初中数学浙教版七年级下册第2章二元一次方程组-整合提升密码

1、解码专训一：运用定义法列方程组求字母系数名师点金：1.运用相关概念列方程组求字母系数的值的问题，一般需要从满足概念的条件入手，通过方程建模，从而求出适合这个条件的字母系数的值2有的条件常以隐蔽的形式出现，我们要从题目中去挖掘，同时还要注意一些限制条件 利用二元一次方程(组)的定义求字母系数或代数式的值1若方程3x3m2yn4是二元一次方程，那么m_，n_2已知方程组eq blc(avs4alco1(3xy|m2n|10，,（m1）x3nm220)是关于x，y的二元一次方程组，求2m4n的值3若方程组eq blc(avs4alco1(f(2ab,x)2xy4，,3xf(b5,y)0)是关于x，y

2、的二元一次方程组，求a22b的值 利用方程组的解求方程组中的字母系数的值4若关于x，y的方程组eq blc(avs4alco1(axby1，,3bxay1)的解为eq blc(avs4alco1(x3，,y5，)求a，b的值 利用同类项的定义求字母系数或代数式的值5已知3xm2ny4与eq f(1,2)y2mn x7是同类项，则m_，n_6若xaby5与3x4y2ba的和是单项式，求(2ab)(a3b)的值 利用几个非负数和为0求代数式的值7已知(xy3)2|2xy|0，求(xy)2 016的值解码专训二：常见消元的八种类型名师点金：解二元一次方程组的基本思路是通过“代入”或“加减”达到消元的

3、目的，使二元一次方程组转化为一元一次方程而求解，可对于有些方程组，我们也可以根据方程组的未知数的系数的特点，采用一些消元技巧，以达到消元的目的，最终求出方程组的解 其中一个未知数的系数绝对值为1的1解方程组eq blc(avs4alco1(x3y2，,3x2y28.) 其中一个未知数的系数相差1的2解方程组eq blc(avs4alco1(4x7y222，,5x6y217.) 两个未知数系数之差分别相等的3解方程组eq blc(avs4alco1(9x3y9，,7x5y1.) 两未知数系数之和分别相等的4解方程组eq blc(avs4alco1(2x3y7，,3x2y8.) 两个方程的常数相同

4、的5解方程组eq blc(avs4alco1(5xy110，,9yx110.) 一个未知数的系数成倍数的6解方程组eq blc(avs4alco1(3m4n7，,9m10n250.) 创造条件，整体代入消元7解方程组eq blc(avs4alco1(x15（y2），,3（2x5）4（3y4）5.) 有一个方程是比例式的8解方程组eq blc(avs4alco1(f(x1,5)f(y3,2)，,3x4y32.)解码专训三：根据方程组中方程的特征巧解一次方程组名师点金：1.解二元一次方程组的常用方法是代入法和加减法，这两种方法有着不同的适用范围2解二元一次方程组除以上两种方法外，还有一些特殊解法如

5、：整体代入法、整体加减法、设辅助元法、换元法等，因此解方程组时不要急于求解，要先观察方程组的特点，因题而异，灵活选择方法，才能事半功倍 用整体代入法解方程组1用代入消元法解方程组eq blc(avs4alco1(4x8y12，,3x2y5.)2解方程组eq blc(avs4alco1(f(2,3)（2xy）4，,f(3,4)xf(5,6)（2xy）8，) 用整体加减法解方程组3解方程组eq blc(avs4alco1(3x2（xy）1，,3y4（xy）5.) 反复运用加减法解方程组4解方程组eq blc(avs4alco1(2 017x2 018y2 016，,2 016x2 015y2 01

6、7.) 用设辅助元法解方程组5解方程组eq blc(avs4alco1(f(x,2)f(y,3)，,4x3y3.)6解方程组eq blc(avs4alco1(xy32，,yz21，,xyz60.) 用换元法解方程组7解方程组eq blc(avs4alco1(f(xy,2)f(xy,3)6，,2（xy）3x3y24.)解码专训四：图表信息问题的四种类型名师点金：二元一次方程组的应用是初中教材中的重要内容，也是中考的热点内容之一，特别是近几年中考中，将已知条件以图形或图表等形式给出，出题手法新颖，给人以耳目一新的感觉 实物信息类1如图，在东北大秧歌的踩高跷表演中，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷

