10量子力学基础

1、量子力学初步iHeethYY量子力学基础量子力学基础第十九章quantum mechanicspreliminary remarks ofchapter 191本章内容本章内容Contentschapter 19de Broglie material wave 德布罗意物质波 uncertainty relation不确定关系波函数wave function 一维无限深势阱中的粒子运动partical motion in one- dimensional infinite deep potential well氢原子及多电子原子的结论conclusion on hydrogen atom an

2、d multiple- electroned atom薛定谔方程Schrodinger equation2第一节19 - 1sssswave-particle dualism of material物质的波粒二象性德布罗意波-物质波de Broglie wave - material wave3引言一 光的波粒二象性引起的思考、光的干涉 衍射和偏振现象证明光具有波动性.光电效应 康普顿效应证明了光具有粒子性.、因此,光具有波粒二象性.光,作为光子(静止质量为零的粒子)具有波动性,宏观运动物体,是否也具有波动性?静止质量不为零的实物粒子,如电子 质子 中子,甚至、换言之,是否一切物质都具有波粒二

3、象性?4德布罗意德布罗意与物质波 1923年他提出电子既具有粒子性又具有波动性。1924年正式发表一切物质都具有波粒二象性的论述。并建议用电子在晶体上做衍射实验来验证。1927年被实验证实。他的论述被爱因斯坦誉为 “ 揭开了巨大面罩的一角 ”。 德布罗意为此获得1929年诺贝尔物理学奖。德 布 罗 意Prince Louis Victor de Broglie(18921987)德 布 罗 意5德布罗意方程二 物质波 德布罗意方程Epnl德布罗意假设微观粒子与光子一样,既具有粒子性,也具有波动性,它们都是波粒二象性粒子,称为波粒子,波粒子的运动既可用粒子性特征的动量 和能量 来描述,又可用波动

4、性特征的频率 和波长 来描述.hEnplh物质的波粒二象关系为h是普朗克常量p的方向沿波动传播的方向与物质粒子联系的波称为 德布罗意波或物质波与物质波粒二象性联系的方程称为德布罗意方程或德布罗意关系式6德布罗意波长三 自由粒子的德布罗意波长自由粒子静止质量为m0以速率在空间作匀速直线运动,不受任何外界作用的粒子v低速自由粒子的德布罗意波长vc可不考虑相对论效应pm0v则lhpm0vh则应考虑相对论效应v速度 很高,甚至接近光速,pm0vgmvcv2(1m0vlhphcv2(1m0v高速自由粒子的德布罗意波长7例电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1kgh6.63103

5、4Js普朗克常量解法提要题设为低速粒子,可不考虑相对论效应Ue电子枪内电场力做功为电子获得动能Ek离开电子枪成为自由粒子Ekvm0212动能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由动能定理EkUe得l2m0hUel求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长伏特8续上l求已知例电子U加速电压U设加速电压不太高,电子受加速电压作用后离开电子枪,不考虑重力作用,视为自由粒子.电子可看作低速自由粒子.该电子的德布罗意波长电子的电量大小e1.61019C电子的静止质量m010319.1k

6、gh6.631034Js普朗克常量解法提要题设为低速粒子,可不考虑相对论效应Ue电子枪内电场力做功为电子获得动能Ek离开电子枪成为自由粒子Ekvm0212动能得v2Ekm0pm0v2Ekm0phl2Ekm0h由动能定理EkUe得l2m0hUe得l2m0hUe伏特1.6101910319.16.6310342UmU1.2251091.225Unm进一步的计算表明(略),当Ek20000eV或时若不进行相对论修正,则会导致计算波长的误差超过1U20000V讨论:l2Ekm0h或l1.225Unm可得lEkU(nmeVV10100100010000101001000100000.390.120.03

7、90.012根据9戴-革实验3050相对强度0q60900.215nmDDqcab50一级主极大方向q入射电子束衍射电子束镍单晶探测器U54V加速电压由物质波理论得phh2m0l理Ue541.225该运动电子的波长0.167 nm由电子衍射实验数据处理得acqsinDkl实相长干涉条件1k时,得l实qsinD0.2150.165 nmsin50符合得相当好四 最早的电子衍射实验、戴维逊-革末实验1927年10汤姆孙实验1927年，G.P.汤姆孙等令一电子束通过薄铝箔，结果发现，同X射线一样，也能得到清晰的电子衍射图样。射线衍射X电子衍射11电子衍射图片电子在氧化镁晶体半平面的直边衍射氧化锌晶体

8、对电子的衍射钨晶体薄片对电子的衍射由于电子进入到晶体内部时容易被吸收，人们通常采用极薄的晶片，或让电子束以掠入射的形式从晶体表面掠过，使电子只与晶体最外层的原子产生衍射，从而成功地观察到多种晶体的电子衍射图样。12电子及中子衍射图片NaCl晶体的中子衍射UO2晶体的电子衍射 电子衍射、中子衍射、甚至原子和分子束在晶体表面散射所产生的衍射实验都接连获得了成功。微观粒子具有波粒二象性的理论得到了公认。13作业选解1作业选解作业选解qvF洛BF洛F向心mqvBRv2德布罗意波长phlBv即氦核+qe2a粒子RmmvqBRpmvqe2BRe2a粒子在磁感应强度为B的均匀磁场中沿半径为磁感应强度为R的低

