直线与圆经典题型

1、题型一：对称性求最值例题：已知点M(3,5),在直线l：x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使MPQ的周长最小.解：由点M(3,5)及直线1,可求得点M关于l的对称点M1(5,1).同样容易求得点M关于y轴的对称点M2(-3,5).据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0.得交点P(生，).2令x=0,得到M1M2与y轴的交点Q(0,).解方程组x+2y-7=0,x-2y+2=0,故点P(,)、Q(0,)即为所求.CNMPQMp+|MQ|+|PQ|=|Mp+|M2Q|+|PQ|M2CNMPQ题型二：反射光线问题已知光线经过已知直线11：3x-y+7=0和12：2x+y+3

2、=0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射.(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；(2)求反射光线所在的直线13的方程.(3)求与13距离为.15的直线方程.【分析】(1)联立方程组，求出M的坐标，从而求出P的坐标即可；(2)法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线PN的方程，根据对称性求出直线方程即可；(3)设出与13平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可.【解答】解：(1)由得，M(-2,1).所以点M关于x轴的对称点P的坐标(-2,-1).(4分)(2)因为入射角等于反射角，所以N1=N2.直线MN的倾斜角为a,则直线13的斜斜角为180-a.，所以直

3、线13的斜率故反射光线所在的直线13的方程为：.即.(9分)解法二：因为入射角等于反射角，所以N1=N2.根据对称性N1=N3,，N2=N3.所以反射光线所在的直线13的方程就是直线PN的方程.直线PN的方程为：，整理得：故反射光线所在的直线13的方程为.(9分)(3)设与13平行的直线为，根据两平行线之间的距离公式得：，解得b=3,或，所以与1所以与13为：，或.(13分)题型三：直线恒过点问题已知直线方程为(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.(I)证明：直线恒过定点M；(口)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点，求4AOB面积的最小值及此时直线的方程.【分析】(I)直线方程

4、按m集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证明：直线恒过定点M；(口)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A,B两点，说明直线的斜率小于0,设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出4AOB面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程.【解答】(I)证明：(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0化为(x-2y-3)m=-2x-y-4.(3分)由卬。得1-2/-y-4=0直线必过定点(-1,-2).(6分)(口)解：设直线的斜率为k(k0),则其方程为y+2=k(x+1),OA=|-1|,OB=|k-2|,(8分)S=OAOB=|(-1)(k-2)|=

5、|-|.(10分)AOBVk0,Sacr=-=4+(-)+(-k)三4.AOB当且仅当-=-k,即k=-2时取等号.(13分).AOB的面积最小值是4,(14分)直线的方程为y+2=-2(x+1),即y+2x+4=0.(15分)2.已知直线l的方程为2x+(1+m)y+2m=0,mR,点P的坐标为(-1,0).(1)求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标；(2)求点P到直线l的距离的最大值.【分析】(1)把直线方程变形得，2x+y+m(y+2)=0,联立方程组，求得方程组的解即为直线l恒过的定点.(2)设点P在直线l上的射影为点M,由题意可得|PM|W|PQ|,再由两点间的距离公式求得点P到直线

6、l的距离的最大值【解答】(1)证明：由2x+(1+m)y+2m=0，得2x+y+m(y+2)=0,，直线l恒过直线2x+y=0与直线y+2=0的交点Q,解方程组2耳+y,得Q(1,-2),冷。直线l恒过定点，且定点为Q(1,-2).(2)解：设点P在直线l上的射影为点M,则|PM|W|PQ|,当且仅当直线l与PQ垂直时，等号成立，点P到直线l的距离的最大值即为线段PQ的长度，等于=2.题型四：动直线问题已知点A（1,2）、B（5,-1）,（1）若A,B两点到直线l的距离都为2,求直线l的方程；（2）若A,B两点到直线l的距离都为m（m0）,试根据m的取值讨论直线l存在的条数，不需写出直线方程.

7、【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线L与点A（1,2）和点B（5,-1）两点的连线平行，一类是线L过两点A（1,2）和点B（5,-1）中点，分类解出直线的方程即可；（2）根据A,B两点与直线l的位置关系以及m与两点间距离5的一半比较，得到满足条件的直线.【解答】解：|ab|=鬲卞；五7=5,|AB|2,A与B可能在直线l的同侧，也可能直线l过线段AB中点，当直线l平行直线AB时：kAB=，可设直线l的方程为y=-x+b依题意得：=2,解得：b=或b=,故直线l的方程为：3x+4y-1=0或3+4y-21=0；当直线l过线段AB中点时：AB的中点为（3,）,可设直线l的方程为y-=k（x-

8、3）依题意得：=2,解得：k=,故直线l的方程为：x-2y-=0；（2）A,B两点到直线l的距离都为m（m0）,AB平行的直线，满足题意得一定有2条，经过AB中点的直线，若2m|AB|,则有0条，V|AB|=5,综上：当m2.5时，有2条直线符合题意.题型五：斜率取值范围已知点A(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1)且与线段AB始终有交点，则直线l的斜率k的取值范围为kW-3,或kN1.【分析】由题意画出图形，数形结合得答案.【解答】解：如图，VA(1,1),B(-2,2),直线l过点P(-1,-1),，直线l的斜率k的取值范围为kW-3,或k1.故答案为：kW-3,或k1.题

9、型六：对称问题已知直线l：y=3x+3求（1）点P（4,5）关于l的对称点坐标;（2）直线y=x-2关于l对称的直线的方程.【分析】（1）设点P（4,5）关于直线y=3x+3对称点P的坐标为（【分析】（1）设点P（4,5）关于直线y=3x+3对称点P的坐标为（m,n）,得至1关于m,n的方程组求得m、n的值，可得P的坐标;（2）求出交点坐标，在直线y=x-2上任取点（2,0）,得到对称点坐标，求出直线方程即可.【解答】解：（1）设点P（4,5）关于直线y=3x+3对称点P的坐标为（mn),则由n-5口-45+n3二一1.，求得m=-2,n=7,故P(-2,7).二百十3(2)由，解得：交点为在

10、直线y=x-2上任取点（2,0）,得到对称点为所以得到对称的直线方程为7x+y+22=0题型七：截线段长问题已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线11；x+y+1=0和12：x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线1的方程.【分析】法一如图，若直线1的斜率不存在，直线1的斜率存在，利用点斜式方程，分别与11、12联立，求得两交点A、B的坐标(用k表示)，再利用|AB|=5可求出k的值，从而求得1的方程.法二：求出平行线之间的距离，结合|AB|=5,设直线1与直线11的夹角为0,求出直线1的倾斜角为0或90,然后得到直线方程.就是用11、12之间的距离及1与11夹角的关系求解.法三：设直线

11、11、12与1分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2),则通过求出y1-y2,x1-x2的值确定直线1的斜率(或倾斜角)，从而求得直线1的方程.【解答】解：解法一：若直线1的斜率不存在，则直线1的方程为x=3,此时与11、12的交点分别为A(3,-4)或B(3,-9),截得的线段AB的长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.若直线1的斜率存在，则设直线1的方程为y=k(x-3)+1.解方程组产3)+1得鼠+/1=0TOC o 1-5 h zA(,-).解方程组得B(,-).由|AB|=5.得(-)2+(-+)2=52.解之，得k=0,直线方程为y=1.综上可知，所求1的方程为x=3或y=1.题型八：直线夹角问题已知直线l：5x+2y+3=0,直线1经过点P（2,1）且与