2021-2022学年湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析

1、2021-2022高二下数学模拟试卷注意事项:1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2答题时请按要求用笔。3请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知函数是上的奇函数，且的图象关于对称，当时，则的值为ABC0D12已知函数的图象在点M(1,f(1)处的切线方

2、程是+2,则的值等于( )A0B1CD33已知曲线C：y，曲线C关于y轴的对称曲线C的方程是（）AyByCyDy4一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，若，则该班数学成绩的及格（成绩达到分为及格）率可估计为（ ）ABCD5设集合U=x1x10,xZ，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A2,4,6,7B2,4,5,9C2,4,6,8D2,4,6,6某校组织最强大脑赛，最终、两队讲入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名洗手，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分.假设每局比赛队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时队的得分高于队的得分

3、的概率为（）ABCD7若函数的定义域为，则的取值范围为（ ）ABCD8已知集合，则（ ）ABCD9使得的展开式中含有常数项的最小的n为( )ABCD10在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）ABCD11的展开式中的系数为（ ）A5B10C20D3012已知函数，如果函数在定义域为(0,+)只有一个极值点，则实数的取值范围是ABCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知函数，则_14已知随机变量服从正态分布，则 15在二项展开式中，常数项是_.16已知向量，且与共线，则的值为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）甲，乙两人进行射击比

4、赛，各射击局，每局射击次，射击中目标得分，未命中目标得分，两人局的得分情况如下：甲乙（1）若从甲的局比赛中，随机选取局，求这局的得分恰好相等的概率；（2）从甲，乙两人的局比赛中随机各选取局，记这局的得分和为，求的分布列和数学期望18（12分）设数列的前项和为，且满足.（1）求;（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明19（12分）在各项均为正数的数列中，且.(1)当时，求的值；(2)求证:当时，.20（12分） “学习强国”APP是由中宣部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大终端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成为了

5、党员干部群众学习的“新助手”.为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表所示：分数频数601002020频率0.30.50.10.1（1）由频率分布表可以认为，这名党员这两天在“学习强国”上的得分近似服从正态分布，其中近似为这名党员得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），近似这名党员得分的方差，求；（2）以频率估计概率，若从该地区所有党员中随机抽取人，记抽得这两天在“学习强国”上的得分不低于分的人数为，求的分布列与数学期望.参考数据：，若，则，21（12分）已知函数（1）若函数在x=

6、3处有极大值，求c的值；（2）若函数在区间（1，3）上单调递增，求c的取值范围22（10分）在直角坐标系中，曲线（为参数，），曲线（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：，记曲线与的交点为.（）求点的直角坐标；（）当曲线与有且只有一个公共点时，与相较于两点，求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】先根据函数的图象关于对称且是上的奇函数，可求出函数的最小正周期，再由时，即可求出结果.【详解】根据题意，函数的图象关于对称，则，又由函数是上的奇函数，则，则有，变形可得，即

7、函数是周期为4的周期函数，则，又由函数是上的奇函数，则，故.故选C【点睛】本题主要考查函数的基本性质，周期性、奇偶性、对称性等，熟记相关性质即可求解，属于常考题型.2、D【解析】根据导数定义，求得的值；根据点在切线方程上，求得的值，进而求得的值。【详解】点M(1,f(1)在切线上，所以 根据导数几何意义，所以 所以 所以选D【点睛】本题考查了导数的几何意义及点在曲线上的意义，属于基础题。3、A【解析】设所求曲线上任意一点，由关于直线的对称的点在已知曲线上，然后代入已知曲线，即可求解【详解】设所求曲线上任意一点，则关于直线的对称的点在已知曲线，所以，故选A【点睛】本题主要考查了已知曲线关于直线的

8、对称的曲线方程的求解，其步骤是：在所求曲线上任取一点，求得其关于直线的对称点，代入已知曲线求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题4、B【解析】由题意得出正态密度曲线关于直线对称，由正态密度曲线的对称性得知所求概率为可得出结果.【详解】由题意，得，又，所以，故选B.【点睛】本题考查正态分布在指定区间上概率的计算，解题时要充分利用正态密度曲线的对称性转化为已知区间的概率来计算，考查运算求解能力，属于中等题.5、D【解析】先求出CUA,再求【详解】由题得CU所以UAB故选：D【点睛】本题主要考查补集和交集的运算，意在考查学生对这种知识的理解掌握水平，属于基础题.6、C【解析】先将队