9、速圆形轨道运动,则 粒子的德布罗意波长为ale2BRh得14作业选解2pkE21mpv2p21mp2pp21mv2212amaakEapapkEkEamamp4pppa则pall题设为低速粒子若alpl求pkE？kEa+a+p质子氦核作业选解作业选解低速运动的质子和 粒子,若它们的德布罗意a波长相同,则它们的动能之比为15作业选解3作业选解作业选解m1.671027kgT300 K已知中子质量,当中子的动能为温度热平衡中子气体的平均平动动能时,其德布罗意波长为nm中子气的平均平动动能23kTkeT300 K题意kEke热运动中的粒子，可看作低速粒子pkEm2m221kE2p21v中子的动能m得

10、则lphhm23kTkEhm1.67102710346.631.461010m1.38102330030.146nm16作业选解4作业选解作业选解某金属产生光电效应的红限频率为,当用频率为的单色光照射该金属时,从金属中逸出的光电子(质量为 )的德布罗意波长为men0nn0光电效应中的光电子，可看作低速粒子光电效应方程v2h(nn0menh221mev+A其中n0hAmevh2(nn0mehlph17作业选解5宏观粒子，总是看作低速粒子小球m1031kgv1021ms1作业选解作业选解质量为m1g,速度为vcms11的小球,其德布罗意波长为nmplhmvh1021103110346.631029

11、6.63m10206.63nm18作业选解6作业选解作业选解由kE2122p21vm0m0pkEUe及得m20Ue已知经加速电势差 后,一个带有单位电荷的粒子的德布罗意波长为则这个粒子的质量为A0.02206V,它是什么粒子.,不需作相对论修正,m0kgplhm20Ueh则解得m0l2h22eU10346.63)220.02)1010)22061.6101910271.67kg这是质子质子的电量e1.61019C质子的质量mp10271.67kg19作业选解7作业选解作业选解一束光的波长 ,光子的质量 ;若一电子的德布罗意波长也是m400 nml400 nml,不考虑相对论效应,电子的速度v光

12、子:nhecm2nclmhlc及得6.631034400109310810365.53kg电子:若不考虑相对论效应pvm0hlp得vm0lh6.63103440010910319.11.82103ms120例例德布罗意波概念用导出玻尔的角动量量子化条件rOl解法提要r 电子绕核运动的轨道半径为 l电子的德布罗意波的波长为 设若满足2prnl1()n2,.则形成驻波，电子在相应的定态轨道上运动而不辐射能量。lmvh将德布罗意公式代入得玻尔的角动量量子化条件2prnhLmv1()n2,.21要点1物质波德布罗意波mv自由粒子波动性nl，波粒二象关系德布罗意方程hEnplh要求熟练写出公式要点：粒子

13、性Ep，0平面波22要点2德布罗意波长plh低速粒子lm0vh求已知m0v,l已知求Ek,m0lEk21m0v2p2Ekm0lh2Ekm0pm0v对于加速电压不太高的低能电子UEkeUpm0vlh2m0eU23第三节Uncertianty relation不确定关系19 - 2ssss24海森伯不确定关系不 确 定 关 系不 确 定 关 系海森伯因创立用矩阵数学描述微观粒子运动规律的矩阵力学，获1932年诺贝尔物理奖rxprx（注：不确定关系又称测不准关系，在上述表达式中的 和 都具有统计含义，分别代表有关位置和动量的方均根偏差。）位置和动量的不确定关系称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明

14、，同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。微观粒子不能同时具有确定的位置和动量，位 置 的 不 确 定 量 rx该方向动量的不确定量prx同一时刻的关系1927年，德国物理学家海森伯提出rxprxhWerner Heisenberg(19011976)海 森 伯25不确定关系续上电子束j缝宽X衍射图样rxprxp电子通过单缝时发生衍射，概略地用一级衍射角所对应的动量变化分量 粗估其动量的不确定程度prx得rxprxphp即rxprxh考虑到高于一级仍会有电子出现取rxprxh从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系同时为零，即微观粒子的位置和动量不可能同时精确测定，这是微观粒子具

15、有波粒二象性的一种客观反映。不确定关系可用来划分经典力学与量子力学的界限，如果在某一具体问题中，普朗克常数可以看成是一个小到被忽略的量，则不必考虑客体的波粒二象性，可用经典力学处理。rxprxh通常也作为不确定关系的一种简明的表达形式，它表明rxprx和不可能rxj衍射图样prxprx 缝宽 可用来粗估电子通过单缝时其位置 x 的不确定程度。 根据右图可粗估 为了减小位置测量的不确定程度，可以减小缝宽 ，但与此同时，被测电子的动量的不确定量 却变大了。rxprxrxprx与 的关系。单缝衍射一级暗纹条件ljsinrx德布罗意波长lhpprxsinjpptanj26归纳不确定关系可推广到三维运动

