材料力学 能量法

1、材料力学 能量法1第1页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12 能量法12.1 应变能与余能12.2 卡氏定理12.3 最小势能原理12.4 瑞利-里兹法2第2页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12.1 应变能与余能一、应变能(a) 轴向拉（压）杆1. 线弹性体 （1） 基本变形形式 利用应变能 在数值上等于外力功W，可得3第3页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 (b) 扭转12.1 应变能与余能4第4页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四(c) 弯曲纯弯曲 横力弯曲12.1 应变能与余能5第5页，共58页，20

2、22年，5月20日，3点54分，星期四 可以把应变能统一写成式中，P为广义力，可以代表一个力,一个力偶,一对力或一对力偶等。D为广义位移，可以代表一个线位移,一个角位移,一对线位移或一对角位移等。12.1 应变能与余能6第6页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四（2） 组合变形（用内力形式表示的应变能）M(x) 只产生弯曲转角 小变形时不计FQ 产生的应变能，N (x) 只产生轴向线位移M t(x) 只产生扭转角12.1 应变能与余能7第7页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四对于dx 微段， N(x) , Mt(x) , M(x) 均为外力。略去高阶微量后

3、，dx段的应变能为杆的应变能为12.1 应变能与余能8第8页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 因为是弹性体，所以应变能在数值上仍等于外力功，即 ，但必须注意 以及 的非线性关系，不能再用线弹性体的公式计算外力功。（1） 轴向拉伸与压缩2. 非线性弹性体应变能为（PD 曲线和D轴之间的面积）应变能密度为（se 曲线和e 轴之间的面积）12.1 应变能与余能9第9页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 以上两式中，分别是以D和e 为自变量， ， 。所以 为位移状态的函数。 因为 ， 为非线性关系，上两式积分后得不到1/2的系数，只能根据 或 的函数关系进行积

4、分。 应变能密度 式中， 为扭转力偶矩， 为扭转角， 为扭转切应力， 为 切应变。注意：（2） 扭转应变能12.1 应变能与余能10第10页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四式中， 为外力偶矩， 为弯曲转角， 为正应力， 为线应变。应变能密度 应变能和应变能密度之间的关系为式中，V 为体积。（3） 梁应变能12.1 应变能与余能11第11页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四二、余能 图 a为非线性体弹性体的受拉杆，其P D和se关系如图b,c 所示。（1）余功的定义为12.1 应变能与余能12第12页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四

5、其大小为曲面OP1a的面积如图d所示。Wc 和外力功W 具有相同的量纲，且Wc 为矩形OP1aD1 的面积与曲面OaD1 的面积（W）之差（图d）,故称Wc 为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc 。PP1WcaWD1Do(d)12.1 应变能与余能13第13页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 余能密度为 由上述，D= f (P ),e =f (s )。所以Vc= f (P ) 为受力状态的函数。VcVeP1 PD D1 a(e)o（3）线弹性体（图e） U和 Uc 数值相等，但概念和计算方法不同，即 U= f (D) , Uc = f (

6、P )。仿照 , 余能为（2）余能余能为12.1 应变能与余能14第14页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四BD1P例1 已知两杆的长度均为l、横截面面积均为A、材料单轴拉伸时的 -曲线如图所示。 求：荷载 P1作用下的余能 Uc 12.1 应变能与余能15第15页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四BD1P解：本题已知材料应力应变间的关系，故先求单位体积的余能。12.1 应变能与余能16第16页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四由于轴向拉伸杆内各点的应力状态相同，因此BD1P12.1 应变能与余能17第17页，共58页，2022年，5

7、月20日，3点54分，星期四12.2 卡氏定理 图示梁的材料为非线性弹性体，Pi 为广义力，di为广义位移。各力同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值（简单加载）。各力在其相应的位移上做功,并注意到材料为非线性弹性体，梁的应变能为为位移状态函数。1. 卡氏第一定理18第18页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 假设与第 i个荷载Pi相应的位移di有一微小位移增量ddi， 而与其余荷载相应的位移,以及各荷载均保持不变。外力功和 应变能的增量分别为（ ddi不是由Pi产生的， Pi ddi为常力做的功 ） （a）(b)式中， 为应变能对位移 的变化率。 12.2 卡氏

