弹性力学第二章 张量基础知识

1、弹性力学第二章 张量基础知识第1页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量2-1坐标系和矢量如图2.1，三维空间直角坐标系Oxyz,张量:简洁、统一、物理意义明确、与坐标系的选择无关P点坐标（x,y,z)P点坐标可记为：正方向的单位基矢量(2.1)第2页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量P点坐标为：(2.2)如图2.1,原点O到P点的矢量 为P点的矢径,用r表示第3页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量显然，指标 i, j, k

2、与求和无关，可用任意字母代替。为简化表达式，引入Einstein求和约定：每逢某个指标在一项中重复一次，就表示对该指标求和，指标取遍正数1，2，n。这样重复的指标称为哑标。于是n 表示空间的维数，以后无特别说明，我们总取n=3。例题A:求和约定、哑指标第4页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量双重求和展开式（9项）三重求和（27项）第5页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量是违约的，求和时要保留求和号B:自由指标例如指标 i 在方程的各项中只出现一次，称之为自由指标。一个自由指标每次

3、可取整数1,2,3, , n，与哑标一样，无特别说明总取n=3。于是，上式表示3个方程的缩写：第6页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量i 为自由指标，j 为哑标表示第7页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三i ，j为自由指标，k 为哑标表示9个方程：第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量第8页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三C: Kronecker delta符号在卡氏直角坐标系下，Kronecker delta 符号定义为：其中 i，j 为自由指标，取遍1，2，3；因此，可确定一单位矩阵：第二章

4、 张量基础知识2-1坐标系和矢量第9页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三若是相互垂直的单位矢量，则，但而，故第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量(2.3)的作用：1）换指标；2）选择求和。例：注意： 是一个数值，即第10页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三例例个数，项的和。求特别地，第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量第11页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量任意两矢量a和 b的点积矢量a的模(2.4)两矢量a和 b用正交基 表示,则其点积为第12页，共72页，2022年，5月20日，9点39

5、分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量D:置换符号 Permutation symboli, j, k为顺序排列i, j, k有两个相等例如：i, j, k为逆序排列(2.5)可见：也称为三维空间的排列符号。第13页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量任意两矢量a和 b的叉积由叉积定义,若是直角坐标系的单位基矢量则(2.6)(2.8a)(2.7)abab第14页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量式(2.8a)可写为(2.b)三矢量a,b,c的混合积(2.9)a,b,c为共

6、点棱的平行六面体的体积，a,b,c构成右手系为正第15页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量: Kronecker delta符号与置换符号 Permutation symbol的关系(2.10)证明 (1).i,j,k有两个相同时，上式成立，同理，l,m,n有两个相同时，上式也成立(2).不同时,由下式交换行(a)第16页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量(b)(3).同理,由(b)式交换列可得到(2.10)式从(2.10)式可得到下面几个有用的恒等式第17页，共72页，2022

7、年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量即(2.11)第18页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量(2.12)(2.13)二重叉积即(2.14)第19页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三F: 坐标变换旧坐标系：新旧基矢量夹角的方向余弦：单位基矢量：新坐标系：单位基矢量： 旧新第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量(2.15)第20页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量 新旧(2.16)变换系数第21页，共72页，2022年，5月20

8、日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-1坐标系和矢量即(2.17)任一矢量u在新旧坐标中表示一致利用(2.15)则即(2.18)矢量u本身与坐标无关,矢量的分量ui随坐标系而变第22页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-2张量的定义2-2张量的定义推广矢量的概念若在空间任一组基 下,有用n个指标编号的 个数当基矢量按 变换成 时, 个数 按如下规律变换张量的定义(2.19)为对应基下的张量分量,有时称 为n阶张量. 个数 的有序集合为一个n阶张量.称第23页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-2张量的定

9、义标量 零阶张量，不随坐标变换而变的不变量矢量 一阶张量，一个矢量的某一分量不是标量，它 随坐标系的变化而变化矢量的三种记法： 不变性记法如T；基矢量的线性组合法；用矢量分量表示即并矢记法。一个n阶张量的并矢记法：(2.20)n个基矢量并写在一起，称为基张量其有 基张量.第24页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-2张量的定义二阶张量T第25页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-2张量的定义 二阶的基张量共9个张量的另一个定义在某一坐标系中,某一个量T可表示成式(2.20)的形式,则T是一个n阶张量.(2.20

