职业教育数学教学信念和创新实践

1、职业教育数学教学信念和创新实践【摘要】随着基于核心素养的课程标准出台，职业院校教学向培育学生核心素养转向。其中，数学价值、 社会需求与个人发展三维融合，知识实在性、社会性与实践性融通，认知（行为）主义与建构主义融通，浅层 学习与深度学习融通，分别作为教学认识论、知识认识论、教学方法认识论、学习认识论的基础；实施四教 两融入”，在“四教”（教思考、教体验、教表达、教应用）过程中融入数学文化和数学模型化思维，作为落实核 心素养的举措。【关键词“四教两融入”；数学核心素养；教学信念；教学创新；职业教育职业院校的数学教学有三种类型。第一种是 学科教学,注重基本知识和技能，有相对完整的理 论体系。第二种

2、是模块化教学，以相关专业所必 需的知识和技能为主要教学内容。第三种是项目 化教学，将专业所需知识和技能整合形成项目化 教学内容。模块化与项目化教学凸显数学与职业 所需知识衔接及融合，这两种教学类型特点明显: 一是“实用主义”，强调岗位适用性,删除无关的教 学内容;二是“工具性”，数学单纯作为工具使用。 问题在于:学科教学单纯进行知识练习，缺少思想 性和方法性；三种类型都属于低阶思维教学，遇到 复杂或结构不良的问题时，学生会出现认知障碍； 三种类型都忽视解决问题能力的培养;数学培育 人以及促进人的社会发展的价值被忽视。本文对 核心素养背景下的数学教学进行理念与实践的 剖析。一、职业教育数学教学信

3、念的嬗变（一）教学认识论 数学价值、社会需求与 个人发展三维的融合观职业院校数学教学认识要有三个维度，体现 三种属性。“数学价值维度，是目标的数学属性； 社会要求维度，是目标的社会属性；人的发展维 度，是目标的个体属性。”同时，要有勇于主动 教学革新的意识和能力，以及工程学的思维方 法,并将创意运用于实际教学。数学价值的“引导”“引导”不是“控制”，也非“奴役”，更非“愚 弄”，教育的价值引导蕴含着教育者的价值选择 和价值预设,体现着社会的意志和教育的性质。 首先，对照人才培养目标确定教学目标；其次， 教学反映社会需求和人发展的内容；最后，引导 基于核心素养的品格和关键能力两个维度，体 现“真

4、” “善，“美，和谐统一，知识成为人类智慧 和德性的重要组成部分。此时，斯宾塞的“科学 知识是最有价值的知识”才是确定无疑的。社会维度的“立德树人”“立德树人”就是要给学生一个“精神上的 底子”，即培养学生形而上的追求，树立其对国 家和民族的信仰和信念。一方面，帮助其学会 思考。教育应该有超越学科知识的目的，这就 是思考，无论提出问题还是解决问题或构建对 世界的图式都需借助思维来完成,诚如真正的 教育应该包含智慧之爱，而非理智和认识的堆 积，尽可能使学生思考事物的本源而不误入歧 途。另一方面,超越单纯的知识教学,把学生 引向对世界观、人生观和方法论的领悟，构建知 识与文化融合的教学方式，“促进

5、学生心智模式 的德智融合进程和融合品质使冰冷的知识 成为火热的内在，丰富学生对知识的认知维度、 广度和深度”。人发展维度的“自主建构”教育的功能是帮助个体完成对自我、对他 人、对世界的认识建构。研究表明，青少年时期 是关键量变期，随着年龄的增长，学生的创造性 思维和创造性人格呈持续上升趋势，17岁时将 趋于定型。真正的学习是学生自身建构起对当 前信息的意义之领悟，思想性、方法性、策略性 等知识以及批判性思维等是在过程中“悟”的， 能力的形成也是基于过程的感悟和体验，非一 日之功。“自主建构”奠定了教学的主体意义：教 学要基于学生的认知经验、生活世界，激起学生 的学习动机和兴趣。同时，“自主建构