16、情况:yhrpxrxhrprhrpryzz不确定关系式表明:沿某一方向同时测量粒子的位置坐标和动量时,坐标不确定量与动量不确定量之乘积不得小于普朗克常数h不确定关系式可从电子单缝衍射现象得出,而电子单缝衍射现象是物质波动性的一种表现,因此,不确定关系是物质波动性的一种反映.27例例电子相应速度的不确定值求rpx电子在原子中运动,如果测量在 方向的坐标,其不确定值(原子本身大小为本 ,即测量误差xrx10m11的相对值为 ),10m100.1由hrxrpx解法提要取等号估算hrxrpxrpxmrvx又因1011rvxhmrx10319.16.6310341077.28ms128例例求xr电子xm

17、e10319.1kgv200ms1rv0.0100v子弹xm1021.0kgv200ms1rv0.0100v已知已知求xrhrxrp解法提要pmv由及prvrmeme0.0100v10319.12001041.81032kgms16.631034rxhrp1.810323.7102m3.7cmprvrmm0.0100v2.0104kgms12.61030m2001041021.06.631034rxhrp2.0104位置不确定量小到没有任何实际意义对宏观运动物体不必考虑物质的波动性.可见,物质的波动性对微观粒子意义重大.29例例已知求rxmm0.1电子枪vms11075rv通常电视显象管中的电

18、子速率meme10319.1kg电子质量解法提要hrxrp由prvrmerxhrp有pvmevrmerxh由有10319.11036.631034vrmerxh0.1ms17.28vvr此结果表明,即电子的波动性,不会对显象管的正常工作造成严重影响.30作业选解8j缝宽x电子束pad？Rox1联系单缝衍射中央亮纹宽的计算一级暗纹的角位置asinjl一级暗纹在屏上坐标x1aRllph德布罗意波长得d2x12aRl2aRhp作业选解作业选解已知在电子束单缝衍射中,入射电子的动量为缝宽为缝屏距为apR求衍射图样中心亮纹宽d(Rda(设RdatanjsinjRx1因有31作业选解9缝宽x电子束paoD

19、xp作业选解作业选解已知a0.1nm。Dxp则衍射电子横向动量的最小不确定值电子束单缝衍射的缝宽DxphDxha6.631034110106.631024NsDx根据位置和动量的不确定关系rxprxha,32作业选解10沿 轴动量的不确定量大小prl2hlrxddpllrrxprxh位置和动量的不确定关系rxprh2llr500021032.51010A。2.5m作业选解作业选解已知l5000A。波长为lA。r103的光沿x轴正向传播,若光波波长的不确定量为则光子的 坐标不确定量xrxm。有lph由phlddpl2lh则光子的动量33作业选解11作业选解作业选解由rpxpmv有rmvhrpx由

20、rxl已知rx则rpxrxlhh得rvmrpxlhmmpmvmv如果某运动粒子的位置不确定量rx等于该粒子的德布罗意波长l证明其速度的不确定量,rvv其速度34作业选解12作业选解作业选解如果某一维运动粒子的动量不确定量rx等于该粒子的动量l证明其位置的不确定量,其德布罗意波长rpxphrpx由rx已知rx则rpxhprpxhp因l得hprxhpl35完下册完36后续选讲内容后续选讲内容37第四节Wave function波函数19 - 3ssss38引言 量子力学是描述微观粒子运动规律的学科。它是现代物理学的理论支柱之一，被广泛地应用于化学、生物学、电子学及高新技术等许多领域。 本章主要介绍

21、量子力学的基本概念及原理，并通过几个具体事例的讨论来说明量子力学处理问题的一般方法。39波函数回顾：德布罗意关于物质的波粒二象性假设速度为v质量为m的自由粒子,Ep.,一方面可用 能量 和 动量 来描述它的粒子性nl另一方面可用 频率 和 波长 来描述它的波动性一、波函数 波函数是描述具有波粒二象性的微观客体的量子状态的函数，知道了某微观客体的波函数后，原则上可得到该微观客体的全部知识。下面从量子力学的基本观点出发，建立自由粒子的波函数。波函数及其统计解释波函数及其统计解释40自由粒子波函数在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf 应用德布罗意公式phlhnEEnh

22、l1php2hh1p2hh即即即的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pEA沿 方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()trei(t)pErhA41续上在量子力学中用复数表达式：应用欧拉公式取实部eifcosfisinf 应用德布罗意公式phlhnEEnhl1php2hh1p2hh即即即沿 方向匀速直线运动r的自由粒子的波函数为Y,()tr

23、ei(t)pErh的自由粒子的波函数为Y,()xteiAnp2l(tx)沿 X方向匀速直线运动 在波动学中，描述波动过程的数学函数都是空间、时间二元函数一列沿 X 轴正向传播的平面单色简谐波的波动方程A,y()xtcosp2Tl(tx)cosnp2l(tx)Aei,y()xtnp2l(tx)Aeih(tx)pExAAY,()tre(t)pErihA自由粒子的波函数 自由粒子的能量和动量为常量，其波函数所描述的德布罗意波是平面波。不是常量，其波函数所描述的德布罗意波就不是平面波。对于处在外场作用下运动的非自由粒子，其能量和动量外场不同，粒子的运动状态及描述运动状态的波函数也不相同。微观客体的运动