9、得分高于队得分的情况列举出来，然后进行概率计算.【详解】比赛结束时队的得分高于队的得分可分为以下种情况：第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；第一局：队赢，第二局：队赢，第三局：队赢；则对应概率为：，故选：C.【点睛】本题考查独立事件的概率计算，难度较易.求解相应事件的概率，如果事件不符合特殊事件形式，可从“分类加法”的角度去看事件，然后再将结果相加.7、C【解析】分析：由题得恒成立，再解这个恒成立问题即得解.详解：由题得恒成立，a=0时，不等式恒成立.a0时，由题得综合得故答案为C.点睛：（1）本题主要考查函数的定义域和二次不等式的恒成立问题，意

10、在考查学生对这些知识的掌握水平和分析转化能力数形结合思想方法.（2）解答本题恒成立时，一定要讨论a=0的情况,因为不一定时一元二次不等式.8、A【解析】分析：根据题意，求得集合，再利用集合的运算，即可求解详解：由题意，所以，故选A点睛：本题主要考查了集合的运算问题，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力9、B【解析】二项式展开式的通项公式为，若展开式中有常数项，则，解得，当r取2时，n的最小值为5，故选B【考点定位】本题考查二项式定理的应用10、C【解析】先判断函数在上单调递增，由,利用零点存在定理可得结果.【详解】因为函数在上连续单调递增，且,所以函数的零点在区间内，故选C.

11、【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.11、D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得的系数.【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有的为，故展开式中的系数为，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.12、C【解析】分析：求函数的导函数，并化简整理，结合函数在定义域为(0,+)只有一个极值点进行讨论即可.详解：函数的定义域为(0,+) 当时，恒成立，令，则，即在上单调递增，在上单调递减，则在处取得极小值，符合题

12、意；当时，时，又函数在定义域为(0,+)只有一个极值点，在处取得极值.从而或恒成立，构造函数，设与相切的切点为，则切线方程为，因为切线过原点，则，解得，则切点为此时.由图可知：要使恒成立，则.综上所述：.故选：C.点睛：导函数的零点并不一定就是原函数的极值点所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是原函数的极值点二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、26【解析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】由函数的解析式可得：，则.【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应从内到外依

13、次求值(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围14、0.16 【解析】试题分析：因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴为.由及正态分布的性质，考点：正态分布及其性质.15、60【解析】首先写出二项展开式的通项公式，并求指定项的值，代入求常数项.【详解】展开式的通项公式是，当时， .故答案为：60【点睛】本题考查二项展开式的指定项，意在考查公式的熟练掌握，属于基础题型.16、2【解析】先求得，然后根据两个向量共线列方程，解方程求得的值，进而求得的值.【详解】依题意，

14、由于与共线，故，解得，故.【点睛】本小题主要考查平面向量减法的坐标运算，考查两个平面向量平行的坐标表示，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）分布列见解析，【解析】（1）求出基本事件总数，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数.由此能求出这2局的得分恰好相等的概率；（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望.【详解】解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，基本事件总数，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数.这2局的得分恰好相等的概率；（2）甲，乙两人的4局比赛中

15、随机各选取1局，记这2局的得分和为X，则X的可能取值为13，15，16，18，X的分布列为：X的数学期望为.【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题.18、（1），；（2），证明见解析【解析】（1）先求得的值，利用求得的表达式，由此求得的值.（2）根据（1）猜想，用数学归纳法证明数列的体积公式为.【详解】（1） 且于是 从而可以得到，猜想通项公式 （2）下面用数学归纳法证明.当时，满足通项公式； 假设当时，命题成立，即 由（1）知即证当时命题成立； 由可证成立.【点睛】本小题主要考查已知求，考查数学归纳法证明与数列

16、的通项公式.19、 (1) ；(2)证明见解析.【解析】（1）推导出，解得，从而，由此能求出的值；（2）利用分析法，只需证，只需证，只需证，根据基本不等式即可得到结果【详解】(1) ，解得，同理解得 即； (2) 要证 时，只需证，只需证，只需证，只需证，只需证， 根据基本不等式得，所以原不等式成立【点睛】本题考查实数值的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20、（1）；（2）见解析【解析】（1）利用分数统计表求得和；又，根据正态分布曲线可求得结果；（2）计算出从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率，可知服从于二项分布，利用二项分布概率公式

17、求解出每个可能的取值对应的概率，从而得到分布列；再利用二项分布数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）由题意得：（2）从该地区所有党员中随机抽取人，抽得的人得分不低于分的概率为：由题意得，的可能取值为，且；的分布列为：【点睛】本题考查正态分布中的概率求解问题、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够确定服从于二项分布，属于常规题型.21、 (1) c=3或c=1 (2) 【解析】（1）求出函数的导数，根据函数的极值点，求出c的值，检验即可；（2）根据函数的单调性得到关于c的不等式组，解出即可【详解】（1），在处有极大值，解得：c=3或1，当c=3时，或时，递增，时，递减，在处有极大值，符合题意；当时，或时，递增，时，递减，在处有极大值，符合题意，综上，c=3或c=1；