高等数学各章知识要点及典型例题与习题详细精解

1、基本内容学习F(,)b奇函数)。注：偶函数MMM上无界.注：函数,)则称上是单调增加(或单调减少)的；如果对于,恒有：上是严格单调增加(或严格单调减少)的。为常数)，),(,(),当为有理数时,当为无理数时.,基本题型训练()g()(),g();,g;,g()g()()g()()(,令则()()e,()e()(),F,(,),()()F()(,)F()F(),(),g()ggg,g()g()g()F(x)=x+1，排除(B)、(C)；MN(B)F(x)是奇函数FdtF).F(x)为偶函数时，FFFFdtFdt(D)；故应选(A)。)函数理论框架图基本内容学习NN。若2.1(极限的不等式性质)b

2、bNNNb2.2(极限的唯一性)bb2.3(收敛数列的有界性)设MM,）。2.4(极限的不等式性质)g0，当()g()()g()推论(极限的保号性),或,2.5(极限的唯一性)设2.6(夹逼准则2.7(单调有界准则),b,b,b(即)，在b(即b,bb处无定义；(2),(1)(连续函数的有界性)设函数,b,bM,bM,b,b,bbMm,b.b(零点定理或根的存在性定理)设函数,bb,bbMM.MM.,o.CCC,),o,gggg.型),gggI,gg,ggg存在(或g法则(型),g,g,ggggggIII存在(或)。则.n!non()()Ln()n()n!non()()阶无穷小(后面章节还会讲

3、到)。,gmg(m)mg本章需要记忆知识ee(或e)nnn基本题型训练ne,e,e,()e注：设，其中，则()，从而()()，即()()edtedtedteeeeeeeee()()时，要用到以下结论:若()也可为)()()(),b,存在，并求该极限值.例1n(利用单调有界准则)n,nnnnLLniLnninninniLninnnninninnnninnLLnnnnn)e(),().时不可导，故应选(C),连续,()()()则()则()求下列极限(关于泰勒展式有关内容可参见第三章)e)eee)o(oooo)练习题一oonnmnmm()(),(A)有上界无下界.(B)有下界无上界.(C)有界,且(

4、C)有界,且(D)有界且,(D)不存在,则_有无穷多个第一类间断点,m)处的连续性和可导性.存在，并求该极限值.(,nn(,)()g(),bg),bgb(,b)g,mbmFFg极限理论框架图(数三、数四不要求)，理念）。会求分段函数的导数，会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。(数三、数四参数方程求导不要求)掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(数三、数四会用洛必达法则求极限)。了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数三、数四不要求)。基本内容学习()()(1)()(),()(),b()(),bb()(b)(),b()M(,()()M()()()表示位移，t()()()()

5、()()()()()，所以(1)又可写成()(函数的一阶微分与其导数的关系)。(1)可微与可导之间的关系:()()()()d()()d基本知识记忆()()ddud()(),)d)()()()()()()eedeed)d)ddd)d)ddd)d)d()d()基本题型训练()()()()()()()()()e)(e)e()eeee)d,)d参数式求导公式参数式求导公式dtF(,)()eF,F,F(,)F(,)F,F,e)eF(,)F)FeF(,)F(,)F(,)e)d()d)()b,(),()()()()bb()bb(),bb,()bb()b()(),dt()()()()()解：曲线()()()u

6、)uu)()基本内容学习d,，同样可定义函数的阶导数为n()n()n()直接法：所谓直接法是指求出所给函数的间接法：利用已知的高阶导数公式，通过四则运算、变量代换、泰勒级数的方法求()nn()nnnnnniui(m)nm(m)L(m)m-nnnnnneeeeeeeeeee()()e(),()e()e()e()()()()()()()()例3n.+在点(0,1)处的法线方程为+3+,n.ee,(),()e,e()().().d.().()处的_。n,)()b,b()().()b.().,在点(0,0)处不存在切线在点(0,0)处有切线()时，记()()()(,).点连续；2.求,b,b(),()

7、()()enn!en()()()gb掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理(数三、数四要求了解)，掌握换元积分法与分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数三、数四不要求)。掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心等)及函数的平均值。积分求解简单的经济应用问题)。()F()F)()()()F()()()F()F()C()()().F()()()F()C.()()积分常数.()F()F()()()F,F()C()C（*）但F()()，已知FF

8、dFFFeeCCCCCCII上存在原函数()I某一定点)II,b,轴上方取正号，下方取负号)是e不定积分又分第一换元积分法(凑微分法)与第二换元积分法，当被积函数或原函数分段表示时要()g()g()ggCC方式定义的，0,e,eeee)e第一换元积分法(凑微分法)()duF()C,);).dd()dd)d)d)C.)1.三角函数代换;)(),dtddtd.,dtdtdtddtdnbnbddbe;eee;.,.de,e,dt,例6d,称为分部积分公式.eeeeeee练习题三(1);（3）（3）(;.;5设.,b,bLiLb,b,i,),iniiiii(iL,),ii,ii.,i,bbiinnii

