福建省“超级全能生”2022年数学高二第二学期期末调研试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷请考生注意：1请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用05毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2答题前，认真阅读答题纸上的注意事项，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：40,50), 50,60), 60,70), 70,80), 80,90), 90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图已知高一年级共有学生600名，据此估计，该

2、模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）A588B480C450D1202已知的展开式中含的项的系数为，则（ ）ABCD3设曲线在点处的切线方程为，则（ ）A1B2C3D44某家具厂的原材料费支出x（单位：万元）与销售量y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为，则为（ ）x24568y2535605575ABCD55已知函数.若不等式的解集中整数的个数为，则的取值范围是（ ）ABCD6已知定义在上的函数满足：函数的图象关于直线对称，且当成立(是函数的导函数), 若，, 则的大小关系是（ ）ABCD7同学聚会时，某宿舍的4位同学和班主任老师

3、排队合影留念，其中宿舍长必须和班主任相邻，则5人不同的排法种数为（ ）A48B56C60D1208在中，内角，所对的边分别为，.若，则的面积为（ ）A3BCD9已知正三棱锥的外接球的半径为，且满足则正三棱锥的体积为()ABCD10甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同现了解到以下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步；可以判断丙参加的比赛项目是（ ）A跑步比赛B跳远比赛C铅球比赛D无法判断11已知命题p：|x1|2，命题q：xZ，若“p且q”与“非q”同时为假命题，则

4、满足条件的x为（ ）Ax|x3或x1，xZ Bx|1x3， xZC0,1,2 D1,0,1,2,312设，则AB，CD，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知则的值为 14为调査某高校学生对“一带一路”政策的了解情况,现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本.其中大一年级抽取200人,大二年级抽取100人.若其他年级共有学生2000人,则该校学生总人数是_.15已知函数，若函数存在唯一零点，且，则实数a的取值范围是_.16直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数（1）当时，求函数的

5、单调区间；（2）若函数的值域为，求a的取值范围18（12分）已知函数.（）求曲线在点处的切线方程；（）求函数的极值.19（12分）设全体空间向量组成的集合为，为中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”.（1）设，若，求向量；（2）对于中的任意两个向量，证明：；（3）对于中的任意单位向量，求的最大值.20（12分）已知某条有轨电车运行时，发车时间间隔（单位：分钟）满足：，.经测算，电车载客量与发车时间间隔满足：，其中.（1）求，并说明的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求每分钟最大净收益.21

6、（12分）如图，是正方形，是该正方体的中心，是平面外一点，平面，是的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.22（10分）已知件产品中有件是次品.(1)任意取出件产品作检验，求其中至少有件是次品的概率；(2)为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取几件产品作检验？参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）10=0.8，对应的学生人数是6000.8=480考点：频率分布直方图2、D【解析】根据所给的二项式，利

7、用二项展开式的通项公式写出第项，整理成最简形式，令的指数为，求得，再代入系数求出结果【详解】二项展开式通项为，令，得，由题意得，解得.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具3、D【解析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为，且在点处的切线的斜率为3，所以，即.故选：D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题4、C【解析】由给定的表格可知，代入，可得【详解】解：由给定的表格可知，代入，可得故选：【点睛】本题考查线性回归方程，考查学生的计算能力，属于基础题

8、5、D【解析】对进行变形，得到，令，即的整数个数为3，再由的函数图像和的函数图像，写出限制条件，得到答案【详解】，即设，其中时，时，即符合要求，所以时，单调递减，单调递增，为极小值.有三个整数解，则还有一个整数解为或者是当解集包含时，时，所以需要满足即，解得当解集包含时，需要满足即整理得，而，所以无解集，即该情况不成立.综上所述，由得，的范围为故选D项.【点睛】利用导数研究函数图像，两个函数图像的位置关系与解析式大小之间的关系，数形结合的数学思想，题目较综合，考查内容比较多，属于难题.6、A【解析】由导数性质推导出当x（，0）或x（0，+）时，函数y=xf（x）单调递减由此能求出结果【详解】

9、函数的图象关于直线对称，关于轴对称， 函数为奇函数.因为， 当时，函数单调递减， 当时，函数单调递减. ， ， ，故选A【点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造， 构造， 构造， 构造等7、A【解析】采用捆绑法，然后全排列【详解】宿舍长必须和班主任相邻则有种可能，然后运用捆绑法，将其看成一个整体，然后全排列，故一共有种不同的排法故选【点睛】本题考查了排列中的位置问题，运用捆绑法来解答即可，较为基础8、C【解析】通过余弦定理可得C角，再通过面积公式即得答案.【详解】根据余弦定理，对比，可知，于是，根据面积公式

10、得，故答案为C.【点睛】本题主要考查余弦定理和面积公式的运用，比较基础.9、A【解析】根据判断出为等边三角形的中心，由此求得正三棱锥的底面积和高，进而求得正三棱锥的体积.【详解】由于三棱锥是正三棱锥，顶点在底面的射影是底面中心.由可知，为等边三角形的中心，由于正三棱锥的外接球的半径为，故由正弦定理得，且正三棱锥的高为球的半径，故正三棱锥的体积为.所以本小题选A.【点睛】本小题主要考查正三棱锥的几何性质，考查向量加法运算，考查几何体外接球有关问题的求解，属于中档题.10、A【解析】分析：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲

