八年级数学下册第十六章分式导学案

1、 16.1.1 从分数到分式【学习目标】会从实际问题抽象出分式的概念，理解分式的概念。能正确判断一个代数式是否为分式，能区分整式与分式。理解并掌握分式有意义的条件。通过对分式与分数的类比，学会运用类比转化的思想方法研究数学问题。【重点难点】 重点：理解分式有意义的条件及分式的值为零的条件。 难点：能熟练地求出分式有意义的条件及分式的值为零的条件。【导学指导】 复习旧知：1.什么是整式？什么是单项式？什么是多项式？ 2.判断以下各式中，哪些是整式？哪些不是整式？ m2 ； 1xy2； ； ； ； ； x+2y/3 ； a-b/； 2/m+n ； 2/3 (a-b) ； 学习新知：阅读教材P2-P

2、4相关内容后答复， 1.一般地，用A，B表示 ，并且B中含有 ，那么式子A/B就叫做分式。其中，A叫做分式的 ，B叫做分式的 ，因为零不能做除数，所以 不能为零。 时，分式4/x-1有意义. 时，分式x-1/x+1的值为0. 时，分式2/|x|-2无意义. 5.“两个整式相除叫做分式这句话对吗？ 6.列代数式表示以下数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？ (1甲每小时做x个零件，那么他8小时做零件 个，做80个零件需 小时.2轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是 千米/时，轮船的逆流速度是 千米/时.(3)x与y的差除以4的商是 .【课堂练习】教材p4练习第1

3、,2,3题。当x为何值时，分式2-x/3x+2无意义？ 当x为何值时，分式x/x-3x+2的值为0？当x为何值时，分式5/6-x的值为1？当x为何值时，分式2/3+x的值为负数？ 6. 当x为何值时，分式 的值为0？【要点归纳】 与同伴交流一下，本节课你有哪些收获？【拓展训练】1.当x为何值时，分式|x|-1/(x+3)(x-1)的值为0？2.假设不管x取何值时，分式5/x-2x+m总有意义，试求m的取值范围？3.分式k-9/3k-9的值为0，试求关于x的函数y=(k+2)x+(2-k)的图象与x轴，y轴围成的三角形的面积。 16.1.2 分式的根本性质1【学习目标】通过类比分数的根本性质，了

4、解分式的根本性质。能够灵活运用分式的根本性质进行分式的变形。会用分式的根本性质探求分式变形中的符号法那么。【重点难点】 重点：理解并掌握分式的根本性质;分式的分子、分母和分式本身符号变号的法那么。 难点：灵活运用分式的根本性质进行分式变形。【导学指导】 复习旧知： 1.以下分数是否相等？可以进行变形的的依据是什么？ 2/3 4/6 8/12 16/24 32/48 2把以下分数化为最简分数：1=_；2=_；3=_3.分数的根本性质是什么？试着用字母表示分数的根本性质。4.类比分数的根本性质，你能猜测出分式有什么性质吗？ 学习新知： 阅读教材P4-P5相关内容，思考，讨论，交流后完成以下问题。分

5、式的根本性质是什么？和你猜测的一样吗？它和分数的根本性质有什么异同？你能用式子表示分式的根本性质吗？ 议一议：公式中为什么规定C不能为零？ 合作探究: 1填空：(1) = (2) = 3) = (4) = 2以下分式变形正确的选项是( ) 1 2 3 4 3.分式的分子、分母和分式本身符号变号的法那么 补例:不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“-号. ， ， ， ， 。引导学生分析：每个分式的分子、分母和分式本身都有自己的符号，其中两个符号同时改变，分式的值不变.【课堂练习】1填空：(1) = (2) = 3) = (4) =2不改变分式的值，使以下分式的分子和分母都不含“-号. (

6、1) (2) 3) (4) 3.不改变分式的值，使以下分式的分子与分母的最高次项的系数是正数： 1 2 34不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-号.1 2 【拓展训练】 1. 不改变分式的值，把以下分式的分子与分母各项的系数都化为整数。x/2=y/3=z/4 ,求2x+3y+4z/5x-2y 的值。3. x+3x+1=0,求 x+1/x 的值。 16.1.2 分式的根本性质2【学习目标】类比分数的约分、通分，理解分式约分、通分的意义。类比分数的约分、通分，掌握分式约分、通分的方法与步骤。【重点难点】 重点：运用分式的根本性质正确的进行分式的约分与通分。 难点：通分时最简公分母