24、状态可用波函数来描述，这是量子力学的一个基本假设。42概率密度二、波函数的统计解释 设描述粒子运动状态的波函数为 ，则Y,()tr 空间某处波的强度与在该处发现粒子的概率成正比；在该处单位体积内发现粒子的概率（概率密度）P,()tr与 的模的平方成正比。,()trYP,()trY,()tr2Y,()tr*Y,()tr*Y,()trY,()tr是的共轭复数德布罗意波又称 概率波波函数又称 概率幅取比例系数为1，即Max Born (18821969)玻 恩 1926 年提出了对 波函数的统计解释43波函数归一化rXYzOxyzdVxddyzd因概率密度P,()trY,()tr2故在 矢端的体积元

25、 内rdVxddyzd发现粒子的概率为dVxddyzdP,()trY,()tr2 在波函数存在的全部空间 V 中必能找到粒子，即在全部空间 V 中 粒子出现的概率为1。dVY,()tr2VVY,()tr*Y,()trdV1此条件称为 波函数的归一化条件满足归一化条件的波函数称为 归一化波函数波函数具有统计意义，其函数性质应具备三个标准条件：44概率波与经典波德布罗意波（概率波）不同于 经典波（如机械波、电磁波）德布罗意波经 典 波是振动状态的传播不代表任何物理量的传播波强（振幅的平方）代表通过某点的能流密度波强（振幅的平方）代表粒子在某处出现的概率密度概率密度分布取决于空间各点波强的比例，并非

26、取决于波强的绝对值。能流密度分布取决于空间各点的波强的绝对值。 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，不影响粒子的概率密度分布，即 和C 所描述德布罗意波的状态相同。YY 因此，将波函数在空间各点的振幅同时增大 C倍，则个处的能流密度增大 C 倍，变为另一种能流密度分布状态。2波函数存在归一化问题。波动方程无归一化问题。波函数存在归一化问题。45波函数标准条件波函数的三个标准条件：连续因概率不会在某处发生突变，故波函数必须处处连续；单值因任一体积元内出现的概率只有一种，故波函数一定是单值的；有限因概率不可能为无限大，故波函数必须是有限的；以一维波函数为例，在下述四种函数曲线中，只有一种

27、符合标准条件YYYYXOXOOXOX符合不符合不符合不符合46算例例设某粒子的波函数为Y,()xt0exApasinithE()x0,xa()x0a求归一化波函数概率密度概率密度最大的位置解法提要0aeAithExpasin(eAithExpasin(xd令YY*2Yxdxd0a0a1A,求2Yxd0aA20asinxpa2xd1积分得：a2A21,A2a得 到 归 一 化 波 函 数 ：Y,()xt0expasinithE()x0,xa()x0a2a概率密度P,()xtY,()xt2()x0,xa()x0a0sinxpa2a2P,()xt得令dPxd0求极大值的 x 坐标dxd0sinxpa

28、2a2(2asinxpa2p2解得xa2(0,a另外两个解x处题设Y0处P,()xt最大YP2Y0aXX0aa2a22a2a1147第五节19 - 4ssss薛定谔方程Schrodinger equation48薛定谔方程引言经典力学牛顿力学方程pFmddtvddt根据初始条件可求出经典质点的运动状态r()t,p()tr0p0r()tp()tXYzO经典质点有运动轨道概念不考虑物质的波粒二象性量子力学一、引 言 针对物质的波粒二象性微观粒子无运动轨道概念zXYOYr(t,(运动状态Yr(t,(波函数量子力学方程？是否存在一个根据某种条件可求出微观粒子的薛定谔方程薛定谔方程49基本算符 量子力学

29、中的 算符是表示对某一函数进行某种数学运算的符号。在量子力学中，一切力学量都可用算符来表示。这是量子力学的一个很重要的特点。算 符劈形算符数学运算符号拉普拉斯算符seexi+yjee+zeekeex+22yee22zee22s2动量算符pihs动能算符T2mh2s2哈密顿算符()含动、势能H2mh2s2+()rU,t位矢算符rr力 学 量 算 符 统称 举 例F()若 作用在某函数 上的效果FY和 与某一常量 的乘积相当，YF即FYFY则F称为 的 本征值FY称为 的 本征函数FY所描述的状态称为 本征态力学量的可能值是它的本征值力学量的平均值由下述积分求出FFY*FYxyzddd50薛定谔方

30、程二、薛定谔方程二、薛定谔方程1925年德国物理学家薛定谔提出的非相对论性的量子力学基本方程获1933年诺贝尔物理学奖薛定谔Enwin Schrodinger:（1887-1961）薛定谔Enwin Schrodinger:当其运动速度远小于光速时它的波函数 所满足的方程为Y质量为 的粒子m在势能函数为 的势场中运动()trU, 它反映微观粒子运动状态随时间变化的力学规律，又称含时薛定谔方程。2mh2eex+22yee22zee22()()rU,t+H式中， 为哈密顿算符，H2mh22s()rU,t+iHeethYY薛定谔方程薛定谔方程51定态薛定谔方程三、定态薛定谔方程可分离变量，写成解释：

31、U()rU若则Y()r,tY()r,tY()rf()tihf()tdtdEf()t积分f()t解得CteihEC将常量 归入 中，得Y()rYY()rteihE定态波函数此外，对得HYEY定态薛定谔方程ihY()reetf()tHY()rf()t故ihY()rf()tHY()rE常量()时间的函数空间的函数tf()tddHEY()rY()r由对应一个可能态有一常量E定态薛定谔方程势场只是空间函数U()rU即若粒子所在的E有一个能量定值HYEYY()r,tiHeethYY含时薛定谔方程HU()r,t+2mh22sYHU()r+2mh22sYY()rteihE定态波函数对应于一个可能态，则52其概

