数学课程思政的探索与实践

1、数学课程思政的探索与实践摘要：思想政治教育在高校立德树人过程中占据着重要地位。微分几何是一门具有重 要理论研究价值和应用价值的数学专业课程。本文主要分享了在全方位育人导向下，将思想 政治教育元素融入微分几何课程教学过程的探索和实践。关键词：课程思政；立德树人；微分几何；教学方法、引言高校肩负着培养社会主义事业接班人的重 要使命。在专业课程中践行课程思政，是每位 大学教师都应该思考的问题。教师应明白，教 书育人的目的在于“知识传播、能力培养、价 值塑造”。知识传播是教学的应有之义，考验 了教师的专业知识水平；而能力培养、价值塑 造则属于课程思政的范畴，需要教师在本专业 知识的基础上进一步深入思考

2、并发掘。这对教 师的综合教学能力提出了更高的要求。笔者自2016年以来一直为数学系本科学生 讲授微分几何课程。该课程内容属于数学中具 有悠久历史和丰富内容的一门分支一几何学， 除了具有重要的基础理论研究价值，在工程建 设、工业设计以及计算机图像处理等方面均有 着广泛的应用。在教学实践中，笔者初步探索 了将思想政治教育元素引入课堂教学的方法和 路径，希望在传授学生理论知识的同时，提升 学生分析问题、解决问题的能力，培养学生独 立思考、敢于质疑、不畏困难的科研精神，陶 冶学生的情操，进而帮助学生树立并完善正确 的人生观、世界观和价值观。二、课程思政的教学内容要开展好课程思政工作，首先需要发掘课 程

3、中的思政元素。下面以微分几何为例，重点 阐述一系列课程思政的教学内容。需要强调的 是，同一个内容或知识点可以发掘出不同的思 政元素，同一个思政元素也可能蕴含于不同的 内容或知识点（见表1）。建立马克思主义哲学的世界观和方法论（1）实践论：从实践中来，到实践中去。 几何学（Geometry）是数学中一门具有悠久历 史的分支。早在2000多年前，古希腊数学家欧 几里得著成了流传至今的数学经典几何原本， 系统讲述了 “数”与“形”。其中，“形”的 内容就是如今的欧几里得几何。几何学源于人 类在认识世界过程中对测量（如长度、面积、 夹角）的需求，其英文词根“geo-”和“-metry” 分别来源于古希

4、腊语中的“大地”和“测量”。 人们在生产生活实践中产生了测量的问题和需 求，而后进行归纳抽象，将其转化为数学语言， 再通过逻辑推理得到各种定理，最后将定理运 用到实践中去，在实践中得到验证。（2）认识论：事物发展的螺旋式。列宁指 出：“人的认识不是直线（也就是说，不是沿 着直线进行的），而是无限地近似于一串圆圈、 近似于螺旋式的曲线。”1人类对数学的认识、 数学学科的发展也是如此。到目前为止，人类 在数学上经历了三次数学危机，每经历一次，思政元素课程内容所属章节实践论：从实践中来，到实践中去几何学的起源思政元素课程内容所属章节实践论：从实践中来，到实践中去几何学的起源绪论认识论：事物发展的螺旋

5、式几何学的发展绪论现象和本质的辩证统一半径和曲率的关系 球面不能展为平面 变换群与几何学的对应平面曲线曲率 曲面的等距变换 绪论整体和部分的辩证统一圆柱面和莫比乌斯带 环面和克莱因瓶曲面的定义和例子绝对与相对的辩证统一张量分量随基底的变化 曲面上曲线曲率的分解曲面的基本形式 法曲率/测地曲率表1微分几何课程思政元素与课程内容的关联（3）现象和本质的辩证统一。任何现象都 是本质的某种表现，任何本质都要通过某些现 象表现出来。现象是表面的、具体的、易感知的， 如人们能直观感受到半径越大的圆周越平坦、 球面如果不允许拉伸等操作是不能展为平面的。 本质则是隐藏在事物内部的、相对稳定的、具 有一般性的根