9、iii,bi,bniii,b,bb,bbb,b,b可积的充分条件：(1),b上连续；(2),b,b,bI()()CIb()()()b()bbbbb()g()b()bg()b()b()b()()b()()g(),bbbg(),bb（2）bb.mM,bm,MmbbMb,b,bb()()(b).bb,b,b,bF()()F()bF(b)F().,b,bdt).ddF()()(),FF()(),F).F()()()g(),Fgdt例1);bd(),b,b,b()().,b,；相应于第一换元积分法(凑微分法)，则是把右端的;.,du.,.dtdtuduuuuuudt,.,uuuduudu),dd)()d

10、t.dt.l,dt.()l,dt.nllbb.求FF,Fldtldtlllnn.b,b,bbb,bbFFF()()()(),b(,b)(,b)()(拉各朗日中值定理)()(1)在,b上连续；(2)在,b,bbb(,b)b(,b)b,b(,b)()g()g()gbgg()，在nnnn()n!nnnnnneenn!nenon!nnnnn!n!ononnn!nn!nnnnnnnonmmxmmmmmmmxmmmmmnmmmnn!nnononmmmmm!(无穷积分)bb(3)中右边若有一个极限不存在,则,MNM,mmNM,mm,上连续,且m,mm,m,b,无界函数的广义积分(瑕积分)bbbbb，(当,b

11、MbbMbmmbbm,mbm,mb,bbmm,则bbbm,mbb,brrr与eerrr,(r为自然数时,!函数,eee()e()e;.,”.于是(),.,.(),即ee的瑕点,因此该广义积分为混合型的。IQ,ee)轴上方的无界图形的面积是_eeeeeeeeeee()()()()(),b()(b)(,b)()(b)()(b)(,)(b,b),b,b,b,b()()bg,b,bbggFbgg,bF,b,bFFbF,bbggbggbggFFbggFbg,b,bb,b，使,b(反证)若对任意的,b,b,b,),b,bll,b,b(,)及(,b),()应用拉格朗日中值定理,至少存在一点,(,b),Fdt

12、FFFdtuuduuuduFFFF,LCLLCLLLLL,duu,()()g()交点为()()()g()(),上的平均值为_bb(b(),b,bFFbFFbFbbbbbbbbbbFbFb,bbb,bFbFbbbb(习题三(3),使(),benee3设4在5设6设，利用柯西中值定理,再利用拉格朗日中值定理先利用柯西中值定理,在利用拉格朗日中值定理F牛顿-莱布尼兹公式,它为使用原函数计算定积分提供了理论基础,但应注意它的使用条件:v的大小.记为v的大小.记为的向量.v本章要求(数二、数三、数四不要求)掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两个向量垂直、平行的条件。行、垂直、相交等

13、)解决有关问题。向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.vvvvv,uuv,其中,uuvM(,),M(,)uuuuuuvMM,r(1)一般式方程,C0/()()C()M(,)r,C(3)三点式方程M,M(,)M(,),b,b一般式方程(两平面交线)uur,12lmrM(,)l,m,rmtM(,)l,m,M,M(,)(4)参数式方程:bd:bd(bd)(bd),C1C2(1)平面/12(2)平面CC12(3)平面12L:L:lmLL1L/lmLL:lmnL:lmnL/LllmmnnLLllmm(3)直线LLM(,):lM(,)L:lmnF(,):F(,),/(,)(1)准线为:/,(1)准线为:/

14、,(,),/(,),/LL,:/,g,g,l,m,:,为母线上任一点的流动坐标,消去方程组,g,lm基本题型训练vvv,b,b,.vvvvvvvvvbb,b).vvvvvvvvvbb,b).vbvb,b)；（2）,bbvb成右手系.vbbij.bv,b,bbbv即与同向vvvvvvvvvvvijvvv(,b,)(,b,)(b).vv0=0,即为零矢量,.-即与反向vvvbvvv,b,b.（1）交换律bbvvvvvvv（2）分配律(b)bvvvvvv（3）与数乘矢量有结合律(b)()b(b).vvvvvvvvvvv,b,bbvvvvvv(b)()b(b)vvvvvvv(b)b.vvvvvvvvv

