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1、2.1.5条件数与方程组的性态 其准确解系数矩阵以及右端项发生微小的变化其准确解方程组的解发生非常大的变化 定义 如果线性方程组Ax=b中,A或b的元素的微小变化,就会引起方程组解的巨大变化,则称方程组为“病态”方程组,矩阵A称为“病态”矩阵否则称方程组为“良态”方程组,矩阵A称为“良态”矩阵。 我们需要一种能刻画矩阵和方程组“病态”程度的量。 求解 时,A 和 的误差对解 有何影响?设 A 精确, 有误差 ,得到的解为 ,即绝对误差放大因子又相对误差放大因子相对误差常用的条件数为 分别称为矩阵A的-条件数、1-条件数和2-条件数为矩阵的算子范数, 定义设A为非奇异矩阵, 则称 为矩阵A的条件
2、数。矩阵的条件数具有如下的性质:(1)(2)(3),(4)如果 U 为酉矩阵,则 越大,解的相对误差可能越大,A对求解线性方程组来说就越可能呈现病态但多大A算病态,通常没有具体的定量标准;反之,越小,解的相对误差越小,呈现良态下面给出与条件数有关的定理. 定理2.5 设 Ax = b,A为非奇异矩阵,b为非零向量且 A 和b均有扰动 ,则 使得 非常小,若A的扰动定理2 设Ax=b,A为非奇异矩阵,b为非零向量,则方程组近似解 的事后估计式为 其中称 为近似解 的余量,简称余量。 定理2 设Ax=b,A为非奇异矩阵,b为非零向量,则方程组近似解 的事后估计式为 定理2 设Ax=b,A为非奇异矩
3、阵,b为非零向量,则方程组近似解 的事后估计式为 2.1.6矩阵的QR分解 Gauss消去过程实际上是用一系列具有特定结构的单位下三角矩阵将A逐步上三角化的过程由矩阵的条件数定义可以看出,正交矩阵是性态最好的矩阵,如果我们能用正交矩阵代替Gauss消去过程中的单位下三角矩阵,即 =则 ,计算知 ,因此变换后所得的矩阵U的条件数不变,故该计算过程具有数值稳定性 在线性代数中,曾证明了若方阵 且 ,则存在正交阵Q 和对角元都大于零的上三角阵R,使得 , 而且对任意非零向量 ,必有正交阵Q 使 如果 使用同样的方法可以证明(即将A分解成) 其中 为对角元大于零的上三角阵上式称为矩阵A的 分解由于 ,
4、因此这种分解的实现在矩阵计算中是非常重要的 为实现矩阵一般的 分解,我们引入Householder矩阵 定义2.4 设 ,称初等矩阵为Householder矩阵(简称H阵),或称Householder变换矩阵 Householder矩阵具有如下性质: (1) ,即H为对称阵;(2) ,即H为正交阵;(3)如果 ,则 ;(5)设 且 ,取 ,则(4)性质3亦称镜面反射变换,其几何意义如下:例 求将向量x=(3, 4)T映射成为y=(5, 0)T的正交变换阵H。解:取=x-x2e1 =(-2, 4)T ,则H() =例 利用Householder变换求A的QR分解,其中解 将A按列分块为其中取,则,令其中,取 令则令从而
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