7、与腿重合部分的长度为28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224 cm，设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm，求x、y的值 (第1题) 表格信息类2(中考连云港)小林在某商店购买商品A、B共三次，只有一次购买时，购买A、B同时打折，其余两次均按标价购买，三次购买商品A、B的数量和费用如下表：购买商品A的数量(个)购买商品B的数量(个)购买总费用(元)第一次购物651 140第二次购物371 110第三次购物981 062(1)小林以折扣价购买商品A、B是第_次购物；(2)求出商品A、B的标价；(3)若商品A、B的折扣相同，问商店是打几折出售这两种商品的？ 几何图形类3某纸品

8、厂要制作如图所示的甲、乙两种无盖的长方体小盒，该厂利用边角料裁出了长方形和正方形两种纸片(如图丙)，其中长方形纸片的宽与正方形纸片的边长相等现将150张正方形纸片和300张长方形纸片用来制作这两种小盒(不计连接部分)，问可以做甲、乙两种小盒各多少个？(第3题) 对话信息类4在当地农业技术部门指导下，李明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收，下面是李明和爸爸、妈妈的一段对话(如图)请你用所学过的知识帮助李明算出他们家今年菠萝的收入(收入投资净赚)(第4题)解码专训五：列方程组解应用题的七种常见类型名师点金：1.利用二元一次方程组解应用题的重要环节是寻找题目中的等量关系，然后根据等量关系和所

9、设的未知数列方程组2在实际问题中，一般涉及几个未知量，可直接设要求的未知量，也可间接设未知量，再求出要求的未知量，如何设元应从实际出发，遵循“直(接)难则间(接)”的原则 数字问题1有甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1 188，求这两个两位数如果设甲数为x，乙数为y，则得方程组() blc(avs4alco1(100 xy100yx1 188,100yx201x) blc(avs4alco1(100 xy201x,100yx100 xy1 188) blc(avs4alco1(100 xy100yx1

10、188,100yx201y) blc(avs4alco1(100 xy201y,100yx100 xy1 188)2一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，将个位数字与十位数字交换位置后所得的新两位数比原两位数的3倍少1，则原两位数为_ 行程问题3育才中学新建塑胶操场跑道一周长400 m，甲、乙两名运动员从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙运动员的速度4小明从学校到县城参加运动会，如果他每小时走4 km，那么走完预定时间离县城还有 km；如果他每小时走5 km，那么比预定时间早半小时就可到达县城，问学校到县城的距离是

11、多少千米？ 储蓄问题5张文以两种形式分别储蓄了2 000元和1 000元，一年后全部取出，所得利息为元，已知这两种储蓄年利率的和为%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？ 工程问题 6.一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3 520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可完成，需付两组费用共3 480元问：(1)甲、乙两组单独工作一天，商店各应付多少元？(2)单独请哪组，商店所付费用较少？(3)若装修完后，商店每天可盈利200元你认为如何安排施工有利于商店经营？说说你的理由 配套问题7现有190张铁皮，每张铁皮可制作8个盒身或22个盒底，一个盒身

12、与两个盒底配成一个完整的盒子，那么用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？ 增长率问题8某旅行社2023年15月份接待前往以福鼎太姥山、屏南白水洋、福安白云山为主要景点的宁德世界地质公园的游客5 000人.2023年比2023年同期游客量增加40%，其中外地游客量增加50%，本地游客量增加10%.求2023年15月份该旅行社接待外地游客和本地游客各多少人？ 图形问题9如图所示，10块相同的长方形地砖拼成一个大的长方形，每块地砖的长和宽分别是多少？(第9题)解码专训六：思想方法荟萃名师点金：本章的主要思想方法有：转化思想、整体思想、数形结合思想、分类讨论思想等 转化思想

13、1二元一次方程xy7的非负整数解有()A6组B7组C8组 D无数组 整体思想2有甲、乙、丙三种商品，如果购买甲3件、乙2件、丙1件共需315元钱；购买甲1件、乙2件、丙3件共需285元钱那么购买甲、乙、丙三种商品各一件共需_元钱3某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成；乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成；丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成这些盆景一共用了2 900朵红花、3 750朵紫花，则黄花一共用了_朵 数形结合思想4小华写信给老家的爷爷，问候八一建军节，折叠长方形信纸，装入标准信封时发现：若将信纸如图连续