32、率密度P(),trY(),trY(),tr*2Y(),trY()rteihEY()retihEY()r2与时间无关所描述的状态。它的重要特点是：所谓“定态”，就是波函数具有 形式Y()rteihEY(),tr定态波函数Y()rteihEY(),tr中的 称为 振幅函数Y()r（有时直称 为波函数）。Y()rY()r的函数形式也应满足统计的条件连续、单值、有限的标准条件；归一化条件；对坐标的一阶导数存在且连续（使定态薛定谔方程成立）。定态问题是量子力学最基本的问题，我们仅讨论若干典型的定态问题。HYEY若已知势能函数 ，应用定态薛定谔方程()rU可求解出 ，并得到定态波函数Y()rY()rtei

33、hEY(),tr续上53态跌加原理四、态叠加原理 为薛定谔方程的两个解，分别代表体系的两个可能状态。Y12Y设Y为它们的线性叠加即Y+1CY12C2Y1C2C为复常数将上式两边对时间ih求偏导数并乘以eetihYih1CeetY1+2C2Yeet因Y12Y都满足薛定谔方程iheetY1HY1i2YeethH2Y即1CHY1+2CHY2(H1CY1+2CY2(HY这表明：体系两个可能状态的叠加仍为体系的一个可能态。称为 态叠加原理54第六节19 - 5ssss一维无限深势阱中的粒子Particle in one-dimensionalinfinite deep potential well55一

34、维无限深势阱一维无限深势阱粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维无限深势阱。0U()x8L(x0)L(x0,x)0LX88U()x 应用定态薛定谔方程可求出运动粒微观系统中，有关概率密度、能量这是一个理想化的物理模型，子的波函数，有助于进一步理解在量子化等概念。56续上求解2mh22x2Y()xddEY()x阱内U()x0阱外U()x8Y()x只有0因Y()xY()xddx及要连续、有限，薛定谔方程才成立，在阱外故粒子在无限深势阱外出现的概率为零。m 设质量为 的微观粒子，处在一维无限深势阱中，该势阱的势能函数为0U()x8L(x0)L(x0,x)阱外阱内建立定

35、态薛定谔方程HYEY一维问题H+U()x2mh22eex2+U()xY()x2mh22x2Y()xddEY()x0LUX88()x57续上求解求定态薛定谔方程的通解阱内2mh22x2Y()xddEY()x即02x2Y()xdd+Y()xE2mh2令2kE2mh2得2x2Y()xdd+2k0Y()x此微分方程的通解为+Y()xAexkiBxkie其三角函数表达形式为()Y()xsindAxk+A式中 和 为待定常数d根据标准条件确定常数d和k,并求能量 的可能取值EAsinkL0以及x0在边界 和xL处Y()xA0又因d0,得Y()0Asind0()Y()LAsinkL+d0的取值应与阱外 连续

36、，Y()x0边界处的Y()x故得及kLpn,()n0+1,2+,n0时阱内 不合理 舍去,Y()x0n的负值和正值概率密度相同。同一取kpnL()n1,2,得Epnh222L22m()n1,2,n58续求解求归一化定态波函数()Y()xsindAxk+由上述结果L(x0,x)阱外Y()x0阱内L(x0)及kpnL()n1,2,d0,得AsinxpnLY()xn()n1,2,Y()xn应满足归一化条件88Y()xnx2d2xdA0LsinxpnL21得积分2dA0LsinxpnL2pnLxpnL()xpnL()2ApnL12241sin2xpnL()0L22AL1A2L归一化定态波函数Y()xn

37、0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)概率密度PY()xnn()x20L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)259势阱问题小结能量量子化极不明显，可视为经典连续。间距太小在微观粒子可能取Esn()2+n1ph22L22m如，电子m9.110 31 kg处在宽度 10 - 10 m ( 原子线度)的势阱中L算得Esn()2+n1 37.7 eV能量量子化明显处在宽度 10 2 m ( 宏观尺度)的势阱中L算得Esn()2+n1 37.7 10 -15 eV 能量量子化是微观世界的固有现象从能级绝对间隔看，从能级相对间隔sEnEn()2+n1n2看，则n8sEnEn()0的各种能态中，随

38、着 值增大，逐渐向经典过渡。n一维无限深势阱中的微观粒子 （小结）()n1,2,n2ph22L22mEn能量 量子化Enph22L22mE1称基态能或 零点能相邻能级的能量间隔EsnEn+1En()2+n1ph22L22mEnn1E1n24E1E19n3波函数Y()xn0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)0LX1Y()x3Y()x0LXn3Y20LX()xn2n1Y()xn,tY()xnteihEn好比驻波Enwnh0L(x0,x)sinxpnL2LL(x0)2概率密度Pn()xY()xn20LX1()xn120LX()xn2PP30LXPn3()xPn()x0的 称节点位置Pn()x