6、”也表明 教学是一种交往活动，需要创建平等而非强制、 有助于促进学习的学习情境。（二）知识认识论知识实在性、社会性与 实践性融通的知识观一天，助手华生对福尔摩斯说：“你的知识 有限，却无所不知、料事如神? ”福尔摩斯打开酒 柜说:“我的酒并不多，也不太高级，但什么酒放 在什么地方我一清二楚，我可以随时拿到我要 的酒。”在需要的时候能调动其拥有的所有知 识，这是福尔摩斯成为神探的原因。信息时代， 教育要从注重知识的数量转向对知识的分析、 判断、选择和创造性的运用，培养学生成为知识 的主人而非知识的奴隶。“这样的社会，必须教 育成员发展个人的首创精神和适应能力。否 则，他们将被突然遇到的种种变化所

7、迷惑，看不 清这些变化的意义或关联。”传统教育把知识本身作为教育目的，教学过 程被理解为知识的累积过程，目标强调知识的 数量和精确性，模仿和练习成为主要的学习方 式。“三维目标”在传统教育知识观的基础上，把 发展学生相应的数学能力作为教学目标，但知 识、能力与情感是并列非融合形态，导致品格和 价值观的培养游离于教学之外。核心素养时 代，“信息、原理、技能、态度、价值观等都是知 识，知识是人类智慧的结晶”。为此，我们需 要重新审视知识及其内涵，学校内的知识是对 人类智慧进行抽象化、结构化、逻辑化和符号化 处理的结果，通过“事实”体现，因此，教学需要 从对符号信息的形式加工回归到对知识的真正 解放

8、。传统教学把知识视为绝对真理，忽视学生经 验对知识建构的能动性；建构主义教学视学生 为教学主体，但忽视了知识的客观性，导致了知 识的随意性。这两种教学类型都存在知识与人 的认知二元对立问题。另外，互联网丰富了知 识的内涵和类型，“既包含了以线性静态知识、 抽象原理知识、分科系统知识、规定共性知识为 主的传统知识观，又涵盖了以网络动态知识、境 遇操作知识、综合碎片知识、灵活个性知识为主 的网络知识观”。核心素养所蕴含的知识认识 论意义在于摒弃传统知识观将知识视为现成概 念或客观实体的知识信念，将知识从客观符号 和事实转化为具备资源活力、能够迁移与运用 的工具与资源，以人为本，通过知识的情境意 义

9、，灵活地解决问题，实现知识的价值。东北师范大学原校长史宁中说过，数学教学 要“三会”：会用数学的眼光观察问题，会用数学 的思维思考问题，会用数学的语言表达问题。 对职业院校来说，为了实现人的更好发展，还应 培育学生用数学的方法解决问题，即数学的“四 会”观念。数学“四会”以知识实在性、社会性和 实践性相融合的知识观为基础，知识的实在性 即知识的客观性、科学性和真理性，是前提和基 础；知识的社会性包含知识的情境性、关联性与 人文性，反映学生的能动性、知识与特定情境的 关系以及知识的社会意义；知识的实践性指实 现知识的价值和意义要以实践应用作为载体。 融合实在性、社会性和实践性的知识观，其课程 意

10、义在于打破了学科课程之间的相对隔阂,消 除了知识客观性和人的认知经验的对立，实现 了教育的科学主义与人文主义的融合；其教学 意义在于既兼顾了知识的建构性又不否定其客 观性，既兼顾了学生的认知起点又没有降低知 识客观性所蕴含的思想方法，进而带领学生超 越日常经验知识范畴，发展新的认知，真正实现 “教与学科、教与学生”的两重对应。（三）教学方法认识论认知（行为）主义 与建构主义融通的方法观10布鲁姆-安德森的教育目标分类法将认知 分为六个层级（见表1）。表1教学方式学习类型层级认知认知过程思维类型建构主义 教学深度学习发展层次创造要素整合要素重组为一个模型或结构高阶思维评价判断基于标准推导出抽象关

11、系方法层次分析信息分析部分之间及其与整体结构或目标的相互关系应用知识应用一套程序的应用和实施认知（行为）主义教学浅层学习知道层次理解信息确认从信息中建构意义低阶思维记忆知识提取具体的知识、方法的知识、概念的知识“记忆”主要利用分类、归纳、联系等思维 方法将信息整合成系统的结构，有利于存储和 提取；“理解”是对“记忆”的认知进行确认，明 确其意义。这两个层级面对的主要是事实性 知识，思维的认知水平都较低，具有“机械”的 特点，被称为“低阶思维”。“应用”则按照程序 利用知识；“分析”“评价”和“创造”面临的任 务具有挑战性，所需知识抽象度高、结构层次 多、关联性强，需要学生具有较高的认知水平。