14、两次对折后，沿着信封口边线装入时，宽绰有 cm；若将信纸如图三等分折叠后，同样方法装入时，宽绰 cm.试求信纸的长与信封的口宽 (第4题) 分类讨论思想5用100元钱买15张邮票，邮票有4元、8元、10元三种面值，可以怎么买？答案解码专训一 f(1,3)；1点拨：根据二元一次方程的定义可知3m1，n1，从而求出meq f(1,3)，n1.2分析：根据方程组中各含未知数的项的次数等于1，可得到关于m，n的二元一次方程组，解方程组即可求得m，n的值，再进一步判断各含未知数的项的系数是否为0.解：根据二元一次方程组的定义，得eq blc(avs4alco1(m2n1，,3nm21)或eq blc(a

15、vs4alco1(（m2n）1，,3nm21.)解第一个方程组，得eq blc(avs4alco1(m5，,n2.)解第二个方程组，得eq blc(avs4alco1(m2，,n1.)当m5时，m15160；当m2时，m12130.所以2m4n254(2)2或2m4n224(1)0，即2m4n的值为2或0.点拨：在利用二元一次方程组的定义解决问题时，如果某个未知数的系数中含有字母常数，一定要注意该未知数的系数不等于0的限制条件，由于这个条件常以隐含的形式出现，因此常被忽略而导致错解3解：由二元一次方程组的定义知：eq blc(avs4alco1(2ab0，,b50，)解得eq blc(avs4

16、alco1(af(5,2)，,b5.)a22beq blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)eq sup12(2)2(5)eq f(65,4).点拨：二元一次方程组的各项必须是整式，只有当eq blc(avs4alco1(2ab0，,b50 )时，才能保证各项均为整式4分析：因为eq blc(avs4alco1(x3，,y5 )是方程组的解，根据方程组的解的定义，把eq blc(avs4alco1(x3，,y5)代入方程组转化为关于a，b的二元一次方程组，求出a，b的值即可解：把eq blc(avs4alco1(x3，,y5)代入方程组eq blc(avs4alco1(axby1，,3

17、bxay1，)得eq blc(avs4alco1(3a5b1，,9b5a1， )解得eq blc(avs4alco1(a2，,b1.)所以a的值为2，b的值为1.53；2点拨：由题意得eq blc(avs4alco1(m2n7，,2mn4，)解得eq blc(avs4alco1(m3，,n2.)6解：由题意可知：xaby5与3x4y2ba是同类项，eq blc(avs4alco1(ab4，,2ba5，)解得eq blc(avs4alco1(a1，,b3.)(2ab)(a3b)(213)(133)40.7解：(xy3)20，|2xy|0，而(xy3)2|2xy|0, (xy3)20，|2xy|0

18、.eq blc(avs4alco1(xy30，,2xy0，)解得eq blc(avs4alco1(x1，,y2.)(xy)2 016(12)2 0161.解码专训二1解：由，得x3y2，把代入，得3(3y2)2y28.解这个方程，得y2.把y2代入，得x8.所以原方程组的解是eq blc(avs4alco1(x8，,y2.)点拨：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值为1时，一般先用含另一个未知数的式子表示这个未知数，再运用代入法消元，可给计算带来简便2解：，得xy5，即xy5.代入得4(y5)7y222，解得y22，把y22代入得x17.原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x17，

19、,y22.)点拨：凡方程组中有一个未知数系数相差1的，都可以先用加减法，再用代入法消元，这比常规的消元要快3解：，得2x2y10，即xy5，亦即5x5y25.得12x24，x2.把x2代入，得y3.原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x2，,y3.)点拨：凡方程组中两个未知数系数之差分别相等的，均可先相减，再适当变形消元4解：，得5x5y15，即xy3.，得xy1.解方程组、，易得解为eq blc(avs4alco1(x2，,y1.)原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x2，,y1.)点拨：凡两个未知数系数之和分别相等，且两个方程中两个未知数系数互换，都可既加、又减，获

