常微分方程 线性微分方程的基本理论

1、常微分方程 线性微分方程的基本理论1第1页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三及其各阶导数均为一次的n阶微分方程称为n阶线性微分方程.一、基本概念n阶线性微分方程: 未知函数一般形式为:式中上的连续函数。及是区间2第2页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三n阶线性齐次微分方程: n阶线性齐次微分方程，简称齐线性方程,（3.2.1）称非齐线性方程。3第3页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三上面两个方程分别为齐次和非齐次的线性方程。 关于高阶方程同一阶方程一样, 也有相类似的解的存在惟一性定理.4第4页，共41页，2022年，5月20日，5点

2、19分，星期三定理3.1：如果(3.2.1）的系数 及右端函数 在区间 上连续， 满足下列初始条件 方程（3.2.1）存在惟一的解 则对任一个 及任意的 5第5页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三线性微分算子:为常数.性质3.2 性质3.1例如:6第6页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三二、齐次线性方程解的性质和结构定理3.2 (叠加原理) 如果 是方程（3.2.2）的n个解， 则它的线性组合 也是方程（3.2.2）的解，这里是常数.7第7页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三例1 验证是方程 的解.解: 分别将代入方程, 得所以为方程

3、的解.8第8页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三基本解组:如果方程（3.2.2）的任意一个解都可以表示为 ,则称是方程组（3.2.2） 的基本解组。线性相关:对定义在区间(a, b)上的函数组 如果存在不全为0的常数 , 使得 在(a, b)上恒成立,称这些函数在所给的区间上线性相关，不然称这些函数线性无关.9第9页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三例2: 函数在任何区间上都是线性无关的，因为如果只有当所有的 时才成立. (3.2.5)事实上, 如果至少有一个则 (3.2.5) 式的左端是一个不高于n次的多项式，它最多可有n个不同的根 . 它在所考虑的区

4、间上不能有多于n个零点, 更不可能恒为零.10第10页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三注1：在函数 中有一个函数等于零, 则函数在（a, b）上线性相关。 则在（a, b）上线性无关的充要条件为 或在（a, b）上不恒为常数. 注2：考虑到两个函数构成的函数组 如果 或 在(a, b) 上有定义,11第11页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三注3：函数组的线性相关与线性无关是依赖于所取的区间。例4: 函数 上是线性无关, 而在上是线性相关的. 和事实上在区间上不是常数, 分别在区间和上是常数.例3:在任何区间上都线性无关. 在任何区间上都线性相关.12

5、第12页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三Wronskian 行列式:称为这些函数的Wronskian行列式, 通常记做 由定义在区间（a, b）上的k个k-1次可微函数 所作成的行列式13第13页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三证明:由假设知存在一组不全为零的常数使得依次将此恒等式对 t 微分, 得到 n 个恒等式定理3.3 如果函数组 在区间(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的Wronskian行列式恒等于零, 即.14第14页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三上述n个恒等式所组成的方程组是关于的齐次方程组,

6、它的系数行列式就是Wronskian行列式, 由线性代数的知识知, 要使方程组存在非零解, 则必有15第15页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三如果函数组 的某点处 不等于0, 即 , 推论 3.1Wronskian行列式在区间（a, b）上则该函数组在区间上线性无关。定理3.3 如果函数组 在区间(a, b) 上线性相关, 则在(a, b) 上它们的Wronskian行列式恒等于零, 即.16第16页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三显然对所有的 t, 恒有但在上线性无关.事实上, 假设存在恒等式则当时, 有当时, 有故在上线性无关.注: 定理3.3的

7、逆定理不一定成立.例17第17页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理3.4 若函数组 是齐线性方程在区间（a, b）上的n个线性无关的解,则它们的Wronskian 行列式在该区间上任何点都不为零.证明: 用反证法假设有使得18第18页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三其系数行列式故它有非零解现以这组解构造函数由定理3.2 知,是齐线性方程的解.考虑关于的齐次线性代数方程组19第19页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三即这个解满足初始条件又也是齐线性方程满足初始条件的解, 由解的惟一性知,由不全为零, 知矛盾, 从而定理得证.20第