15、vb(,b,)vb为棱的平行六面体体积.(,b,)vb为棱的平行六面体体积.,b,/bb,b,b,vv,b,b,b,b,b,b,b,).bb,vvvvvv,b)vvbvvv,bvvvvvvvvb,b,b,例1,(,),并且等号成立的充要条件是,(,是与的夹角,是与的夹角,从而(,),uuuvuuuv,用平面的一般方程(待定系数)MML:L:/rruruurrrrL:LLuruurrruruurLLLLrrrij,C，即为ijLM找出所求直线所在的两个平面，用直线的一般方程(交面式)；:LLLLLPij3,L:L:LLLL:L:uruuruuurLLLLd(),ddL:,L:L:,L:LP0,0

16、,0LuuuuvP,L,LijL与,L并且与平行的平面L并且与平行的平面d例1d例1L:L:L:L*L与L与L的公垂线LL:uuuuv,L,L:L*L*LLP*,b,b,b,b,p,b,p,b,L:L:PijPLdLPij2uuuvuuuuv,是柱面上任一点,则PPPPuuuv2(练习四的平面方程是_rrrrrrrrrrrrm,bm,mmm,，化简表达式ML:平行的直线方程是_垂直，则此平面方程为_bburrrurrrb,bbburururur,b,为一平面在坐标轴上的截距，P,本章总结,若解答若解答因为处连续.5求下列函数的间断点并判别类型.10设函数1上连续，证明：对于任意选定的连续函数，

17、均有，则，使，则证明：设，则在上，由柯西中值定理可得，存在一个内有连续二阶导数，所以存在，使得内有连续二阶导数，所以存在解答，则，其中孔，求水流出时漏斗内水深的变化规律，并求出全部流出所需要的时间.过抛物线上的一点作切线，问解答为任意常数)的切平面方程.内作内接直角平行六面体，求其最大体积.解答解答解答22上的一段弧.解答连接围成区域，令，其中其中是通过点11,其中,若从所割下的部分.!函数极限与连续性!第1节导数与微分高阶导数不定积分练习题三(1)定积分习题三(2)习题三(3)右极限间的关系。(数三、数四：了解数列极限和函数极限(包括左、右极限)掌握极限的性质及四则运算法则。(数三、数四：了

18、解极限性质、掌握穷小量求极限。(数三、数四：理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法，了解无穷大量的概念及其无穷小量的方法)。基本内容学习F(,)b为偶函数(或上有定义,如果MM,则称M上有定义,若存在一个与,恒有：上是单调增加(或单调减少)的；,恒有：(或)则称上是严格单调增加(或严格单调减少)的。，若),(,(),当为有理数时,当为无理数时.,基本题型训练()g()(),g();,g;,g；(4)()g()()，而)g()()(,令则()()e,()e()(),F,(,),()()F()F()F()(,),(),g(),gggg()g(),g()平面上画出(这是若干条平行于轴的

19、直线)；MN排除(D)；故应选(A)。FdtF).FFFFdtFdt为偶函数，可见选(A)。f(x)=1，则取F(x)=x+1，排除(B)、(C)；f(x)=x，)1，故应选(B)函数理论框架图基本内容学习NN2.1(极限的不等式性质)bbN，当N；若Nb2.2(极限的唯一性)bbMM,）。2.4(极限的不等式性质)g()g()()g(),或,2.5(极限的唯一性)设,b,b,b)，在b,bb处无定义；(2)不存在；(3),(1)(连续函数的有界性)设函数,b,bM,bM最值定理)设函数,b,b,bbMm,b.b,bb,bbMM.MM.,o.CCC,),o洛必达法则：法则,gg,ggggI,g

20、g,ggg存在(或)。ggg.,g(在)且g型),g,gg存在(或ggg.IIIn!non()()Ln()n()n!non。因()()阶无穷小(后面章节还会讲到)。,gmg(m)mg本章需要记忆知识e(或e)nnn基本题型训练ne,e,e,()e，则()()()()()edtedtedteeeeeeeee()()时，要用到以下结论:若()也可为)()()(),b,例1(利用夹逼准则)(利用单调有界准则),nn.nnLniLnninninniLninnnniLnniLnnnninnLLnnnnn)，故原式=e()f(x)在,().时不可导，故应选(C),()()()则()则()求下列极限(关于泰

21、勒展式有关内容可参见第三章)e)eeee)o(ooo)o练习题一oo有连续的导函数，,若时，阶无穷小，则nnmnmm()(),(A)有上界无下界.(B)有下界无上界.(C)有界,且(C)有界,且(D)有界且,有无穷多个第一类间断点,m)L(,Ln(,b)n(,)()g(),bg),bgb(,b)g个实根.,参考答案mbmFFg极限理论框架图物理量(数三、数四不要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系。(数导数。(数三、数四参数方程求导不要求)掌握用洛必达法则求未定型极限的方法(数三、数四会用洛必达法则求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数三、数四不要基本内容学习()()()()