10、)第26页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-2张量的定义在一个坐标系中,某一张量的所有分量为零,按定义(2.19),则在其它坐标系中的所有分量也为零,这个张量为零张量,O例:证明 是一个三阶张量(置换张量)满足变换规律(2.19),即是一个三阶张量例: 和 是两个任意矢量, 是标量.证明 是一个二阶张量证:和 是任意的,得证二阶张量第27页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数2-3张量代数A:张量的线性组合同阶张量可进行线性组合运算,结果仍为同阶张量A,B是二阶张量,和是标量,则(2.21)交换律:

11、 A+B=B+A结合律: A+B+C=A+(B+C), ()A= (A)分配律: (+)A=A+ A(A+B)= A+ B第28页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数B:张量的缩并在张量的并矢记法中,对某两个基矢量进行点积,则原张量降低两阶成为一个新的张量,如(2.22)证明是二阶张量第29页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数C:张量的并积张量积 两个张量的并积(2.23)n阶张量A与p阶张量B的并积为C,则C定义为C是(n+p)阶张量一般情况下,第30页，共72页，2022年，5月20日

12、，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数D:张量的点积张量点积 两个张量的点积是先并再缩,如(2.24)双点积 两个张量的点积是先并再缩二次(2.25)第31页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数E:张量的叉积张量叉积是矢量叉积的推广,如(2.26)两个二阶张量的叉积第32页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数F:张量的商法则设有 个数 ,对任意q阶张量 ,按下式计算总得一个p阶张量,则 必为一个(p+q)阶张量证:为简单,取p=q=2因C,B为张量,故(a)(b)(c)第33

13、页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-3张量代数则四阶张量结论:设有 个数 ,对任意m阶张量 ,定义若为n+m阶张量,则 必为n阶张量第34页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量2-4二阶张量二阶张量T 仿射量,线性变换v,u为矢量,用矩阵表示则A,B为二阶张量则A:二阶张量的矩阵表示(2.27)(2.28)第35页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量B:二阶张量的行列式(2.29)二阶张量的行列式与坐标无关,是不变量.与单位矩阵I对应的张量叫单位张

14、量I单位张量I与除标量外的任意张量B的点积仍为B单位矩阵I(2.30)第36页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量C:二阶张量的逆与转置若T,对B有:TB=BT=I,则T可逆,B=T-1为逆张量充要条件:T的行列式不为零对定义B为A的转置张量转置张量的运算性质:A,B是二阶张量,u,v是任意矢量(2.31)(2.32)(2.33)第37页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量逆张量运算性质: A,B是二阶张量(2.35)(2.34)(2.36)(2.37)D:二阶张量的对称与反对称若则A是对称

15、二阶张量若即 则A是反对称二阶张量任意一个二阶张量T可表示成一个对称张量S和一个反对称张量W之和(2.38)(张量的加法分解)第38页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量(2.39)(2.40)对任一反对称张量W,必存在唯一一个矢量,使得(2.41)对任意矢量v成立因式(2.41)成立为对应于反对称张量W的轴向矢量.第39页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-4二阶张量(2.42)V任意,则上式乘enij ,则利用等式(2.12)即(2.43)上二式说明反对称张量和其轴向矢量是一一对应的(2.12)第

16、40页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示2-5对称二阶张量的谱表示某二阶对称张量S,若存在一个数和单位矢量a,使得(2.44a)成立,则为张量S的特征值(主值),a为张量S对应特征值的特征矢量(主方向).根据商法则, 为标量.单位矢量a(2.44b)(2.45)(2.46a)展开第41页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示其中(2.46b)(2.47)分别为S的第一、第二和第三不变量张量S的迹式(2.46)为S的特征方程上式展开与(2.46b)比较第42页，共72页

17、，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示(2.48)式(2.46)求出特征值，利用（2.45)和（2.44b)求出特征矢量特征值和特征矢量的性质1.互不相等的特征值对应的特征矢量相互垂直2.三个特征值都是实数证性质1.特征值对应特征矢量a和b(2.44a)第43页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示证性质2.是S的任一特征值，对应特征矢量a共轭复数为实数规定张量S的谱第44页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示谱定理：