39、极大的 称最概然位置xxn增大,节点数增多,最概然位置间隔变小。 很大，概率n密度趋近均匀分布。60势垒一、势 垒()xU0a0UX()xU0U0a)x0,x)x0a粒子在某力场中运动，若力场的势函数 U 具有下述形式该势能函数称作一维矩形势垒。按经典力学观点，在量子力学中，能量 的粒子E0U不可能穿越势垒。后才能下结论。应求解定态薛定谔方程隧 道 效 应隧 道 效 应61隧道效应二、势垒贯穿 隧道效应E2mh22k102x2Ydd+Y2k102x2Ydd+Y2k2E2mh22k0U()2)x0aa)x0,x区YB2+xAekixkieA12+xekixkie1+xekixkie1CBCIII

40、III(区区(, 式中 得上述微分方程的解为1()xU0a0UXIIIIII设：一矩形势垒的()xU0U0a)x0,x)x0a势能函数 在势函数定义的全部空间粒子的波函数都应满足薛定谔方程HYEYHU+2mh22x2dd()x,一质量为 、能量为E0Um的粒子由 区向势垒运动I62续上YB+xAekiA2xkie1+xeki1+xeki1xkieC2xkieBC区IIIIII(区区1入射波()xUX0aIIIIII+反射波透射波CIII区无反射，0Y入入射波反Y反射波透Y透射波根据边界条件 和 处x0axY和xdYd必须连续，可求方程中各系数的关系。透射粒子数入射粒子数透射系数D透YY入22A

41、C22为描述粒子透过势垒的概率引入e2a2kD8h2mE0U()k2为原设a为势垒宽度估算表明, 可见，粒子能穿过比其能量更高的势垒， 这种现象称为 势垒贯穿 亦称 隧道效应。这是微观粒子波动性的表现。 隧道效应已被许多实验所证实，并在半导体器件、超导器件、物质表面探测等现代科技领域中有着重要的应用。63扫描隧道显微镜三、扫描隧道显微镜（STM）两金属的平均逸出电势垒高度210U120U+()0Ud0U120U金属1金属2逸出电势垒高金属1逸出电势垒高金属2 金属中的电子由于隧道效应有可能穿越比其能量更高的表面势垒（逸出电势垒）而逸出金属表面，在金属外表面附近形成电子云，电子云的分布形式与金属

42、晶体的结构和表面性质有关。 若两块金属表面相距 很近，至使表面的电子云发生相互重叠，此时若在两金属间加一微弱电压 （操作电压），则会有微弱的电流 （隧道电流） 从一金属流向另一金属，并可表示为dVTIT实验表明， 只要改变 0.1 n m(原子直径线度）， 就会引起 变化一千倍左右。扫描隧道显微镜利用隧道效应中的这种灵敏特性，将一金属做成极细的探针（针尖细到一个原子大小），在另一金属样品表面附近扫描，它能够以原子级的空间分辨率去观察物质表面的原子结构。dITIT8VTed0UAd0U若势垒宽度 和势垒平均高度 分别以 n m 和 eV 为单位时， 约为1。A64续上测试样品测试样品扫描探针扫描

43、探针电子云dITVTSi (111)表面 77 元胞的STM图像亮点表示突起，暗部表示下凹IT8VTed0UA电子测控及数据处理系统计算机显示系统XYz横向()XY分辨率达 0.1 n mz纵向()分辨率达 0.005 n m真空或介质沿XY逐行扫描的同时，自控系统根据反馈信号调节针尖到样品表层原子点阵的距离，IT使 保持不变。针尖的空间坐标的变化反映了样品表面原子阵列的几何结构及起伏情况。经微机编码可显示表面结构图像。STM可用于金属、半导体、绝缘体和有机物表面的研究。是材料科学、生命科学和纳米科学与技术的有力武器。Atomic Resolution STM on Si (111) 65随堂

44、小议（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对。不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议66小议链接1（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对。不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议67小议链接2（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对。不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认

45、为是对的答案随堂小议68小议链接3（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对。不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议69小议链接4（1）粒子的坐标是不能精确确定的；（2）粒子的动量是不能精确测定的；（3）粒子的坐标和动量都是不能精确确定的；（4）以上结论都不对。不确定关系说明结束选择请在放映状态下点击你认为是对的答案随堂小议70第七节19 - 6ssss氢原子及多电子原子的结论conclusion on hydrogen atomand multiple- electroned a

46、tom71氢的薛氏方程氢原子薛定谔方程HYEYH+2mh2sU()r2jXYzmrq核电子一、氢原子的薛定谔方程r20e4peU()r氢原子中的电子处在核的库仑场中，其势能为球对称，并且与时间无关。应用定态薛定谔方程在球坐标系中定态薛定谔方程的形式为1r2eerr2(reeY)2jeeY22r2sinq10+()qeeeeYqsinqr2sinq1+22hm(+Er20e4pe)+Y1r2rr2(r)dddRd22hm+Er20e4pe+2h2m(ll+1(r2R0波函数 也是球坐标 的函数，令YrqjYRHF()r()q()j用分离变量法dd2Fj2+ml2F0；qsinq1dd()qsin

