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文档简介

1、第三节一、直角坐标系下三重积分的计算 二、柱面坐标系下三重积分的计算三重积分的计算 第十二章 三、球面坐标系下三重积分的计算3. 变密度空间立体的质量计算设有空间立体 , 其密度为 = ( x , y , z ) ( = ( x , y , z ) 在 上连续 ) , 计算立体 的质量 m 1) “大化小”:将 划分成至多只有公共边界面的n个空间子区域 :则有当 充分小时 , 则 =( x , y , z ) 在 上近似于常数 ( 即近似于不变 )任取 , 则在 上当 时 , 2)“常代变”3)“近似和”4)“取极限”一、直角坐标系下三重积分的计算方法1 . 投影法 (“先单后重”)方法2 .

2、 截面法 (“先重后单”) 三次积分法 先假设连续函数 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各计算最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数 , 方法:该物体的质量为细长柱体微元的质量为记作A. 利用先单后重的方法计算三重积分（1）所以有(2)公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分同理对于区域可得以下先单后重公式:(3)对于区域(4)可得以下先单后重公式:根据区域 Dxz , Dyz 的情况 , 利用化二重积分为二次积分的方法 , 再将积分 (3) , (4) 化为三次积分解其中由三个坐标平面及平面 x + 2y + z = 1 所界 例计算积分往

3、 xy 平面上的投影区域Dxy 如图所示利用先单后重公式 (1)解其中由曲面例计算积分所界的立体往 xz 平面上的投影区域解例计算积分其中由 x + y + z = 1 及三个坐标面所界 B、用先重后单方法化三重积分为三次积分将往 z 轴上投影得投影区间：用平面 z = z ( z c , d , 取定 ) 截得截痕面 Dz , 则区间 z , z + dz 所对应的薄柱体微元的质量为:可以看到: 的质量就是 中所有这种薄柱体 微元质量的无限累积 , 利用微元法有从而得到以下先重后单公式其中 Dy 是 y = y b1 , b2 与的截痕区域 , b1 , b2 是在 y 轴上的投影区间类似地有其中 Dx 是 x = x a , b 与的截痕区域 , a , b 是在 x 轴上的投影区间例.计算三重积分解: 解例计算积分 ,其中是两个球的公共部分由采用先重后单方法计算解例改变三次积分的积分次序(1) 原积分 = 小结: 三重积分的计算方法方法1. “先单后重”方法2. “先重后

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