11、是最矮的，参加了跳远，即可得出结论.详解：由（1），（3），（4）可知，乙参加了铅球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，所以丙最高，参加了跑步比赛.故选：A.点睛：本题考查合情推理，考查学生分析解决问题的能力.11、C【解析】试题分析：由题意知q真，p假，|x1|11x3且xZx0,1,1选C考点：命题否定12、A【解析】利用一元二次不等式的解法以及对数函数的单调性，求出集合，然后进行交集的运算即可。【详解】，；，故选【点睛】本题主要考查区间表示集合的定义，一元二次不等式的解法，对数函数的定义域及单调性，以及交集的运算二、填空题：本题共4小

12、题，每小题5分，共20分。13、【解析】试题分析：,.考点：分段函数求值14、5000【解析】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，根据题意列出等式，即可求出该校学生总人数.【详解】由题意，其他年级抽取200人，其他年级共有学生2000人，则该校学生总人数为人，故答案是：5000.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，属于简单题目.15、【解析】利用分类讨论思想的应用和分类讨论思想的应用求出的取值范围【详解】解： 当时，由，解得或，在，上是增函数，且，所以在上有零点，由题意知，由故或，又 当时，解得有两个零点，不合

13、题意当时，增区间为，减区间为和且，当时，则由单调性及极值可知，有唯一零点，但零点大于0，当时，则有三个零点， 无论正负都不合适所以故答案为：.【点睛】本题考查函数导数的应用，利用函数的导数求函数的单调区间和最值，函数的零点和方程的根的关系式的的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型16、2【解析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长.【详解】根据题意，圆的方程可化为x2所以圆的圆心为(0,-1)，且半径是2，根据点到直线的距离公式

14、可以求得d=0+1+1结合圆中的特殊三角形，可知AB=24-2=22【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）增区间是，单调减区间是；（2）或【解析】（1）利用导数求出的单调区间以及，时的范围，即可得到函数的单调区间；（2）先利用有解求出的大致范围，再证明在该范围内即可。【详解】（1）当，所以，由于，可得当时，是减函数；当时，是增函数；因为当时，；当时，所以函数的单调增区间是，单调减区间是（2）由题意知必有解，

15、即有解，所以，即直线与曲线 有交点则，令得和；令得和所以和，为增函数；和，为减函数，当时，恒成立；所以时，；当时，所以时，；，即时， ，的图像如图所示直线与曲线有交点，即或，所以或，下证，先证，设，则，当时，函数h（x）单调递减，当时，函数单调递增，所以，即；当时，若，因为在时的值域是，又因为函数连续，所以：；当时，若，当时，时；所以时，又因为函数连续，所以，综上，或【点睛】本题考查导数在函数研究中的应用，综合性强，属于中档题。18、（）（）的极大值为，的极小值为【解析】分析：（1）先求导，再利用导数的几何意义求切线的斜率，再求曲线在点处的切线方程.(2)利用导数求函数的极值.详解：（），.故

16、切线的斜率，由直线的点斜式方程可得，化简得，所以切线方程为.（）由（），得.令，得或.当变化时，的变化情况如下表：1+0-0+极大值极小值综上，的极大值为，的极小值为.点睛：（1）本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法，考查利用导数求函数的极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程（注意和求交集），最后列表确定极值.19、（1）或；（2）见解析；（3）最大值为.【解析】分析：（1），设，代入运算得：，从而可得结果；（2）设，则利用“向量函数”的解析式化简，从而可得结果；（3）设与的夹角为，则，则，即最大值为.详解：

17、（1）依题意得：，设，代入运算得：或；（2）设，则从而得证；（3）设与的夹角为，则，则，故最大值为.点睛：新定义问题一般先考察对定义的理解，这时只需一一验证定义中各个条件即可.二是考查满足新定义的函数的简单应用，如在某些条件下，满足新定义的函数有某些新的性质，这也是在新环境下研究“旧”性质，此时需结合新函数的新性质，探究“旧”性质.三是考查综合分析能力，主要将新性质有机应用在“旧”性质，创造性证明更新的性质.20、（1），实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时，载客量为350；（2）间隔时间为5分钟时净收益最大，每分钟最大净收益为60元.【解析】（1）根据的解析式代入求得,其意义为某一时刻的

18、载客量.（2）将的解析式代入即可求得的解析式.根据基本不等式性质及函数单调性可求得收益的最大值及取得最大收益时的间隔发车时间.【详解】（1）因为所以的实际意义是当电车的发车时间间隔为5分钟时,载客量为 （2）根据,则将的解析式代入的解析式可得化简即可得当时, ,当且仅当时等号成立当时, ,当时等号成立综上可知,当发车时间间隔为时,线路每分钟的收益最大,最大为元.【点睛】本题考查了分段函数的应用,利用基本不等式及函数的单调性求最值,属于基础题.21、证明见解析【解析】试题分析：（1）要证与平面平行，而过的平面与平面的交线为，因此只要证即可，这可由中位线定理得证；（2）要证垂直于平面，就是要证与平面内两条相交直线垂直，正方形中对角线与是垂直的，因此只要再证，这由线面垂直的性质或定义可得试题解析：证明：（1）连接，四边形为正方形，为的中点，是的中点，是的中位线.，平面，平面，平面.（2）平面，平面，四边形是正方形，平面，平面，平面.考点：线面平行与线面垂直的判断22、任意取出件产品作检验，至少有件是次品的概率是；为了保证使件次品全部检验出的概率超过，最少应抽取9件产品作检验。【解析】（1）先求出任取3件的方法数，再求出任取的