优化设计的数学基础市公开课获奖课件

1、第三章 优化设计数学模型3-1 设计变量3-2 约束条件3-3 目的函数3-4 优化设计数学模型3-5 数学模型几何描述3-6 优化设计迭代过程及终止准则第1页第1页 优化设计数学模型是描述实际优化问题设计内容、变量关系、相关设计条件和意图数学表示式，它反应了物理现象各主要原因内在联系，是进行优化设计基础。第2页第2页3-1设计变量一、设计变量设计变量：在优化设计过程中是改变，需要优选 量。设计参数：在优化设计过程中保持不变或预先拟定 数值。 能够是几何参数：例，尺寸、形状、位置 运动学参数： 例，位移、速度、加速度 动力学参数： 例，力、力矩、应力 其它物理量： 例，质量、转动惯量、频率、挠

2、度 非物理量： 例，效率、寿命、成本设计向量：用 X =x1, x2 , ,x nT 表示， 是定义在 n 维欧氏空间中一个向量。第3页第3页二、设计点与设计空间设计点: X(k)（x1(k), x2 (k), ,x n(k)）： 是设计向量X(k)端点，代表设计空间中一个点，也代表第 k 个设计方案。也许是可行方案、也也许不是可行方案。设计空间 Rn ： 以x1, x2 , ,xn 为坐标轴，构成 n 维欧氏实空间Rn。它包括了所有也许设计点，即所有设计方案。欧氏空间: 由于工程设计中设计变量都是实数，因此称这种设计空间为欧式空间第4页第4页三、连续量与离散量 普通来说，设计变量大多是一些连

3、续改变量。 但在机械设计中，有些变量也也许是跳跃式量。比如齿轮齿数必须为整数，模数必须符合国家原则所要求值，轴承尺寸必须符合产品样本中所要求值等。凡属这类跳跃式量称为离散量。 对于离散设计变量，在优化设计过程中经常把它们视作连续量，在求得连续量优化结果后再进行圆整或原则化，以求得一个实用最优方案。第5页第5页3-2 约束条件 设计空间是所有设计方案集合，但这些设计方案有些是工程上所不能接受。如一个设计满足所有对它提出要求，就称为可行设计。 一个可行设计必须满足一些设计限制条件，这些限制条件称作约束条件，简称约束。第6页第6页一、设计约束类型(1) 约束又可按其数学表示形式分成等式约束和不等式约

4、束两种类型。(2) 依据约束性质能够把它们区别成： 性能约束针对性能要求而提出限制条件称作性能约束。比如，选择一些结构必须满足受力强度、刚度或稳定性等要求； 边界约束只是对设计变量取值范围加以限制约束称作边界约束。比如，允许机床主轴选择尺寸范围，对轴段长度限定范围就属于边界约束。第7页第7页(3) 显式约束 隐式约束 约束函数有能够表示成显式形式，即反应设计变量之间明显函数关系，有只能表示成隐式形式 ,如例中复杂结构性能约束函数（变形、应力、频率等），需要通过有限元等办法计算求得。第8页第8页可行域： 在可行域内任意一点称为可行设计点（内点），代表一个可行方案, 可行设计点集合D称为可行设计区

5、域。非可行域： 在可行域外点称为非可行设计点（外点），代表不可采用设计方案，这种设计点集合为非可行域。二、可行域和非可行域第9页第9页3-3 目的函数 为了对设计进行定量评价，必须结构包括设计变量评价函数，它是优化目的，称为目的函数，以F(X)表示。 在优化过程中，通过设计变量不断向F(X)值改进方向自动调整，最后求得F(X)值最好或最满意X值。在结构目的函数时，应注意目的函数必须包括所有设计变量，所有设计变量必须包括在约束函数中。第10页第10页在机械设计中，可作为参考目的函数有： 体积最小、重量最轻、效率最高、承载能力最大、结构运动精度最高、振幅或噪声最小、成本最低、耗能最小、动负荷最小等

