处切线（假如存在）斜率。由此：曲线切线方程为切线方程与法线方程第44页第44页函数和、差、积、商求导法则第45页第45页微商运算法则证实函数和微商是它们微商和。第46页第46页乘法法则高阶无穷小奉献第47页第47页计算函数y=x3微商乘法法则n整数上式对

10、n一切数值都成立。第48页第48页复合函数求导法则第49页第49页链锁法则函数微商，而该函数本身又是另一个函数函数思考：假设y=3x2且x=6t，dy/dt是什么？在x0之前，普通分数乘积第50页第50页常见微商常数f(C)=0幂函数f(x)=xn如y=x2, y=2x第51页第51页三角函数导数(sinx)=cosx(cosx)=-sinx例子求在点微商。时，函数有改变量它们之比为因此当给自变量以改变量第52页第52页指数函数导数当a=e时，(ex)= ex对数函数导数第53页第53页函数中没有突变，它们是平滑。数学家称这些函数为连续。假设了函数确有微商，这是指它们是可微。假如对函数f(x)

11、微商f(x)在求微商，得到一个新函数，称为函数f(x)二阶微商(导数)。速度，加速度第54页第54页55微分逆运算-积分已知某函数微商，求本来函数过程叫做逆微分。逆微分也被称为积分。有时使用“原函数”来替换逆微商。思考：原函数为何会有一个常数C。假如两个函数g(t)和f (t)含有相同微商, g(t)和f(t)，则它们差g(t) - f(t)为常量，因此g(t) - f (t)=C,其中C是常数。因而g(t)=f (t)+C。换句话说，假如f (t)是f(t)一个逆微商，则所有逆微商是f(t)+C,其中C是任意常数。第55页第55页一质点作自由落体运动，其加速度为g(取垂直向下为正)，则其速度

12、公式为假如要拟定常数C，需要知道一个约束条件，比如：t=0时刻初速度v0。 C= v0t=0时刻位移z0。假如t=0时刻初速度v0 =0和位移z0 =0初始条件或边界条件第56页第56页积分与求面积一质点作自由落体运动，其加速度为g(取垂直向下为正)加速度一个原函数是速率，因而在这里面积函数等于物体从静止下落速率：v(t)= v0 -gt 。(t=0时刻初速度为v0)第57页第57页一质点作自由落体运动，v=gt (垂直向下为正和t=0时刻初速度v0 =0)将t作为变数，面积函数0.5gt2是t函数。面积函数是从0开始曲线一个原函数。面积为0.5gt2，等于在时刻t所下落距离。第58页第58页

13、莱布尼茨引入符号把这个面积表示为积分号下面函数f(x)叫做被积函数，而从a到t间隔叫做积分区间，伴伴随称为积分限数字a和t。假如你想要求出曲线y = f (x)下从x = a到x = t区域面积，首先求出给定函数一个原函数，即其微商是f(x)任一函数P(x)。然后所需面积就是P(t)减去P(a)。第59页第59页符号 表示把所有这些窄矩形面积加在一起过程。第60页第60页61微积分第一基本定理将微商和积分联系起来积分 对于上限微商等于被积函数在t处值。微积分第二基本定理假如P(x)是f (x)任意一个原函数引入符号第61页第61页莱布尼茨引入积分一个特殊符号 ，积分号上没有附着任何积分限，用这种形式去表示f(x)任意积分。符号 往往被叫做不定积分符号 往往被叫做定积