12、这四个层级的思维被称为“高阶思维”，包含批 判性思维和创造性思维，其中“应用”“分析” “评价”对应批判性思维，“创造”对应创造性思 维。杜威将批判性思维定义为“根据其支持的 背景以及倾向于做出的进一步结论，对任何观 念或知识的可能形式进行积极、持久、仔细的 考虑”门。批判性思维让学生具备从复杂世 界中过滤和整合有价值信息的能力，具备“反 省”特质；创造性思维则让学生有了自己的思 维logo。“低阶思维”和“高阶思维”对应的学习 类型分别是浅层学习和深度学习，对应的教学 方式分别是认知（行为）主义教学和建构主义 教学。认知（行为）主义教学观秉承了客观主义理 念，认为知识是静止的绝对真理，具有不

13、变的客 观性，只有对错之分。教学中，学生按照教师要 求习得知识，是知识的接受者。行为主义和认知 主义的区别在于，行为主义提供外部刺激，强化 操作性练习，认知主义则强调学生内部的认知过 程。认知（行为）主义教学方式表现为对“结果” 的“接受式学习”，知识独立于人而存在，即旁观 者知识观，教学过程中，人和知识是二元对立 的，教学的起点是“知识”，没有考虑学生的能动 性问题。建构主义教学方式背后是知识的可误 主义，认为知识是情境中人对世界意义的理解， 教学起点是学生的经验，需要在质疑一认同一加 强的往复互动中完成。建构主义认为：“知识是 发展的，是内在建构的，是以社会和文化方式为 中介的。学习者在人

14、际互动中社会性协商 进行知识的社会建构。”但建构主义忽视知识 客观性会带来以下问题：教学的相对主义；强势 的知识导向，认为所有知识都是一种社会建构， 进而将知识化约为某个群体的利益或偏好；知识 的随意性,进而否定知识的客观性基础。认知（行为）主义与建构主义是教学一个过 程的两个方面，需要从以下几个方面做好融合。 第一，价值取向：教学的知识取向与文化取向融 合。从学生终身发展的学理逻辑关系看，知识 的实在性是数学科学性、知识社会化和知识应 用的前提以及学生核心素养形成的基础，需要 教师作为科学知识的传承者，同时，教师也要作 为数学文化育人的传道者。第二，教学设计： “教的科学”与“学的科学”共同

15、成为教学的基 础，教学是两者的交集。“教之道在于度”，“教” 是为了 “不教”；“学之道在于悟”，“学”是为了 “会学”。第三，知识呈现：“结果”与“过程”要融 合。“结果”意味着数学知识的“模式”；“过程”蕴 含的是知识的意义、思想与方法。认知（行为） 主义与建构主义融合的教学方式能更好地涵盖 知识发生、发展及应用的完整过程。（四）学习认识论浅层学习与深度学习 融通的学习观20世纪90年代初，“基于设计的研究”建立 了学习的工程学隐喻：“应该是一门设计的科 学。”口I 21世纪之后，学习技术走进教育领域， 提供了多元与系统化的平台、个性与智能化的 学习环境。学习技术和工程学走进教育之后， 彼

16、此交互日益密切，加上情境理论，形成如下认 识：学习是面向真实情境的一种体验，在深度参 与到对情境问题的解构中，建立心理认知与信 息资源的动态联结。动态性体现在认知网络、 概念网络和社会网络的相互作用，在相互作用 过程中，实现认知和情感的整合，提升做事能 力。这种认识为深度学习提供了技术路线图。无论是接受学习还是发现学习都可能是机 械的，也可能是有意义的，关键在于新知和旧知 之间能否建立联系，只有建立联系，学习才会有 意义。奥苏贝尔比较了概念的“形成”与“同 化”，认为概念“形成”的基础是对事物的直接 经验，新旧知识相互作用的结果产生意义同化， 同化是有意义学习的心理机制如14奥苏贝尔的 有意义