20、得一个系数较简的方程组求解，避免复杂的变形过程5解：，得10y6x0，解得y.把y代入，得110，解得x25.把x25代入y得y15.原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x25，,y15.)点拨：凡常数项相同的，均可先相减消去常数项，获两个未知数的关系式，再代入消元6解：由，得3m4n7.把代入，得3(4n7)10n250，解得n23.把n23代入，得meq f(85,3)28eq f(1,3).原方程组的解是eq blc(avs4alco1(m28f(1,3)，,n23.)点拨：这里把3m4n7整体代入，一下子消去m，比加减消元简便7解：方程可化为6(x1)4(3y4)26.把代

21、入，得30(y2)4(3y4)26.解得y1，再代入，得x4，原方程组的解是eq blc(avs4alco1(x4，,y1.)点拨：本题从已知方程的结构和系数特点出发，通过局部变形创造条件，再将整体代入，达到迅速消元的目的8解：设eq f(x1,5)eq f(y3,2)k，可得x5k1，y2k3.将的两式代入，得3(5k1)4(2k3)32.解这个关于k的方程得k1.把k1代入，得原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x4，,y5.)点拨：这一方法很特别，将方程两边设为k，用k表示x、y，然后代入，将原方程组转化为关于k的方程由于k这个中间未知数的参与，避免了原方程间两个未知数的直接

22、变换解码专训三1分析：观察方程组可以发现，两个方程中x与y的系数的绝对值都不相等，但中y的系数的绝对值是中y的系数的绝对值的4倍，因此可把2y看成一个整体代入解：由，得2y3x5，把代入，得4x4(3x5)12，解得x2.把x2代入，得yeq f(1,2).所以这个方程组的解是eq blc(avs4alco1(x2，,yf(1,2).)2分析：观察本题方程、中都有含(2xy)的项，我们可以把它看成一个整体，由求出(2xy)的值，代入可求得x的解解：由，得2xy6.将代入，得eq f(3,4)xeq f(5,6)68，解得x4.把x4代入，得24y6，解得y2.所以原方程组的解为eq blc(a

23、vs4alco1(x4，,y2.)点拨：解题时要根据方程组的结构特点选择适当的代入方法，本题中，通过“整体”消元法达到简化解题过程的目的3解：把方程和整体相加，得xy4.分别把代入和，得x3，y7，所以原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x3，,y7.)4分析：两个方程中未知数的系数较大时，用一般的代入消元法或加减消元法都很麻烦，但通过观察发现未知数的系数都较接近，故可以考虑将两个方程相减或相加，使未知数的系数变简单解：由，得x3y1.由，得xy1.由组成方程组eq blc(avs4alco1(x3y1，,xy1，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y1.)所以原方程组

24、的解为eq blc(avs4alco1(x2，,y1.)5解：由可设x2k，则y3k，并代入，得k3.所以x6，y9.所以原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x6，,y9.)方法规律：方程缺少常数项或是关于两未知数成比例式时，可设辅助元解之6分析：方程、是两个比例式，所以设x3k，则y2k，zk.解：设x3k，则y2k，zk，代入，得3k2kk60，解得k10，则x30，y20，z10.所以原方程组的解是eq blc(avs4alco1(x30，,y20，,z10.)7分析：注意到两个方程中均含“xy”、“xy”的式子，可将它们分别看成一个整体，可令uxy，vxy，因此原方程组可化

25、为eq blc(avs4alco1(3u2v36，,2u3v24.)解：令uxy，vxy，则原方程组可化为eq blc(avs4alco1(3u2v36，,2u3v24， )32，得13u156，解得u12.将u12代入，解得v0.所以eq blc(avs4alco1(xy12，,xy0，)所以eq blc(avs4alco1(x6，,y6，)所以原方程组的解为eq blc(avs4alco1(x6，,y6.)解码专训四1解：根据题意列方程组，得eq blc(avs4alco1(x2y，,xy28224，)解得eq blc(avs4alco1(x168，,y84.)即x的值为168，y的值为8