6、本属性，往往只能依靠抽象思维 来把握，这正是数学尤其是几何学的特点。我 们通过引入曲率这一几何不变量，可以定量地 反映光滑曲线在某一点处弯曲程度；通过证明 “能够建立局部等距的两个曲面其Gauss曲率 在对应点处相等”，反证球面和平面不能局部 等距，从而解释为什么不能制作出一张“完美” 的平面世界地图。马克思在资本论中写道：“如果事物的 表现形式和事物的本质会直接合而为一，一切 科学就都成为多余的了。因此，我们需要透 过现象去认识本质，这在人们对几何学本身的认 识上有着直接的体现。到19世纪后期，除了古 老的欧几里得几何，仿射几何、射影几何已得到 发展，非欧几何（椭圆几何、双曲几何）也已诞 生

7、。德国数学家菲利克斯克莱因于1872年发 表了著名的埃尔朗根纲领，将这些形形色色的几 何学统一了起来。该纲领的核心思想是，将不同 的变换群和不同的几何学对应起来，各种几何学 主要研究的就是几何对象在群作用下的不变量。 这让我们加深了对几何学本质的认识。（4）整体和部分的辩证统一。在讲解曲面 的定义时，我们先后给出曲面的局部定义和整 体定义，指出可以将局部的曲面片“拼接”为 整体曲面，也可以将整体曲面化为部分的曲面 片。另一方面，通过对比圆柱面和莫比乌斯带、 环面和克莱因瓶等例子可以看出，即使部分（局 部）一样，形成的整体也可能不同。一般来说 曲面的局部性质不能完全刻画整体性质。（5）绝对与相对

8、的辩证统一。在讲解曲面 的第一、第二基本形式时，我们强调，当曲面 参数发生变化时，其作为二阶对称张量，在自 然基底下的分量会相应变化，但带上基底之后 整体是不变的。分量是相对的，依赖于参数选 取；但第一、第二基本形式是绝对的，不随参 数选取的变化而变化。在计算曲面上曲线的曲率时，我们通过将 曲线的曲率向量分解为沿曲面的切向和法向部 分，分别引出（内蕴的）测地曲率和（外蕴的） 法曲率两个概念。曲线的曲率反映了曲线本身 的绝对弯曲程度，而测地曲率和法曲率分别反 映了曲线相对于曲面的弯曲程度和曲面相对于 三维欧氏空间的弯曲程度。严格来说，曲线本 身的绝对弯曲程度其实是曲线相对于三维欧氏 空间的弯曲程

9、度。锻炼优秀品质，陶冶高尚情操，塑造健 全人格我们希望学生在本门课程中除了学习专业 知识外，还能够跳出知识本身，发现具有普适 性的、能够全面提升自己的教育元素（见表2）。（1）能力培养。数学学科的一个重要特点， 就是把具体事物抽象为数学语言。在本门课程 中，我们可以通过介绍曲线、曲面的具体例子 及其严格的数学定义等内容，培养学生提取事 物共性的抽象思维能力。数学研究的另一个重要特点，就是通过严 密的推导得到重要结论。我们通过如曲线论基 本定理、全脐点曲面分类定理、Gauss绝妙定理、表2品质、情操培养与课程内容培养目标具体能力、品质、情操课程内容能力培养抽象思维能力各种定义和例子逻辑推理能力各

10、种定理的证明计算能力各种几何量的计算理论联系实际能力曲率和转弯半径、单叶双曲面与建筑品质锻炼科学质疑精神欧几里得平行公设与非欧几何的诞生严谨求实精神基础概念、严格证明推导、复杂计算刻苦钻研精神著名几何学家为学之道情操陶冶爱国奉献精神我国著名几何学家事迹数学之美、数学之用与价值判断各种几何形体与建筑、Gauss绝妙定理、相对论时空等Gauss-Bonnet定理等课程核心定理的证明，训 练学生的逻辑推理能力。几何课程涉及大量计算，有的计算还比较 复杂，比如Christoffel符号、Riemann曲率张 量的计算。我们通过课上例题和课后习题，训 练学生的计算能力。微分几何同实际生产生活有着紧密的联

11、系。 我们适当介绍相关内容，如建筑设计、地理测 量等，培养学生理论联系实际的能力。（2）品质锻炼。中国有句古话：“尽信书 不如无书”（孟子尽心下）。在科学研 究中，质疑精神是科学发展的推动力。如果没 有质疑精神，就会故步自封，不可能取得进步。 以几何学为例，如果没有人们对欧几里得第五 公设（平行公设）的持续质疑，就不可能由高 斯（17771855）、黎曼（18261866）、罗 巴切夫斯基（17921856）等人开创的非欧几 何学。这里说的质疑，是建立在科学基础之上的 合理质疑，而非毫无科学依据地怀疑一切。在 提出质疑之后，我们应当通过科学的研究方法， 验证或推翻某个命题。这一切都要经过严格的