7、确实定；运用通分法那么将分式进行变形。【导学指导】 阅读教材P6-P8相关内容，思考，讨论，交流以下问题。化简以下各题： 1 4/64 (2)20/1280 你做这些题目的根据是什么?我们称为什么运算？怎样确定最大公约数？2.与分数的约分类似，你能把分式 4a/8a2b 约分吗？分式约分的依据是什么？分式约分约去的是什么？3.什么叫做分式的约分？什么叫做最简分式? 4.把分数 1/2 , 3/4 , 5/6 通分.怎样确定最小公倍数？什么叫分数的通分? 5.类似于分数的通分，你能说出分式的通分吗？什么叫做最简公分母？探索学习：1、P6例3约分：分析 约分是应用分式的根本性质把分式的分子、分母同

8、除以同一个整式，使分式的值不变.所以要找准分子和分母的公因式，约分的结果要是最简分式.【解题反思】：1、约分有几条途径？一条是逐步约分；另一条是一次性约分。、一次性约分，怎样确定公因式？【1.分子分母的系数要找最大公约数；2.字母或式子要找分子分母中都有的，且指数要最小的。】、结果要到达什么形式？最简分式小试：约分： 2 3 42、P7例4通分：分析 通分要想确定各分式的公分母，一般的取系数的最小公倍数，以及所有因式的最高次幂的积，作为最简公分母.讨论：怎样确定公因式？【1.所有分母的系数要找最小公倍数；2.字母或式子要找分母中但凡有的，且指数要最高的。】学生试解，组内交流，谈出每一步的算理。

9、小试：通分：1和 2和 3和 4和 【课堂练习】教材P8练习1、2题。分式 4y+3x/2a , a2-b2/a-b ,m+n/m-n ,x2-2xy/xy-2y2中是最简分式的有哪些？约分: (1) 2ab2/20a2b (2) x2-2x/x2-4x+4 (3) x2-9/x2-6x+9 (4)4x2-8xy+4y2/2x2-2y2通分： 1和 2和 (3) a-1/a2+2a+1 ,6/a2-1 (4) 2a/2a+3，3/3-2a ,2a+15/4a2-9【要点归纳】什么是分式的约分？怎样进行分式的约分？什么是最简分式?什么是分式的通分？怎样进行分式的通分？什么是最简公分母？【拓展训练

10、】 阅读下题的解答过程，并解决后面的问题。x+ 1/x =2 ,求x2+ 1/x2的值。解：将x+ 1/x =2两边平方得x+ 1/x2=4 ，即 x2 + 2x1/x + 1/x2=4 ,所以 x2 + 1/x2 =4-2=2 问题：y2+y-1=0 ,求y2 + 1/y2 的值。 16.2.1 分式的乘除1【学习目标】通过类比分数的乘除运算法那么，探究得出并掌握分式的乘除法法那么。会进行简单分式的乘除运算，具有一定的代数划归能力。能解决一些与分式有关的简单实际问题。【重点难点】 重点：分式的乘除法法那么。 难点：运用分式的乘除法法那么对分子、分母是多项式的分式进行乘除运算和符号变化。【导学

11、指导】 阅读教材P10-P12内容，思考、讨论、交流完成以下问题。1.一个长方形容器的容积为V，底面的长为a，宽为b，那么此长方形容器的高为 ，假设容器中的水占容积的时，水的高度为 ，假设假设容器中的水占容积的时，水的高度为 ；2.大拖拉机m天耕地a公顷，小拖拉机n天耕地b公顷，那么大拖拉机的工作效率是 ；小拖拉机的工作效率是 ；大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.3.探究分式的乘除法法那么观察：由以上算式，请写出分数乘除法的法那么：乘法法那么： ；除法法那么： ；如果把上面算式中的3、5、15、2、分别用字母a、b、c、d来代替，请写出相应的式子： ；用文字归纳分式的乘除法法那么：