6、等。 在最优化设计问题中，能够只有一个目的函数，称为单目的函数。当在同一设计中要提出多个目的函数时，这种问题称为多目的函数最优化问题。在普通机械最优化设计中，多目的函数情况较多。第11页第11页3-4 优化设计数学模型总而言之，最优化问题数学模型普通表示下列：对于无约束最优化问题：式中， 表示n维实欧氏空间。第12页第12页对于约束最优化问题： 式中D表示由p个不等约束条件和q个等约束条件所要求可行域。第13页第13页通过最优化办法求得一组最优设计变量： 表示了一个最优化设计方案，称为最优设计点。相应于该设计方案目的函数为：称为最优化值。最长处和最优值两者构成了一个优化问题最优解。第14页第1

7、4页在数学模型中，若目的函数F（X）和约束函数 和 都是设计变量 线性函数，这样优化问题常称为线性规划问题，不然称为非线性规划问题。第15页第15页3-5数学模型几何描述 为了进一步阐明最优化问题一些基本概念，下面再对它作必要几何描述，以便比较直观地、形象化地理解它。先以一个二维优化问题为例。 设有一个约束最优化问题，数学模型下列：第16页第16页 对于这样一个优化问题，可用下图几何图形来阐明几种基本概念。第17页第17页3-6 优化设计迭代过程 及终止准则第18页第18页一 、迭代过程与迭代格式 为了适应电子计算机工作特点，要求最优化办法含有下列性质：数值计算，而不是解析办法； 含有简朴逻辑

8、结构，并能进行重复运算过程： 不要求取得准确解，而只要求有足够精度近似解。 满足上述要求计算过程或计算办法就是所谓数值迭代过程 或 数值迭代办法。第19页第19页 数值迭代基本思想是：从某一个选定初始点 出发，按照某种最优化办法所要求原则，拟定适当方向和步长，取得第一个新修改设计点 ，计算此点目的函数值 使满足：最后达到与理论最长处X*非常迫近近似最长处X*。第20页第20页 式中 就是以 为新起始点，沿着一定方向 以一定步长 拟定下一个设计点 改进迭代矢量。由此可知，每一步迭代格式可写作： 第n步迭代计算步长。第21页第21页二、优化办法分类 当前已经有最优化方法很多，各种方法区分就在于确定

9、方向S和步长a方法不同。这些方法可大致归纳为两大类：1直接搜索法 这种办法只需要进行函数计算与比较来拟定优化方向和步长。2间接法 这种办法需要利用函数一阶或二阶偏导数矩阵来拟定优化方向和优化步长。第22页第22页 由于大多数工程设计问题设计变量比较多，函数形式也比较复杂，不易求得一阶和二阶偏导数，因此在实际应用中，直接搜索法更受工程界欢迎。 但无论何种详细优化算法，它们在拟定方向和步长时都应含有下列共同之点：（1）所选择优化方向S是比较容易计算；（2）所选择优化方向应尽也许指向目标函数F（X）极小点， 最少在每一个迭代点 附近是指向F（X）极小点；（3）所选步长a应在已定方向上使目标函数达到极

10、小，或者至 少使目标函数值有所下降。第23页第23页三、迭代点列收敛条件和终止准则1点列收敛柯西准则若某种迭代过程所选择设计点序列为： 若点列是收敛，即存在极限：点列 收敛必要与充足条件是，对于任意指定足够小正数，存在着自然数N，使得当两个自然数m和p不小于N时满足： 满足上述条件点列称为基本序列，这个条件叫做点列收敛柯西准则。收敛条件式也可写作：第24页第24页2、优化计算终止准则通常采用计算终止准则有下列几种形式：（1）当两相邻迭代点 之间距离足够小时用矢量长度来表示，即为： 也能够用矢量长度在各坐标轴上分量来表示，即： 第25页第25页 （2）当目的函数下降量已达到充足小时，即： 也能够用目的函数值相对下降量达到充足小时来表示，即： （3）当迭代点目的函数梯度达到充足小时，即： 但是这种判别准则很也许把驻点作为最优值点输出，这是它缺点。第26页第26页 在优化设计中，只要满足以上诸式中之一，就可算作目的函数值 已收敛于函数F（X）极小值，近似最