8、定理19第19页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 上式为卡氏第一定理。它说明，弹性结构的应变能，对于结构上与某一荷载相应的位移之变化率，等于该荷载的值。以上推导中并没有涉及到梁的具体性质，故卡氏第一定理适用于一切受力状态的弹性体。对于线弹性体也必须把U写成给定位移的函数形式。令12.2 卡氏定理则20第20页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四2. 卡氏第二定理 图示为非线性弹性杆，Pi为广义力，di为广义位移。各力按简单加载方式作用在梁上。梁的余能为 表明(1) 余能定理12.2 卡氏定理21第21页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期

9、四令上式称为余能定理。可用于求解非线性弹性结构与Pi相应的位移。得 设第 i个力Pi有一个增量dPi，其余各力均保持不变，各位移均不变。余功和余能的改变量分别是12.2 卡氏定理22第22页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四(2) 卡氏第一定理和余能定理的比较 卡氏第一定理 余能定理didi+ddi，其他位移均不变，所有的力均不变。PiPi+dPi，其他力均不变，所有的位移均不变。12.2 卡氏定理23第23页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 卡氏第一定理 余能定理 续表(平衡方程)（变形的几何关系）适用于非线性和线性弹性体适用于非线性和线性弹性体12

10、.2 卡氏定理24第24页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四(3) 卡氏第二定理 当结构为线弹性体时，由于力P和位移d成正比，Uc在数值上等于应变能U（如图）。若把 用力表示，即余能定理可以写成上式称为卡氏第二定理，它是余能定理在线弹性情况下的特殊情况。仅适用于线弹性体，它将是研究的重点。UcP1Pd d1 a(e) O12.2 卡氏定理25第25页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 它表明，线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一荷载的变化率，等于与该荷载相应的位移。注意:组合变形（不计剪力的影响）时 也可以写成用该式计算时，可减少计算工作量。12.2

11、卡氏定理26第26页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 例2 图a所示为一等截面开口圆环，弯曲刚度为EI，材料为线弹性。用卡氏第二定理求圆环开口处的张开量d。不计剪力和轴力的影响。12.2 卡氏定理27第27页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四圆环开口处的张量就是和两个F力相对应的相对线位移，即（） 用 角表示圆环横截面的位置，并规定使圆环内侧受拉时弯矩为正，则弯矩方程及其对P 的偏导数分别为 解：，12.2 卡氏定理28第28页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四结果为正，表示广义位移方向和广义力的指向一致。（ ） 利用对称性，由卡氏

12、第二定理，得12.2 卡氏定理29第29页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 例3 三杆的材料相同，s = Ke1/n( n 1) ，横截面面积均为A，1, 2两杆长度为 l。用余能定理求各杆的轴力。12.2 卡氏定理30第30页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 解：以铰链 D 的支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示，F，X 看作基本静定系上独立的外力，所以 Uc = Uc (P,X ) （不能含有其它未知力）因为铰链 D 处沿铅垂方向的位移为零，应有由该式求出X 后，再利用平衡方程求各杆的轴力。12.2 卡氏定理31第31页，共58页，20

13、22年，5月20日，3点54分，星期四(1)（轴力均用P和 X 表示）由平衡方程得各杆的轴力分别为各杆的应力分别为(2)(3)由 得12.2 卡氏定理32第32页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四结构的余能为(4)三杆的余能密度分别为12.2 卡氏定理33第33页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四（4）式包含了平衡方程和物理方程，而 ，表示变形的几何关系。由 ，得将X 值代入（1），得 以力为基本未知量解超静定问题的方法，称为力法。12.2 卡氏定理34第34页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 例4 刚架各杆的弯曲刚度均为EI，不计

14、剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求支反力。CABql l(a)12.2 卡氏定理35第35页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 解：该题为一次超静定。以铰链C的铅垂支反力X 为多余未知力，基本静定系如图b 所示。由于 ,但是在 中，出现 (U也将出现 )，必须把CABql l(a) l(b)yVCxxXVAxVAyCABql 用 q , X 表示。 由 ，得12.2 卡氏定理36第36页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四CB, AB段的弯矩方程及其对X 的偏导数分别为 ， 由 ，得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 卡氏定理37第