12、乘法法那么 ；除法法那么 ，思考：在进行分式的乘除运算时，如果分式的分子、分母是多项式时，应该怎么办？分式的乘除法对运算结果有什么要求？合作探究：、计算： 2例2、计算：1 2 例3 “丰收1号小麦的试验田是边长为米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下的局部，“丰收2号小麦的试验田是边长为米的正方形，两块试验田里的小麦都收获了500千克。1“丰收1号小麦的种植面积为 ；“丰收2号小麦的种植面积为 ；2哪种小麦的单位面积产量高？3高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ (此题比拟(a-1)2与a2-1的大小过程比拟复杂，是难点)【课堂练习】教材P13练习1,2,3题。 2.= ，

13、= ，= 3.计算：1 2 3 4【拓展训练】假设2a=3b ,那么 2a2/3b2等于 A. 1 B. 2/3 C. 3/2 D. 9/6 2.先化简，再求值：a-1/a+2 a2-4/a2-2a+1 1/a2-1 ,其中a满足a2-a=0 . 3. 16.2.1 分式的乘除2【学习目标】进一步熟悉分式的乘除法法那么，会进行分式乘、除的混合运算。掌握分式乘方的运算法那么，会进行简单的乘、除、乘方混合运算。在实际生产生活背景中运用分式的乘除解决一些问题，提高应用能力。【重点难点】重点：分式乘除、乘方的混合运算。难点：乘、除、乘方混合运算中运算顺序以及结果符号确实定。【导学指导】 复习旧知：分式

14、的乘除法法那么。 2.乘方的意义。 学习新知：阅读教材P12“例3-P14相关内容，思考、讨论、交流后完成以下问题。分式的乘方法那么：公式：文字表达：2.分式的乘除混合运算怎么做? 分析 是分式乘除法的混合运算. 分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简.分式的乘、除、乘方混合运算又怎么做？ 4.到目前为止，幂的运算法那么都有什么？ 计算1 (2) 合作探究：补充例.计算 (1) = (先把除法统一成乘法运算)= 判断运算的符号= 约分到最简分式 (2) = (先把除法统一成乘法运算)= (分子、分母中的多项式

15、分解因式) = =判断以下各式是否成立，并改正.1= 2= 3= 4=计算:(1) 2 3 4 【课堂练习】1、计算：1； 23) (4) (6) 7) (8)【拓展训练】1.计算： (1) 2 4 2.：，求代数式的值 16.2.2 分式的加减1【学习目标】 理解并掌握分式的加减法那么，并会运用它们进行分式的加减运算。【重点难点】 重点：运用分式的加减运算法那么进行运算。 难点：异分母分式的加减运算。【导学指导】 复习旧知：什么叫通分？通分的关键是什么？什么叫最简公分母? 学习新知：阅读教材P15-P16相关内容，思考，讨论，交流后完成以下问题。1.分数的加减运算法那么是什么？ 计算以下各式

16、： 11/5 + 2/5 (2) 1/5 2/5 (3) 1/2 + 1/3 (4) 1/2 1/3 类比分数的加减法，你能猜测出分式的加减法法那么吗？分别用语言和式子表示分式的加减法法那么。 例6.计算：1，2 1 (2)【课堂练习】教材P16练习1、2题。计算：(1) 23 4【拓展训练】 ab/a+b = 1/3 , bc/b+c = 1/4 ,ca/c+a = 1/5 ,求abc/ab+bc+ca 的值。 2计算：1/1-x + 1/1+x + 2/1+x + 4/1+x4 8/1-x8 3.计算:(1) (2) (3) (4) 4.某车间师傅小李和小王生产同一种零件，小李比小王每小时

17、多生产8个。现在要求小李生产出168个这种零件，要求小王生产出144个这种零件，他们两谁先完成任务呢？ 16.2.2 分式的加减2【学习目标】明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算。能灵活运用运算律简便运算。【重点难点】 重点：熟练地进行分式的混合运算。 难点：熟练地进行分式的混合运算。【导学指导】 复习旧知：我们已经学习了分式的哪些运算？ 进行的，分式的加减运算主要是通过 进行的。 3.分数的混合运算法那么是什么？ 学习新知： 阅读教材P17-P18相关内容，思考讨论，合作交流完成以下问题： 与分数类似，分式的混合运算法那么是什么？ :小组讨论：1、运算顺序；2、结果进行到什么地步