17、学习为深度学习的萌芽提供了心理 机制。布鲁姆-安德森的教学目标分类理论把教 学目标分为认知、情感和心理动作三个维度，元 认知知识是认知维度和情感维度之间的桥 梁。司马扎诺对布鲁姆-安德森的教学目标分类 理论做了进一步修订，从低到高形成了认知系 统（四个水平）、元认知系统（一个水平）和自我 思维系统（一个水平）。其中，元认知系统是负 责监控、评价和规范所有类型思维的运作，包括 目标设定，过程、清晰度及准确度监控的有意识 操作；自我思维系统由情感、信念和态度的相互 关系构成，决定个人从事某项任务以及投入任 务中的精力。“知识提取”属于无意识的自动 水平，“理解，将知识转换成恰当的形式存储于 永久记

18、忆中，由于思维水平低，两者都属于浅层 学习，其他的四个水平强调在前两个水平的基 础上对知识的精细加工，属于深度学习，其表现 形式为分析与知识运用。小教学目标分类理论 为深度学习提供了可操作性。国内学者对深度学习的诠释虽不尽相同，但 指向基本类似。深度学习是学习者必须经过一 步以上和多层水平的分析或加工的学习，特点 为理解性认知、高阶思维、整体联通、迁移与应 用、批判理解、创造性。18-21 在深度学习过程中， 学习者不仅要进行复杂的高阶思维、精细的深 度加工，还要在深度理解的基础上，主动建构个 人知识体系，深度掌握高阶技能并有效迁移运 用到真实情境中来解决复杂问题。22深度学习和创新型人才的培

19、养密切相关， 而创新成为时代教育的诉求，“加强关键核心技 术攻关，加速科技成果产业化，提高关键环节和 重点领域的创新能力”23。在学校范围内，深 度学习的意义不在于让学生创造出具有社会意 义的科技成果，而在于对学生创新意识、创新思 维的培养，这些创新素质和学习动机与能力、基 本思维能力、批判性思维能力、创造性人格相 关。“四基”是高阶思维的基础，不可能跳过“四 基”而实现深度学习，学习过程包括浅层学习和 深度学习两个环节，由浅入深。因此，浅层学习 和深度学习需要融通，浅层学习是扩展知识范 围，学习具有发散性特点，深度学习则主要聚焦 于创造性地解决问题，是收敛性学习。其中，专 注、刻苦、自觉的全

20、身心投入的学习状态就是深 度学习的行为特征，此时深度学习已和学习方 式无关。图1“四教两融入”逻辑关系二、“四教两融入”教学创新实践（一）“四教两融入”及其内在逻辑a】“四教”为“教思考、教体验、教表达、教应 用”。其中，“教思考”是核心，“教体验”是目标, “教表达”是切入，“教应用”是载体；思考指导应 用，应用积淀体验，体验增强表达，表达提升能 力。“两融入”为“四教”过程中融入数学文化元 素和数学模型化思维（见图1）。2），突破凯洛夫“五环节”模式，创新教学模式 （见图3）。预评价：诊学情，定同化点教学目标二、“四教两融入”教学创新实践（一）“四教两融入”及其内在逻辑a】“四教”为“教思

21、考、教体验、教表达、教应 用”。其中，“教思考”是核心，“教体验”是目标, “教表达”是切入，“教应用”是载体；思考指导应 用，应用积淀体验，体验增强表达，表达提升能 力。“两融入”为“四教”过程中融入数学文化元 素和数学模型化思维（见图1）。2），突破凯洛夫“五环节”模式，创新教学模式 （见图3）。预评价：诊学情，定同化点教学目标学习情境的确定图2教学设计路线认知结构的重构长能力悟道理四教两融入数学文化是数学在其发展历程中内蕴的一 种隐性知识，涉及数学思想方法、精神、思维品 质、数学学习的毅力以及价值观念，融入“数学 文化”对“立德树人”意义重大，弥补学校课程知 识与社会实践知识之间存在的割

22、裂。数学模型 是数学模式观的体现，是应用数学知识解决问 题的思考切入点，融入“数学模型化思维”能促 进学生形成数学模式观，养成科学的思考习惯。（二“四教两融入”教学实施“四教两融入”具体教学实施，是在奥苏贝 尔有意义学习框架内融入“四教两融入”（见图学生学：问阍中思考、过程中体验、交流中表达、迁移中应用设置情境|-村 提出问题IT 解决问题11迁移应甬一|（观察.分析T （猎想、探究）（求解、反服）I （学做、学用）I匚亟至瓯西瓯I教师导：启示思考、助力体验、诱导表达、鼓励应用图3 “四教两融入”教学模式预评价：诊学情，定同化点“诊学情，定同化点”就是寻找认知结构的 可利用性，即已有认知结构中