8、20页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三则该解组在（a, b）上线性相关.使得它的Wronskian 行列式在区间（a, b）上的n个解。如果存在 推论3.2：设是方程 (3.2.2)推论3.3: 方程（3.2.2）的n个解 在其定义区间（a, b）上线性无关的充要条件存在一点 使得 是在该区间上21第21页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理3.5 n 阶齐次线性方程（3.2.2）一定存在n个线性无关的解. 线性无关解组, 基本解组及通解的关系?证明:由定理3.1 知, 方程满足初始条件的解一定存在, 因为所以这 n 个解一定线性无关, 故定理得证.

9、22第22页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理3.6 如果 是n阶齐次方程（3.2.2）的 n 个线性无关的解。即方程（3.2.2）的任一解 都可以表示成证明: 设是方程 (3.2.2) 的任一解, 并且满足条件则它一定是该方程的基本解组，23第23页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三考虑方程组由于它的系数行列式是方程的n个线性无关解的Wronskian 行列式在 处的值, 故它不为零. 因而上面的方程组有惟一解现以这组解构造函数由解的叠加原理和惟一性定理得即24第24页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理3.7 (通解结构定理

10、)若 是方程（3.2.2）的n个线性无关的解，则方程的通解可以表示成 其中 是任意常数 .25第25页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理3.8是方程（3.2.2）的n个解， 设 (等价命题)(1) 方程（3.2.2）的通解为 (2) 是方程的基本解组. (3) 在(a, b)上线性无关. (4) 存在使 (5) 任给有 26第26页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理 3.9 (刘维尔公式)注1： 在 内有一点为零， 则在整个上恒为零.设 是（3.2.2）的任意n个解， 是它的Wronskian行列式，则对(a, b)上任意都有 一点，上述公式我们

11、称为刘维尔(Liouville)公式.27第27页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三注2：对二阶微分方程 若 是方程的一个解，则可得通解.设 是与 不同的解，则由刘维尔公式推得用 乘以上式两端可得 由此得 28第28页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三取 , 则为另一个解，因为所以与线性无关.29第29页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三例5 求方程 的通解. 解：易知 为一特解，所以 30第30页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三三、非齐次线性方程解的结构定理3.10n阶线性非齐次方程的通解等于它的一个特解与它所

12、对应的齐次方程的通解之和. 31第31页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三证明: 设是方程 （3.2.10) 的一个特解，是方程 （3.2.2) 的通解。是方程（3.2.10) 的解。首先我们证明所以是方程 （3.2.10) 的解。即事实上(3.2.10)32第32页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三是非齐方程的通解。其次证即证对于非齐方程的任意一解总可以表示为其中是由中的任意常数取某一特定的值而得到的。所以是齐次方程的解，于是事实上， 因为可由中的任意常数取某一特定的值而得到。其中33第33页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三定理

13、3.11 设 与 分别是非齐次线性方程和则 是方程 的解。的解,证明：34第34页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三常数变易法求特解是齐线性方程的设 n个线性无关的解， 因而齐线性方程的通解为(3.2.11)为求非齐线性方程的一个特解, 将(3.2.11) 中的常数看成关于 t 的函数, 此时(3.2.11) 式变为(3.2.12)将 (3.2.12) 代入齐线性方程得到一个所满足的关系式.(3.2.10)(3.2.2)35第35页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三我们还需要另外 n-1个条件来求出 在理论上这些条件是任意给出的,为了运算的方便, 我们按下面的方法来给出这 n-1 个条件.对 (3.2.12) 式两边对 t 求导得令得到(3.2.12)36第36页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三对上式两边继续对t 求导, 重复上述做法, 令继续上述做法, 直到获得第 n-1 个条件令37第37页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三最后, 将上式两边对 t 求导得将上面得到的代入 (3.2.10), 得到由n 个未知函数所满足的方程组:(3.2.10)38第38页，共41页，2022年，5月20日，5点19分，星期三 该方程组的系数行列式恰好是齐线性方程的n 个线性无关解的 Woolskin 行列