18、。 【这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方， 再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.】2、补充计算:1 2()(a3b3) 4() 3、x=3，求以下各式的值：1x2 2x3 3【课堂练习】教材P18练习1、2题。计算：1) 23 3.创新能力运用选做1：xyz=3y=2z，求的值.2：=3，求的值.【拓展训练】阅读例题：计算 1/x(x+1) + 1/(x+1)(x+2) + 1/(x+2)(x+3) 解：原式=1/x 1/x+1 + 1/x+1 1/x+2 + 1/x+2 -1/x+3 =1/x 1/x+3 =3/

19、x(x+3) 请仿照上题，1计算2/(x+1)(x+3) + 2/x+3(x+5) + 2/(x+5)(x+7) 2 计算3/(x+1)(x+4) + 3/(x+4)(x+7) + 3/(x+7)(x+10) 2假设3x-5/(x-3)(x+1)=A/x-3 + B/x+1，求A、B的值。 16.2.3 整数指数幂【学习目标】知道负整数指数幂a-n=1/an a0,n是正整数.掌握整数指数幂的运算性质.会用科学计数法表示小于1的数.【重点难点】 重点：掌握整数指数幂的运算性质；会用科学计数法表示小于1的数. 难点：负整数指数幂的性质的理解和应用.【导学指导】 阅读教材P18-P22相关内容，思

20、考讨论，合作交流后完成以下问题.1.回忆正整数指数幂的运算性质：(1)同底数的幂的乘法：(2)幂的乘方：(3)积的乘方：(4)同底数的幂的除法：(5)分式的乘方： 2.回忆0指数幂的规定： 3.探索负整数指数幂的运算性质：1仿照同底数幂的除法公式来计算：5255= 103107=(2)利用约分计算这两个式子： 5255=52/55=52/5253=1/53 103107=103/107=103/103104=1/104 由此，我们得到: 负整数指数幂的运算法那么：4.探索用科学计数法表示小于1的数：由：10-1=0.1；10-2= ；10-3= ；10-4= ；10-5= ；归纳：10-n=

21、0. 5.合作探究： 1、计算： 2、用科学计数法表示以下各数： 0000 04， -0. 034, 0.000 000 45, 0. 003 009 3、计算：(310-8) (4103) (210-3)2(10-3)3【课堂练习】 ：1-22= 2(-2)2= 3(-2) 0= 420= ( 52 -3= ( 6(-2) -3= ：(1) (x3y-2)2 =_ 2x2y-2 (x-2y)3 =_ (3)(3x2y-2) 2 (x-2y)3=_ (4)(5) (6)： 4.将以下各式写成只含有正整数指数幂的形式.12a-1-2bc-2 (2)2/3 (x-y)-3(y-z)2 (3)-5x

22、2(y-z)-2 (4)x2y3(x-1y)35.用科学计数法表示以下各数： 30.000054 4-0.000786 【拓展训练】-x=27，2/3y=9/4,5z+2=1求x,y,z的值。 2.比拟-2/3-3，-2/33，2/3-3的大小。请你化简下面的算式并求出S的值。S=1+2-1+2-2+2-3+2-2021 16.3 分式方程1【学习目标】1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的根本思路和解法.3.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法.【重点难点】 重点：解分式方程的根本思路和解法. 难点：理解解分式方程时可能无解的原因.【导学指导】 阅读教材P26-P

23、29相关内容，思考讨论，合作交流后完成以下问题.1.什么是分式方程？它与我们学过的整式方程有何不同？思考：以下方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ， ， ， ， ， ， ， 2.我们已经会解整式方程，对于我们今天新学的分式方程，我们能否把它转化成我们会解的整式方程来做呢？应该怎样转化呢？ 探究：如何解方程 3.在将分式方程变形为整式方程时，有时可能产生不适合原分式方程的解或根，为什 么会产生增根呢？ 用同样的方法尝试解方程： 4.试一试：例1.解方程： 例2.解方程：【课堂练习】教材P29练习题.指出以下方程中哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？12x/3 + x-1/2 = 6