23、是否有能够接受 同化新知识的适当观念或知识。找到“同化 点”，明确学生基础以及新旧知识之间的结构关 系，消除影响学习的逻辑问题，使教学设计合 理、科学。创设情境，引出问题首先，知识萌芽于问题，问题源于情境。例 如，微积分诞生于“曲线之谜”“运动之谜”“变化 之谜”三个日常情境引发的问题。其次，知识的 建构基于情境，情境既为知识提供了活动背景, 也是知识建构的活动场景和资源条件。同时, 在脱离情境条件下获得的知识，常是呆滞和不 具备实践作用的，容易形成对知识孤立的、单纯 的和过于简单的理解。最后，从教的中心转向 学的中心，更多受到社会、文化等情境因素对知 识加工的影响。“四教两融入”实施举措（1

24、）教思考“教思考”主要是教学生思考问题的方法、 数学思维和多视角表征问题的能力。思考的方法问题。西方现代科学哲学奠 基者笛卡尔提出了哲学思考的方法论问题 数学的方式：绝不承认任何事物为真；将每个问 题分解成若干个简单的部分来处理；从简单到 复杂思考；时常进行检查，以免遗漏。笛卡尔的 方法论又反过来指导数学学习和思考，如波利 亚解题四部曲思想。京数学如何去思维。数学思考方式是发现 事物的本质、共性以及差异的基本手段，包括分 类、化归、类比、归纳、抽象化、符号化、公理化与 模型化，这些方式都和数学的收敛性思维和发 散性思维有关。一般认为，发现过程是以某种 方式从特殊归纳出一般结论，检验发现的过程

25、则利用演绎从一般推理出特殊，有关发现过程 的归纳和演绎表现为收敛思维和发散思维。数 学思维基本的原则是：归纳和演绎的统一，实现 逻辑的严密性;分析和综合的统一，实现辩证的 思想方法;逻辑和历史的一致，使思想符合历史 进程;从抽象上升到具体，实现从感性的具体到 思维的具体。江第一，数学思维的教学聚焦于发散思维和收 敛思维。收敛思维和发散思维好比手电筒光的 两种模式，强光模式亮但照射范围小，宛如收敛 思维;弱光模式照射范围大但亮度弱，犹如发散 思维。发散思维通过发挥想象力，突破原有的 思维束缚，进行由点及面的思维发散，通过对知 识的探索性重组，寻找新的解决问题方式，因 此，发散思维实质上是一种创新

26、思维。收敛思 维则相反，它聚焦于对解决问题方法的分析和 评价，从相关信息中寻找出解决之道，属于批判 性思维。收敛思维和发散思维的融合循环就是 一个创新的过程，两者的统一是高阶思维，即高 阶思维培养和教学的过程。高阶思维的培养，“反思”和“直觉”同等重 要。创造首先是对现有概念的反思，反思使收 敛思维与发散思维之间形成必要的张力，实现 传统和创新的互补。发散思维具有活跃和开放 的特性，善于吸取经验，突破常规的思维模式， 改进思维习惯。创造既要突破常规，又要遵循 一定的科学规范。收敛思维就是建立在求同的 基础上的受到一系列规范约束的思维。传统研 究扎根于科学传统中，遵循收敛思维。发散思 维通过释疑

27、，进而打破传统获得创新。庞加莱强调数学的审美感等无意识思维对 于创造具有重要的特殊性。无意识思维不像有 意识思维那样，受到包括逻辑的、方法论的，乃 至思维惯性和文化传统等的束缚，无意识思维 可以实现思维的突变。无意识思维的主要形式 是直觉，直觉能产生特殊的情绪体验 灵感。 直觉有别于逻辑思维的重要特点是直接把握事 物的思维方式，从事物的整体进行识别和猜想， 直接得出结论，在思维形式上表现为逻辑的“中 断”，即猜想和识别。直觉不是凭空出现的，而 是由于在问题的解决过程中已经积累了相当的 探索，出现顿悟而产生的，但直觉的结果是一种 “毛坯”，要形成知识，还需进行逻辑的加工、推 理以及验证。第二，高