12、 训练，因此我们需要通过前面提到的基础概念、 证明、计算，培养学生严谨求实的作风。数学专业课的一大特点是抽象，相较其他 专业课程更难学、更枯燥。教师除了通过改善 讲课语言风格、适当增加互动性等方式引导学 生，还应该要求学生克服拈轻怕重的畏难情绪， 迎难而上，勇攀高峰。只有经过“山重水复疑 无路”的迷茫，才能体会“柳暗花明又一村” 的欣喜。教师可以结合课程内容，适当介绍著 名数学家特别是华人几何学家陈省身先生、丘 成桐先生的为学之道来激励学生。（3）情操陶冶。除了为学之道，值得学生 学习的还有数学大师们致力于中国数学发展、 培养本土人才的故土情结和爱国奉献精神，这 是陶冶学生情操、培养学生正确价

13、值观的重要 一环。在数学类课程教学中，很多学生会问老师 “这个有什么用、那个有什么用”。诚然，数 学之用在生产生活各个方面都有体现，关键是 要引导学生去发现。另外，学生提出的有用”， 很多时候是从一种略带功利主义色彩的实用性、 技术性角度去考虑，这在工科学生中体现得尤 为明显。教师需要引导学生思考的是，如果某 个数学真的“无用”，是否就不值得花时间学习？数学源于生活，但很多时候，数学是超前 于生活的。我们看待事物，不应该只看短期利 益，而要把目光放长远，不能以短期的“无用” 判断长远的“有用”，即使这个“有用”可能 几代人都见不到。以几何学为例，古希腊几何 学家阿波罗尼乌斯(公元前262年一公

14、元前190 年)就已著成圆锥曲线论，但1000多年后 德国天文学家开普勒(15711630)才提出包 含“行星绕太阳运动轨道是椭圆”在内的行星 运动三定律，揭示了圆锥曲线在天文学上的运 用。1854年黎曼为申请哥廷根大学职位而做的 开创性演讲“论作为几何学基础的假设”，被 视为黎曼几何学的开山之作。尽管黎曼几何纯 粹基于数学提出，但几十年后在广义相对论中 却得到了极其重要的应用。即使人们具备了 “风物长宜放眼量”的思 考方式，很多时候也不具备洞见某种东西长远 是否有用”的能力。那么，就需要在当下从 其他方面重新审视“有用”和“无用”。如果 仅从工程技术的实用性出发，哲学、文学、艺术、 法律等学

15、科都是无用的，但它们都是人类文明 的重要组成部分，一旦缺失将会带来非常可怕 的后果。俄国唯物主义哲学家、文学评论家车 尔尼雪夫斯基(18281889)说：“科学书籍 让人免于愚昧，而文艺作品则使人摆脱粗鄙； 对真正的教育和对人们的幸福来说，二者同样 的有益和必要。”英国著名数学家哈代(1877 1947)在一个数学家的辩白中写道：用 实践的标准来衡量，我的数学生涯的价值是零； 而在数学之外，我的一生无论如何都是平凡 的。” 3数学就像科学中的艺术，即使真的没 有“实用”价值，人们也可以学会从纯粹美学 角度去欣赏数学。大道至简，好的数学定理有 一种简洁之美，能用最简单的语言描述最深刻 的道理，如

16、高斯绝妙定理、Gauss-Bonnet定理， 这些简洁而深刻的定理无不体现着人类智慧的 结晶。即使从纯粹的美学角度，也是值得人们 花时间去学习的。此外，“他山之石，可以攻玉”。 理工科学生在保证学业的前提下，应该尽可能 涉猎哲学、文学、艺术、法律等人文学科知识， 这无论对提升专业学问水平、还是塑造健全人 格都具有促进作用。丘成桐先生在多个公开演 讲中提到，文学艺术和感情培养在其科研历程 中起到了重要作用4o三、课程思政的教学方法对课程思政来说，发掘出课程的思政元素 仅仅是准备工作，更重要的是在教学过程中将其 传递给学生。为了更好地将思政元素与专业知识 相结合，教师需要进一步优化教学内容、创新教