24、(2) x 1/x = 2 (3)1/2x+1 1= 0 (4)1/2x - 1/3x= 53. 解以下方程： (1) 2 3 4 4.X为何值时，代数式的值等于2？【拓展训练】 = m/2-x无解，求m的值. 2x=3是方程x-1/k-2=1的解，求k的值. 3.阅读以下材料：关于x的方程x + 1/x=c + 1/c的解是x1=c,x2=1/c; x - 1/x=c - 1/c的解是x1=c,x2=-1/c;x + 2/x=c + 2/c的解是x1=c,x2=2/c;x + 3/x=c + 3/c的解是x1=c,x2=3/c; (1)请观察上述方程与解的特征，猜测关于x的方程x + m/x

25、=c + m/c的解是什么？并利用“方程的解的概念进行验证。2由上述的观察、比拟、猜测、验证可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可以直接得解。请利用这个结论，解关于x的方程：x + 2/x-1 = a + 2/a-1 16.3 分式方程2【学习目标】掌握含有字母系数的分式方程的解法.进一步了解分式方程产生增根的原因，理解分式方程假设有增根，那么增根一定是使分式方程的最简公分母为0时的未知数的值.能应用分式方程的解法进行简单的公式变形.【重点难点】 重点：含有字母系数的分式方程的解法. 难点：正确运用

26、题设条件解含有字母系数的分式方程.【导学指导】 复习旧知：什么叫分式方程？ 2.解方程： 1 23.解分式方程的一般步骤是什么？4.什么叫做分式方程的增根？为什么会产生增根？ 学习新知：从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？ 分析：这里的v,s表示数据，设提速前列车的平均速度为x千米/时，那么提速前 列车行驶s千米所用的时间为 小时，提速后列车的平均速度为 千米/ 时,提速后列车运行(s+50)千米所用的时间为 小时. 根据行驶时间的等量关系可以列出方程 . 这里，x是未知数，字母s,v是数，上

27、述方程是含有字母系数的分式方程.2如何解含有字母系数的分式方程呢？解分式方程:300/x =300 + 50/x+10 类似的，只把x当成未知数，s像300，v像10是数,我们可以解下面的含有字母系数的分式方程： s/x =s + 50/x+v【课堂练习】教材P32习题16.3第2题。照相机成像应用了一个重要的光学原理，即1/f =1/u + 1/v (fv).其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片像到镜头的距离.如果一架照相机f已固定，那么就要依靠调整u,v来使成像清晰，问在f,v的情况下，怎样确定物体到镜头的距离u?【拓展训练】 1.分式方程的增根是 . 2. 假设

28、关于的方程，有增根，那么的值是 3.当a为何值时，分式方程x/x-3 =2 + a/x-3会产生增根？ 4.当 时，关于的方程有增根. 16.3 分式方程3【学习目标】进一步熟练的解可化为一元一次方程的分式方程.能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.【重点难点】 重点：审明题意设未知数，列分式方程. 难点：在不同的实际问题中，设未知数列分式方程.【导学指导】 复习旧知：解分式方程的步骤是什么？列方程解应用题的步骤是什么？我们学过哪几种类型的应用题？每种类型的根本公式是什么？ (1)行程问题： (2)数字问题： (3)工程问题： (4)顺水逆水问题： (5)利润问题： 学习新知： 阅读

29、教材P29-P30相关内容，思考讨论，合作交流后完成以下问题. 例3:两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？1.引导分析：甲队一个月完成总工程的 1/3，设乙队如果单独施工1个月能完成总工程的1/X，那么甲队半个月完成总工程的 ，乙队半个月完成总工程的 ，两队半个月完成总工程的 .等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1解题过程为：2.看看它属于我们学过的哪种类型的应用题.与我们以前列的方程有什么异同？解题过程中有何考前须知？【课堂练习】1.教材P31练习第1、2题.2.轮船顺水航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 3.要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，恰好在规定的日期内完成，如果乙单独做，那么要超过规定日期3天才能完成，现甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成，问规定的日期是多少天？ 4.甲、乙两地相距