18、设S是一个对称二阶张量,则必定存在由其特征矢量构成的一组单位正交基 ,和ei对应的特征值 构成S的谱,且有(2.49)反之,如果S具有(2.49)的形式,且e1、e2和e3是相互正交的单位矢量,则 和ei分别是S的特征值和对应的特征矢量证(1)，三个特征值互不相等， 对应的ei互相垂直以ei为基矢量，则第45页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示则谱分解式（2.49）成立(2),二个特征值相等,另一个不同，设取则是相互垂直的右手系解上两式得由(2.48),(2.47)第46页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第

19、二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示得则(2.50)由得e3也是对应于2的特征向量设则和e1垂直的任何方向都是S的对应于2的主方向.e2可取与e1垂直的任一单位矢量(3),三个特征值相等第47页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示(3),三个特征值相等取e1与1对应,取与e1垂直的e2,再取e3= e1e2则是相互垂直的右手系解得由(2.48),(2.47)解上两式得得显然(2.51)第48页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示即 都是S的特征矢量设任一矢量有

20、这表明任一方向都是S的主方向.任取三个相互垂直的单位矢量 作为基矢量,式(2.49)成立第49页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示重要结论：证:由n得基矢量(c)(d)由(c)和(d),去n1得设S是二阶对称张量, 是S的谱, 是和谱对应的三个相互正交的特征矢量,n是任意单位矢量,则函数 的最小值为 ,且 ,f(n)的最大值为 ,且 .第50页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-5对称二阶张量的谱表示(e)(f)由(e)得f取最大值由(f)得f取最小值由(c)和(d),去n3得第51页，

21、共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析2-6张量分析A:标量的矢量函数一个张量F依赖于另一张量T而变化矢量u是t的函数,ui也是t的函数,如ui可导,则矢量u对t的导数为:(2.53)(2.52b)第52页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析B:矢量的标量函数标量f是矢量u的函数即若f可连续偏导,则(2.54)f对u的导数是一个矢量(2.55)第53页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析C:矢量的矢量函数矢量u是矢量v的函数即若ui的偏导连续.

22、则(2.56a)(2.56b)(2.57)称为u对v的导数,是一个二阶张量第54页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析若标量f是二阶张量Tij的函数,即D:二阶张量的标量函数若f对二阶张量Tij的偏导连续,则(2.58)(2.59)f相对于T的导数,二阶张量第55页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析(2.60)若 是定义在空间区域的张量, 是一个张量场,则则 对坐标的一阶偏导数和二阶偏导数记为(二阶张量)则 的导数和微分记为(2.61)(2.62)第56页，共72页，2022年，5月20日

23、，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析E:梯度、散度和旋度Hamilton 算子(2.63)则 的导数和微分改写为(2.64)(2.65)右梯度同样定义左梯度(2.66)第57页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析显然(2.67)若 是一个标量(2.68)标量场的梯度若 是一个矢量是二个二阶张量，若 是一个二阶张量第58页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析若 是一个矢量，其div 散度定义为(2.69)矢量的散度为一标量场若 是一个二阶张量，其左右散度分别定义为二阶张量的左

24、右散度为矢量若 是一个二阶对称张量，第59页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析矢量u的旋度定义设u是矢量场,(2.70)是反对称张量则w的轴向矢量为第60页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-6张量分析Laplace算子(2.71)(2.72)对一个n阶张量对一个标量(2.73)若则是调和函数第61页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-7积分定理2-7积分定理在数学分析中,存在如下等式(2.74)式中,V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S

25、的外法线单位矢量, 是V中具有连续偏导的场函数例:矢量令(2.75)令上式的i=j,得高奥公式(2.76)第62页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-7积分定理例:二阶张量令(2.77)规律:面积分中的被积函数有因子ni,去掉ni,被积函数的其余部分对xi求偏导就得体积分中的被积分中函数例:(2.78)V表示空间的某一区域,S这一区域的表面,n=niei是S的外法线单位矢量, 是V中任意阶的光滑张量场“。”表示并积、点积、叉积等任何一种运算，则第63页，共72页，2022年，5月20日，9点39分，星期三第二章 张量基础知识2-7积分定理(2.79)(2.80)例:二阶张量令“。”取点积(2.79)为(2.77)直接记法以上积分对二维情况也成立定理是定义在区域V中的一个连续函数，D是V的任意一个子区域，下式成立的充要条件是第64页，共72页，2022年，