一维波动方程的达郎贝尔公式

1、第四章行波法一一维颠簸方程的达郎贝尔公式达郎贝尔公式在常微分方程的定解问题中，往常是先求方程的通解，而后利用定解条件确立通解所含的随意常数，进而获得定解问题的解。考虑无穷长弦的自由振动问题2ua22u,x,t0t2x2uu|t0(x),|t0(x)t作自变量的代换xatxat利用复合函数的微分法有：uauaut2u2(2u2u2u)t2a2222u2u22u2u同理有：x222将化为：2u0并将它两头对进行积分得：1uf0()此中f0()是的随意函数，再将此式对积分u(x,t)f0()df2()f1()f2()f1(xat)f2(xat)此中f1、f2是随意两次连线可微函数，式即为方程的含有两

2、个随意函数的通解。由初始条件可得：f1(x)f2(x)(x)af1(x)f2(x)(x)经过积分可得：u(x,t)1(xat)(xat)122aatat()d称此式为一维颠簸方程的达郎贝尔公式。解的物理意义因为颠簸方程的通解是两部分f1(xat)与f2(xat)。u2f2(xat)表示了以速度a向x轴正方向流传的行波，称为右行波。同理，u1f1(xat)表示了以速度a向x轴负方向流传的行波，称为左行波。由达郎贝尔公式，解在点(x,t)的值由初始条件在区间xat,xat内的值决定，称区间xat,xat为点(x,t)的依靠地区，在xt平面上，它可看作是过点(x,t)，斜率分2别1为的两条直线在x轴

3、上截得的区间。a这里要掌握半无穷长弦的自由振动问题和一维非齐次颠簸方程的柯西问题的解。半限长弦的自由振动问题定解问题2ua22u，t0,x0（4.8)t2x2u|x00(4.9)u|x0(x),u|t0(x)(4.10)t用延拓法求解，注意界限条件（4.9），采纳奇延拓。令(x)(x),x0(x),x0(x)(x),x0(x),x0考虑定解问题2ua22u，x,t0t2x2u|x0(x),u|t0(x)t它的解可由达郎贝尔公式得：11xatU(x,t)(xat)(xat)22axat()d。3一维非齐次颠簸方程的柯西问题定解问题2ua22u，x,t0(4.11)t2x2f(x,t)u|x0(x

4、),u|t0(x)(4.12)t令u(x,t)U(x,t)V(x,t)，可将此定解分解成下边两个定解问题：2ua22u，x,t0(I)t2x2(x),u|t0(x)u|x0t2u22u，(II)t2ax2f(x,t)x,t0u|t0u|x00,0t此中问题(I)的解可由达朗贝尔公式给出：U(x,t)1(xat)(xat)122a对于问题(II)，有下边重要的定理。atat()d。定理（齐次化原理）设(x,t,)是柯西问题22t2a2x2，t|x0,t|tf(x,)的解(0)，则V(x,t)t0(x,t,)d是问题(II)的解。4二三维颠簸方程的柯西问题三维颠簸方程的泊松公式考虑三维颠簸方程的柯

5、西问题2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t三维颠簸方程的球对称解假如将三维颠簸方程的空间坐标用球坐标表示，则颠簸方程化为：1(r2u)r21(sinu)12u=r2rrsinr2sin2212u（4.19）a2t2假如波函数u与，变量没关，而只与变量r,t相关，即是所谓球对称的，这时式可简化为：1(r2u=12ur2r)a2t2r2u22uut2a(rr22r)即有：2(ru)a22(ru)。t2r2这是对于的一维颠簸方程，其通解为：ru(r,t)f1(rat)f2(rat)5进而ru(r,t)1f1(

6、rat)f2(rat)即获得三维颠簸方程r对于原点为球对称的解。三维颠簸方程的泊松公式2u22u2u2ut2a(x2y2z2)x,y,z,t0(4.17）u|t0(x,y,z),u|t0(x,y,z)(4.18)t的解为：u(x,y,z,t)1(,)1(,)4atSatMatdsatds，称它4aSatM为三维颠簸方程柯西问题的泊松公式。这里要求掌握三维颠簸方程柯西问题的泊松公式的推导过程。降维法利用三维颠簸方程柯西问题的泊松公式来导出二维颠簸方程柯西问题的解。这类利用高维问题的解推导低维问题的方法称之为降维法。二维颠簸方程的柯西的问题：2u22u2ut2a(x2y2)x,y,z,t0u|t0(x,y),u|t0(x,y)t6_令u(x,y,z)u(x,y,z)，将上式的解视为特别的三维问题，最后获得问题的解为：1(,)dd+u