47、qdHd+2(ll+1(ml2sinqH0；得然后分别求解氢原子的薛定谔方程氢原子的薛定谔方程72能量、角动量能量、角量量子数本课程不深究其求解过程，仅着重讨论所得出的几点重要结论。1. 能量量子化Ene0m23pe422h2n21n1, 2, 3, n主量子数决定氢原子的主能量（与玻尔理论的结果一致，但这里是量子力学的求解结果，不是人为的假设。）2. 角动量量子化L()+ll1hl0, 1, 2, , (n 1)l角量子数（副量子数）决定角动量的大小（与玻尔的人为假设 有所 区别，实验证明 ，量子力学的结果更为准确。） Lhn73空间取向磁量子数3. 角动量的空间取向量子化决定角动量的取向0

48、, 1, 2, , llm磁量子数lmhLzlm 角动量 的空间取向是量子化的，通常设 Z 轴方向为某一特定方向L（外场方向）， 在此特定方向上的投影的可能值为LL()+ll1h2hl1时lm0, 1hLzlm0, hz0hhLLLL有 3 种可能取向它们在Z轴的投影值分别为l时2lm0, 1, 2L()+ll1hh6hLzlm0, ,h2hLLLLLh0zh2h2hL有 5 种可能取向它们在Z轴的投影值分别为例如：74电子概率分布氢原子电子概率分布二、氢原子核外电子的概率分布dd2Fj2+ml2F0；qsinq1dd()qsinqdHd+2(ll+1(ml2sinqH0；1r2rr2(r)d

49、ddRd22hm+Er20e4pe+2h2m(ll+1(r2R0YHFR()r()q()j氢原子核外电子的定态波函数可通过求解前面已经提到过的下述微分方程组而获得其波函数通常用下述形式表示量子数 的可能取值表示氢原子核外电子所处的可能状态，nmllHFR()r()q()jYnlml(r,q,j)mlnllmlYnlml(r,q,j)2为电子处于 定态时，在空间 nmll(r,q,j)(,)处出现的概率密度。F()jmlR()rnlH()qlml222为电子处于 态时沿 出现的概率密度。n,lrj,q为电子处于 定态时沿 出现的概率密度。lml为电子处于 定态时沿 出现的概率密度。ml75图示径

50、向概率分布示例n = 2 ,l = 0n = 1 ,l = 0电子沿径向出现的概率密度分布剖面示意图n = 2 ,l = 1r1rr1rr1r（用明暗定性示意概率密度大小）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13R()r2nln = 1 ,l = 0n = 2 ,l = 0n = 2 ,l = 10.30.10.50.40.2r1r0.6不同态的电子沿球坐标径向出现的概率密度分布曲线举例横坐标中的 表示玻尔第一轨道半径r176续上角向概率分布示例qZYlml00qZYlml10qZYlml11YZqlml210YZqlml2qZYlml22H()qlml2q 不同 态的电

51、子时沿角向 出现的概率密度分布举例：,lml图中，从原点引向曲线某点的距离，代表在该方向上概率密度的大小。F()jml2j由量子力学计算还可以得知，概率密度 与角向 无关。 因此，电子沿角向 的概率密度分布，可用 曲线,jqH()qlml2绕 Z 轴旋转所得的回旋面来描述。从原点引向回旋面某点的距离，代表在该 方向上概率密度的大小。,jq()77续上电子云示例n = 1,l = 0n = 2, l = 1n = 3, l = 2ml = 0ml = 0ml =1ml = 0ml =1ml =2以Z 为轴的回旋面上的电子云側视图n = 1,l = 0n = 2, l = 1n = 3, l =

52、2ml = 0ml = 0ml = 0ml =1ml =1ml =2含Z 轴的剖面上的电子云示意图综合考虑径向和角向的概率密度分布，得到 ，Ynlml(r,q,j)2可将这种概率密度的空间分布形象化地作成象云一样的图象，空间任何一点上云的密度（图中定性表示为明亮程度）与概率密度成正比。称为电子云图。所谓 “电子云”，并非表示一个电子 右图为处在几种的概率密度。示在某点发现电子个空间，它只是表同时占据云图的整意图。氢原子的电子云示不同的量子态时，78塞曼效应塞曼效应三、塞曼效应无外磁场时的某一谱线加外磁场后分裂成三条谱线光 源光 源BB外磁场 外磁场分光计这里仅以一种最简单的情况为例，将锌灯置于

53、强磁场中，在垂直于磁场的方向上观测，锌原子能级跃迁原来发射的单线，分裂成三条谱线。 塞曼效应是由于具有磁矩的原子在磁场中获得附加能量，使原来的一个能级发生分裂成若干个能级，谱线亦随之分裂。这一现象也证明了角动量空间量子化的存在。 若将光源置于足够强的外磁场中，它所发出的一条谱线会分裂成若干条相互靠近的谱线，这种现象是荷兰物理学家塞曼于1896年发现的，称为塞曼效应。79例续上若用玻尔的轨道模型作比喻erI+w好比圆电流2pwIe此圆电流的磁矩大小为mIpr221ewrme电子轨道角动量大小为Lmevrmewr2联立解得m2meeLmL与因反向，故mL2meeL()+ll1h在量子力学中，角动量