28、认知问题的创设。依据布鲁姆-安 德森教学目标的认知成分情况，问题可以划分 为无认知问题、低认知问题和高认知问题（见表 2）28，问题的认知成分和认知加工、学习结果直 接相关（见表3）29。无认知问题是“核对性”问 题，不含认知成分，通过“是”或“不是”等检查任 务是否完成。低认知问题包括记忆、理解与应 用类的问题，例如，让学生回忆知识，或用自己 的语言解释、概述知识，或在不同情境中应用知 识。高认知问题包括分析、评价以及创造层次 的问题，主要让学生分析知识之间的逻辑关系， 或对解决方法是否正确进行判断，或整合得到 新结果。分析水平的问题和学生批判性思维的 发展相关，评价水平的问题和学生世界观等

29、的 价值判断有关，创造水平的问题和学生知识重 组能力有关。第三，提升问题的开放性。封闭性问题主要 是有唯一答案的问题，检查是其目的，思维被局 限在标准答案中。选择性问题是简单判断的问 题，例如“能不能”，思维仍是低认知层次。 开放性问题则在条件、解题途径与方法、结论等 方面都具有不确定性和开放性，因学生的认知 水平差异，答案是多元的，开放性问题可以激活 学生的思维，包括“如果这样，会怎么样”“为什 么”“如何理解”“你可以提供其他解决方案吗” 等，很显然，此类问题带有思维元素。回答开放 性问题时，需要对新旧知识进行比较分析，思维 或收敛或发散，然后寻找新的关联途径或整合 策略,从思考情境内容向

30、情境表述的内涵延伸。表2维度意义对应的问题举例创造将要素整合成内在一致、 功能统一的整体或要素重 组形成新的模式或结构写一份关于正弦函 数最值新发现的 报告评价依据准则做出判断判断两种解决问题 的方法中哪种更佳分析将材料分割成较小的组成 部分，并确定各部分之间 的关系以及与整体的关系辨别与 y=Asin （mx + 步）周期相关或无关 的量应用在特定情境中运用某个 程序计算 y=Asin （mx + （p ） 中A、m、甲的数值理解依据信息建构意义用自己的语言表述 同角三角函数间的 关系记忆从长时记忆中提取相关 知识陈述正弦型函数的 性质表3认知成分认知加工学习结果无关认知不合理加工无效学习基

31、础认知选择和初步组织机械学习生成认知组织和整合意义学习多视角问题表征。问题表征是指利用自 己已掌握的知识，从所给的问题中提取信息，把 对问题的理解内化为对问题的心理认知方式或 构建结构。多视角表征问题的直接目的是提 升学生思维品质，扩展学生的“问题空间”。问 题中事态发展的每一种可能状态对应于心理曲 线图上的每一个节点，所有节点的分布占据一 些心理区域，这个区域连同曲线构成问题空间。 从问题解决者的角度来看，问题空间是对一个 问题所能达到的全部认识状态，所有的信息源 定义了问题的节点、从一个节点向另一个节点 移动的策略以及节点间的关系。门（2）教体验认知心理学认为，知识是孤岛，体验是对知 识之

32、间关系的探究和寻找，显然，对知识的体验 是学习的重要一环。“教体验”是组织学生对知 识的属性进行探究，理解并内化知识内核的意 义，体验涉及学生内心对自己能否成功完成任 务的主观判断，即自我效能感。成败经验是影 响自我效能感的最重要因素。“成功使人建立起 对个人效能的健康信念，失败则会削弱它。如 果人们经历的只是轻而易举的成功，他们就会 急于求成，并很容易被失败所挫伤。要有通过 坚持不懈的努力克服障碍的体验比起单纯 依靠替代经验、认知模拟或言语指导等的影响 模式，动作性掌握经验能够产生更强、更普遍化 的效能信念。”闵思考中体验。数学思想是一类方法的抽 象，是知识的灵魂，隐于知识的内部。因而，数