26、4.2解：(1)三(2)设A、B两种商品的标价分别为x元、y元根据题意，得eq blc(avs4alco1(6x5y1 140，,3x7y1 110，)解得eq blc(avs4alco1(x90，,y120.)答：A、B两种商品的标价分别为90元、120元(3)设A、B两种商品均打a折出售根据题意，得(9908120)eq f(a,10)1 062.解得a6.答：商店是打6折出售这两种商品的3解： 设可以做甲种小盒x个，乙种小盒y个，根据题意列方程组得eq blc(avs4alco1(4x3y300，,x2y150，)解得eq blc(avs4alco1(x30，,y60.)答：可以做甲种小

27、盒30个，乙种小盒60个4解：设李明家去年种植菠萝的收入为x元，投资为y元，根据题意，得eq blc(avs4alco1(xy8 000，,（135%）x（110%）y11 800，)解得eq blc(avs4alco1(x12 000，,y4 000.)所以李明家今年菠萝的收入应为(135%)12 00012 00016 200(元)答：李明家今年菠萝的收入为16 200元解码专训五1D3解：设甲的速度为x m/s，乙的速度为y m/s，根据题意，得eq blc(avs4alco1(（xy）40400，,200 x200y400，)整理，得eq blc(avs4alco1(xy10，,xy2

28、，)解得eq blc(avs4alco1(x6，,y4.)答：甲运动员的速度为6 m/s，乙运动员的速度为4 m/s.4解：设预定时间为x h，学校到县城的距离为y km.依题意，得eq blc(avs4alco1(4xy，,5blc(rc)(avs4alco1(xf(1,2)y. )解得eq blc(avs4alco1(x3，,y.)答：学校到县城的距离为 km.5解：设存2 000元，1 000元的年利率分别是x%，y%，由题意，得eq blc(avs4alco1(xy，,2 000 x%1 000y%， )解得eq blc(avs4alco1(x，,y.)答：存2 000元，1 000元

29、的年利率分别为%，%.6解：(1)设甲组单独工作一天商店应付x元，乙组单独工作一天商店应付y元依题意，得eq blc(avs4alco1(8（xy）3 520，,6x12y3 480，)解得eq blc(avs4alco1(x300，,y140.)答：甲组单独工作一天商店应付300元，乙组单独工作一天商店应付140元(2)设工作总量为单位1，甲组的工作效率为m，乙组的工作效率为n.依题意，有eq blc(avs4alco1(8（mn）1，,6m12n1，)解得eq blc(avs4alco1(mf(1,12)，,nf(1,24). )所以甲组单独完成装修需1eq f(1,12)12(天)，乙组

30、单独完成装修需1eq f(1,24)24(天)所以单独请甲组需付款300123 600(元)，单独请乙组需付款140243 360(元)因为3 6003 360，所以单独请乙组所付费用较少(3)甲组单独做12天完成，商店需付款3 600元；乙组单独做24天完成，商店需付款3 360元，比较可知，甲组比乙组早12天完工，商店早开业12天的利润为200122 400(元)，开支为3 6002 4001 200(元)3 360元，故选择甲组单独做比选择乙组单独做划算甲、乙两组合作8天可以完成，商店需付费用3 520元，此时工期比甲组单独做少4天，商店早开业4天的利润为4200800(元)，开支为3

31、5208002 720(元)3 600元，故选择甲、乙两组合作比选择甲组单独做划算综上所述，甲、乙两组合作这一方案最优点拨：当直接设未知数不易求时，可间接设未知数，如本题第(2)问中，直接求工作时间不好求，可以先求出工作效率7解：设用x张铁皮制盒身，y张铁皮制盒底，根据题意得eq blc(avs4alco1(xy190，,8x222y，)解这个方程组，得eq blc(avs4alco1(x110，,y80.)答：用110张铁皮制盒身，80张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子8解：设2023年15月份该旅行社接待外地游客x人，本地游客y人依题意，得eq blc(avs4alco1(xy5 000，,（150%）x（110%）y5 000（140%），)解得eq blc(avs4alco1(x3 750，,y1 250.)答：2023年15月份该旅行社接待外地游客3 750人，本地游客1 250人点拨：解题关键是读懂题意，准确设出未知数，根据题目所给条件列方程组求解9分析：等量关系要从图上找，从拼成的大长方形的宽来看，1块砖长1块砖宽60 cm，从拼成的大长方