22、2(左右导数)：函数,(3(函数在区间上可导)：如果(),b,b(),bb()(b)(),b()M(,()()M()()()()()()()()()()()()()(1)由于当()，所以(1)又可写成()(函数的一阶微分与其导数的关系)。(1)可微与可导之间的关系:()()()()()()()基本知识记忆()()ddudd()()()()()()()()为实数)eedee,)d)d)d)ddd)d)ddd)d)d()d()基本题型训练()()()()()()()()()e)(e)e()eeee)d,)d参数式求导公式参数式求导公式dtF(,)()eF,F,F(,)F,F,F(,)e)eF(,)

23、F)FeF(,)F(,)F(,)e)d()d)()b,(),，在b()，在b(),()bb()b,于是，b()bbbb()(),),处的连续性与可导性.,dt()()()()()解：曲线()()u)()uu)()基本内容学习,d,()()()()()nn()nnnnnniui(m)nm(m)L(m)m-nnnnnneeeeeeeeeee()()e(),()e()e()e()()()()()()()()例3n.+3+,n.,(),()eee,e)d()().().d.().()(),)()，且b,b()().()b.().,在点(0,0)处不存在切线在点(0,0)处有切线()时，记()()()(

24、,).点连续；2.求,b,b(),()()()enn!en()()()gnb理(数三、数四要求了解)，掌握换元积分法与分部积分法。会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数三、数四不掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲()F()F)()()()F()()()F()F()C()()().F()()()积分常数.()F()F()()()F,F()C()C（*）但F()()FFdFFFeeCCCCCCII()eeII,b,边梯形的面积函数(指代数和()g()g()ggCC对值是以不同的方式定义的，0,e的分界点为1,eeee)e第一换元积分法(凑微分法)()du

25、F()C,);).ddd()dd)d)d)C.)1.三角函数代换);.(),dtd.,dtdtdtddtnbnbdnbnbdeeee,;.;e,dt,d例6d,.edeeeeee练习题三(1);（3）（3）(;.;5设.,.,b,bLi,i,),iiLb,biniii(iL,),.iiiiiinni,biiniiii,bbiii,b,b,bb,bbb,b,b,b,b,b,bI()()CIb()()()b()bbbbb()g()b()bg()b()b()b()()b()()g(),bbbg(),bbbb.mM,bm,MmbbMb,b,b()()(b).bb,b,b,bF()b()F()bF(b)

26、F().dtdt).ddF()()(),F).F,F).F()()()g(),Fgdt例1);d(),b,b,bb()().,b,;.,du.,.dtdtuduuuudt,.,uuduudu),习题三(2)d连续,则连续,则)()dt.dt.()FnnndtFnlll,dt.bb.F.求F,Fe.nnldtlll.b,bb,bb,bbFFF1(费尔马定理)若函数()(1)函数()()(洛尔定理)(),b(,b)(,b)()(拉各朗日中值定理)(),b上连续；(2)在,b,bbb(柯西中值定理)()g()(,b)b,(,b)b(,b)()g()g()gbgg()nnnn()n!nnnnnneen

27、nn!nenon!nnnnn!n!ononn!nn!nnnnnonmmxmmmmxmmmn!nnononmmmmm!(无穷积分)bb(3)中右边若有一个极限不存在,则,MNM,mxmNM,mm,m,mm,m,b,无界函数的广义积分(瑕积分)bbbbbbbmmbbm,mb,bMbbMbbM,bbmmbbbm,mbb与e与eerrrrrr,(rnn!情形,再比较被积函数,eee()e()e.,(),.,.()eeIQ,ee)轴上方的无界图形的面积是_eeeeeeeeeee()()()()(),b()(b)(,b)()(b)()(b)(,)(b,b),b,b,b,b()()bg,b,bbggFbgg

28、,bF,b,bFFbF,bbggbggbggFFbggFbg,b解题攻略：不等式的证明是常考的综合题,结合了函数性质、中值定理等很,bb,b,b(反证)若对任意的,b,b,b,),b,bll,b,b(,)及(,b),(),(,b),FdtFFFdtuuduuuduFFLLF,L,L(2)求LLL,CLduu,()()g()()()()g()(),上的平均值为_,上的平均值为_bb(b(),b,bFbFbFbbbbFbbbbbbFbFb,bbb,bFbFbbbb(习题三(3)(),bnee3设4在5设先利用柯西中值定理,在利用拉格朗日中值定理Fee不定积分的运算,应熟练掌握换元法及分部积分法牛顿-莱布尼兹公式,它为使用原函数计算定积分提供了理论基础,但应变上限积分的求导,变限积分是被积函数的一个原函数本章要求(数二、数三、数四不要求)vvv直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题。向量：既有大小又有方向的量，又称矢量.vvvv,vuuv,vvuuvM(,),M(,)uuuuuuvMM,r(1)一般式方程,C0/()()C()M(,)r,CM(,)M,M(,),b,b一般式方