33、学思想不是教的，而是在思考中通过“悟”和 “品”体验出来的。任何数学知识的教学，不仅 要让学生掌握表面上的知识，而且要以知识内 蕴的思想为重点，例如定积分概念的教学，不管 基于何种情境，其知识内含“分割”的动态解决 问题思想、“无穷小”解决问题的方法、“由整体 到局部”和“由局部到整体”的辩证思维，这些都 是必须让学生体验的。表达中体验。表达意在让学生用自己的 语言组织所学知识，进而理解知识。“知识教学 不是对知识符号的平面表达解释和揭示知 识中所凝结的科学属性、文化意义和实践 旨趣等层面的内涵。知识多维属性的教学 表达，是实现对知识进行深度学习的基本条件。 学习深度具有知识学习的充分广度、充

34、 分深度和充分关联度三个标准。充分的广 度与知识的产生背景、知识对人的生成意义、个 体经验相关。知识的充分深度与知识所表 达的内在思想、认知方式和具体的思维逻辑相 关。知识的充分关联度指向多维度地理解知识 的丰富内涵及其与文化、经验的内在联系。 意义建构需要以知识学习的深度和关联度 为基础。”国应用中体验。“数学既是客观的又是主观 的。为了重现的目的，当形式可以被模仿 时，内容必须被同化。一套算法，如果一个 人不能理解它是怎么进行的和为什么能够行得 通时，它的严格是没有价值的。不管是作为 形式还是作为内容，只须持续考虑到它们作用于 教学过程的相互影响！我们注意到对待知 识要依赖于个体自身在活动

35、中的作用把数 学刻画成为一种活动，指引着普通常识的形式不 断提高。”算通过应用体验，产生反思与领悟，获 得经验，形成思维积淀，这种个性化的经验积淀 到一定程度后，就是自己的“数学领悟”。（3）教表达接受主义教学的弊端在于放弃学生对知识 内核意义的表达，直接跳到对知识属性的教学 表达，而美藏于符号中，符号是知识的外显形 式。知识教学要从对符号的处理转向对符号与 知识内核意蕴的领悟并行，以知识为中介进行 “表达”触动到知识的内核，使其由不可见到 可见。“教表达”旨在让学生学会“说数学”，使个 体语言转换为数学的符号语言和图形语言，构 建知识之间的关系，达到对知识的理解、体验和 反思，形成自己的数学

36、思维方式和方法观。“表 达”是使各种抽象的数学结构与“形式的”模式 描述、分析符号化、概念化和程序化。例如，“当 两个数相加时，它们的顺序并不重要”，其符号 表达就是“a+b=b+a”。这样的表达不仅更简练， 而且代表重要的数学规则模式。同时，“表达” 是知识由外向内转化的催化剂。知识呈“碎片 化”状态，通过反求诸己，审视、倾听、关照自我， 明晰自己对知识的认知状况。再者，“表达”也 是合作学习的重要环节。“交流”可以把对数学 知识的理解、掌握的技能方法、形成的思想与情 感态度等以口头或书面的形式彼此供给，展现 各自真实的思维、思想和理解。（4）教应用数学应用是现实世界与数学世界之间的桥 梁，

37、数学应用能力指应用数学知识解决问题的 能力，包括把实际问题表述为数学问题的能力， 初步建构数学模型的能力，解决数学模型的能 力及对数学结果进行检验、分析和评价的能 力。3“教应用”涉及数学应用范围和数学应用 层次两个方面。数学应用范围包括数学内部的 应用和在实际问题中的应用；数学应用层次包 括数学结果的使用、数学语言的运用、思维模式 的作用与数学思想的迁移。“教应用”要关注三个方面问题。一是知识 结构化的教学，这是数学应用的基础。二是数 学应用意识的培养。数学应用意识指运用数学 知识、思想方法与精神的心理倾向性，包含如下 内容：主动尝试从数学的视角寻求解决问题的 策略；主动探索数学知识或理论的实际应用价 值；洞察实际问题所蕴涵的数学问题。颓数学应 用意识涵盖四个方面，即用数学的意识、用数学 的能力、对数学应用的认识、提高学习数学的兴 趣。三是数学应用性问题的教学。这是数学 应用意识与能力培养的关键举措，是课堂层面 的数学建模。“在日常的教学中融入数学模型思 想，培养数学建模能力，才能更有效地激发学生 的学习积极性，在解决问题中培养学生的合作 能力、应用能力”。闵对教材中的一般应用题可 以实施“从开放性变式到问题现实化，再到延伸 和拓展”，使其变为应用性数学问题。（5）融入数学文化数学文化，静态的内容方面，指数学