15、37页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四解得 （）和图示方向相反。（）（）（）由平衡条件得 l(b)yVCxxXVAxVAyCABql12.2 卡氏定理38第38页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 例5 半圆环的弯曲刚度为EI，不计剪力和轴力对位移的影响，用卡氏第二定理求对称截面上的内力。12.2 卡氏定理39第39页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四 解：沿半圆环的对称截面处截开，取两个1/4圆环为基本静定系（图b)，多余未知力为轴力X1, 弯矩X2, 剪力X3。该题为三次超静定。(a) 但由于结构与荷载均是对称的，内力也应该是对

16、称的，但X3是反对称的，故X30，问题简化为二次超静定。半圆环的应变能只能为P，X1，X2的函数，即12.2 卡氏定理40第40页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四与X1，X2 相应的位移条件分别为两截面的相对线位移和相对角位移为零，即(b)弯矩方程及其对X1，X2的偏导数分别为(c)12.2 卡氏定理41第41页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四注意到基本静定系为两个1/4圆环，(b)式成为(d)(e)将 (c) 式代入 (d) 和 (e) 式，可解得12.2 卡氏定理42第42页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12.3 最小势能

17、原理1.势能取结构在未受力时的状态作为参考状态，势能为U拉杆变形过程中所积蓄的应变能；拉杆受力后的变形。势能的一般表达式：这一表达式适用于任何弹性结构， 为广义力， 为相应的广义位移。43第43页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四2.最小势能原理当任一位移有一个微小增量时，忽略高阶微量，势能的改变量为由卡氏第一定理 得，上式是表示结构平衡的充分必要条件，且适用于一切弹性结构。驻值原理12.3 最小势能原理44第44页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四结构平衡形态的稳定性可由下述规则判断：取最小值，稳定的平衡；取最大值，中稳定的平衡；取恒定值，中性的或临界

18、的平衡。对于稳定平衡的弹性结构，最小势能原理等价于平衡条件，适用于一切弹性结构。12.3 最小势能原理45第45页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12.3 最小势能原理例6 如图所示超静定杆系中，三杆材料相同且横截面面积均为A，材料为线弹性，弹性模量为E，试求各杆应力。解：由于对称性，E点只有铅垂位移，设为D。3杆的应变为其比能为3杆的应变能为46第46页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12.3 最小势能原理1、2杆的应变为其比能为其应变能为该杆系结构的总应变能为47第47页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四结构的势能为由最小势能

19、原理三杆应力分别为12.3 最小势能原理48第48页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四12.4 瑞利-里兹法瑞利-里兹法主要思路：（1）用假设的变形形状近似表示变形的真实形状；（2）用形状函数表示假设的变形形状，形状函数含有一个或多个不定的位移参数；（3）将势能表示成上述位移参数的函数；（4）根据势能驻值原理，令势能对每一位移参数的偏导数为零，得到一组以未知的位移参数表示的联立方程组；（5）求解方程组，得出各个位移参数，所假设的变形形状即可得到；（6）求出内力。49第49页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四例7 试确定如图所示阶梯状梁中央处挠度的近似值。

20、解：取形状函数为由边界条件：于是由对称性条件：12.4 瑞利-里兹法50第50页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四全梁的弯曲应变能为将 代入：该梁总势能为12.4 瑞利-里兹法51第51页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四应用最小势能原理，得求得12.4 瑞利-里兹法52第52页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四例8 试用瑞利-里兹法计算如图所示两端简支阶梯状压杆的临界压力。已知材料的弹性模量为E。解：在临界压力Pcr作用下，压杆可在微弯状态下维持中性平衡或临界平衡。根据边界条件，可用下式的单参数函数作为其挠曲线近似方程 为杆中点的挠度。由边界条件：由对称性条件：12.4 瑞利-里兹法53第53页，共58页，2022年，5月20日，3点54分，星期四由于杆的微弯，在其上端有竖向位移 。为了求 ，在挠曲线上取一微段ds，它与其在x轴上投影dx之差为又