54、大小量子化相应地存在磁矩量子化m()+ll1h2mee()+ll1Bm称为 玻尔磁子Bm9. 27410 - 24 J T -1相应地存在磁矩取向量子化mz2meeLzlmBm角动量取向量子化hLzlm当沿 Z 轴方向对上述原子系统施以外磁场 B 时，磁力矩对各可能取向的 做功 ，使原子系统获得附加能量为mmBmzBlmBmrEBllm0, 1, 2, , ()附加能量 使得原子系统原来的一个能级分裂成 个能级，这是rEBl(+21)导致谱线分裂的重要因素之一。在不同光源、外磁场及观测方向的条件下，塞曼效应呈现更复杂的谱线分裂现象，对后来电子自旋的发现起了重要作用。80电子自旋银原子沉积记录屏

55、一束银原子分裂成两束一、斯特恩 盖拉赫实验NS非均磁场匀银原子发射源狭缝的银原子束l = 0，ml = 01924年德国物理学家斯特恩和革拉赫发明了的方法测量原子的磁矩。直接用原子束通过非均匀磁场时发生偏转电子的自旋电子的自旋对于外层只有一个价电子而且处于基态的银原子，其轨道角动量为零，磁矩本应为零，这样的原子束通过磁场时不应发生偏转，但实验结果是原子束分成了对称的两这一方法不但能直接证明角动量的空间量子化和原子磁矩的量子化，而且还发现，束。这预示着原子系统中还有另一类起源的磁矩，它在外场的方向上仅有两个投影81自旋角动量二、电子的自旋为了解释斯特恩-革拉赫实验，1925年美籍荷兰物理学家乌仑

56、贝克和古兹密特提出了电子自旋的概念：（1） 电子除空间运动外，还有自旋运动，与之相联系的有 自旋角动量 和 自旋磁矩。（2）自旋角动量 和轨道角动量一样，均服从角动量的s普遍法则， 的大小是量子化的ss()+1hsss称为 自旋量子数s仅有一个值，而且是半整数：s21s故23hszmshms称为 自旋磁量子数ms只能取两个值：ms+21（3） 在 Z 轴（外磁场）方向上的投影sszh21+故82自旋磁矩电子自旋磁矩研究表明，与电子自旋角动量相联系的自旋磁矩mssemez自旋磁矩外磁场方向上的投影mssemez+2heme+mB继斯特恩-革拉赫的基态银原子实验之后，1927年费蒲斯和泰勒用基态的

57、氢原子做了同类实验，结果也是分成两束，电子的自旋及自旋磁矩的存在进一步被证实。电子自旋是电子的固有性质，任何经典机械运动图像都不可能确切描述这种特性。其它基本粒子也有自旋特性。其中，质子和中子的自旋量子数 也是 。s21电子自旋角动量zs23h0h21h21s21电子自旋量子数电子自旋角动量大小s()+1hss电子自旋磁量子数ms21+23hs在 Z 轴（外磁场）方向上的投影szmsh21+h简称 自旋21h()83全同粒子全同粒子一、全同粒子与全同性原理全同粒子例如，所有的电子是全同粒子；所有的电质子也是全同粒子。质量、电荷、自旋等固有性质完全相同的微观粒子。全同性原理全同粒子体系中任何两个

58、粒子的交换，不会引起体系状态的改变。在经典力学中，即使固有性质完全相同的两个质点，是可以根据运动轨迹对它们进行追踪并加以辨认和区分的。但在量子力学中，轨道概念对微观粒子没有意义，不可能对全同粒子进行追踪和区分，全同粒子失去了个别性。因此，全同粒子在同样的条件下其行为是完全相同的，全同粒子体系中任何两个粒子的交换，不会引起体系状态的改变。全 同 粒 子全 同 粒 子84全同粒子波函数全同粒子系统的波函数在波函数一节中曾提到，波函数 和 描述同一状态，其概率密 YY度 相同。这里有必要结合全同性原理，定性地介绍一下量2YY*Y子力学中有关全同粒子系统的波函数的若干重要概念和结论。设某全同粒子系统的

59、波函数为 ，将其中的任意两个粒子互换后，系Y统状态不变，但其波函数有可能仍为 ，也有可能是 ，前者称为对YY称函数，后者称为反称函数。是对称的或反对称的，而且，其对称性不随时间的改变而改变。由量子力学可以证明（略），描述全同粒子系统的状态的波函数只能实验表明，自旋为 奇数倍的粒子，如电子、质子和中子，粒子2h系统用反对称波函数描述，这类粒子称为费密子。自旋为 偶数倍2h（包括零 ）的粒子，如光子、a粒子，粒子系统用对称波函数描述。这类粒子称为玻色子。85泡利不相容原理二、泡利不相容原理Wolfgang Pauli(19001958)泡 利Wolfgang Pauli(19001958)泡 利

60、1925年奥地利物理学家泡利在研究全同粒子系统的波函数时发现，若全同粒子系统由费密子组成，由于费密子系统的波函数是反对称函数，如果有两个粒子的状态相同，则系统的波函数为零，即不能有两个或两个以上的费密子处在同一个状态。这一结果称为 泡利不相容原理。对于原子系统，泡利不相容原理表明 在一个原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有两个完全相同的量子态。或者说，原子中的每一个量子态上最多只允许有一个电子。86原子的电子壳层结构名 称允 许 取 值含 义主量子数n = 1, 2, n磁量子数ml角量子数l= 0, 1, 2, ( - 1 )nl自旋磁量子数msms= 21 其值决定原子中电子的能量 其