17、 学方法和改革教学模式。笔者认为，将思政元素 融入教学过程要自然，要水到渠成地娓娓道来， 不要高高在上地强行说教，更不能为了思政而思 政，强行将风马牛不相及的内容拉到一起。下面笔者分享一些微分几何课程思政的教 学设计，并具体阐述各种教学方法(见表3)。 需要指出的是，表中的教学方法应根据不同授 课内容或知识点灵活运用，并非一成不变。对 同一知识点，还可以综合运用不同的教学方法 讲授，融入不同思政元素。适当调整教材内容次序现行数学教材内容大多按照“定义一例子， 定理一证明”顺序编排，是一种演绎的方法， 与科学探索中“从实践到认识、从具体到抽象” 的归纳方法相反。我们在具体授课过程中不能 照本宣科

18、，而是要尽量还原科学探索的本来顺 序，从具体问题和例子入手，引导学生探索其 共性特征和本质，从而归纳提取出抽象定义与 重要结论。例如，在引入Gauss曲率和平均曲 率时，我们通过探索Weingarten变换在不同 参数下的矩阵表示是相似矩阵，得到矩阵的特 征值是不同参数下的不变量，进而自然地引出教学方法教学目的教学内容适当调整教材内容次序教学方法教学目的教学内容适当调整教材内容次序符合“实践一认识一实践”认识过程Gauss曲率和平均曲率的引入用简单例子帮助学生理解新内容培养学生联想和类比思维法曲率和测地曲率的相对性曲面第一、第二基本形式及其分量变 化合理设计证明过程培养学生“大胆假设、小心求证

19、”的 科研精神培养学生严谨的数学思维，加深学生对 某些易错知识点的印象全脐点曲面局部分类定理的证明注重不同学科关联拓展学生视野，引导学生思考球面的球极投影参数化 自伴算子与Rayleigh商课堂适当“留白”，增加思考题和课 外阅读内容培养学生自主学习和探索能力 陶冶学生情操，增强专业认同感课前和课中预留思考题，课外推荐科 普视频推荐著名数学家传记及公开演讲适时引用经典和名人名言自然融入思政元素 拓展学生视野 增强文化自信 提升学生兴趣（见下文具体阐述）表3课程思政教学设计举例用简单例子帮助学生理解内容为了达到更好的教学效果，教师可以也应 该通过简单的、直观的、较为熟悉的概念，帮 助学生理解一些

20、专业的、抽象的、初次接触的 概念。例如，为帮助学生理解曲面上曲线的弯 曲程度由曲线相对于曲面的弯曲程度（测地曲 率）和曲面相对于三维欧氏空间的弯曲程度（法 曲率）叠加而成，我们举了 “人在汽车上转动 90度和车头相对地面转90度，从而人相对地面 转180度”的例子作为类比。合理设计证明过程科学探索的一个基本步骤是“大胆猜测、 小心求证”。求证好比是一个探路并到达终点 的过程，我们需要先有一个大致方向（思路）， 然后再设定几个途经点（分解步骤），通过寻 找能够到达下一个途经点的方法（补充完善细 节），完成最终的证明。另外，在很多情况下， 求证过程不可能一蹴而就，需要经历一次或多 次试错，找到“此

21、路不通”的根源，进而打通 道路或者另寻他路。以讲授全脐点曲面的（局 部）分类定理为例，我们先有平面和球面作为 例子，然后“大胆猜测”全脐点曲面仅有这两种， 进而“小心求证”。但在证明过程中，我们没 有按照正常的证明顺序，而是跳过了学生最容 易忽略的地方，先给出一个有漏洞”的证明， 然后引导学生发现并补全漏洞，从而完成整个 定理的证明。这种故意留错、让学生寻找的教 学设计，有助于加深学生对某些易错知识点的 印象，培养学生严密的逻辑思维能力。注重不同学科关联我们在讲授过程中除了反复提到所用的微 积分、线性代数知识作为研究几何的工具外，还 注重与数学其他分支、其他学科之间乃至实际生 产生活的联系。一个典型例子是，球面的球极投 影参数化可以和拓扑学中的单点紧致化定理、复 分析中的扩充复平面联系起来，同时指出其在制