静态场的边值问题

1、静态场的边值问题2022/9/14第五章1第1页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章2第一节 静态场边值问题的基本概念一、静态场：静电场、恒定场、恒定磁场。二、静态场的基本方程：即：环量、通量方程引入辅助量泊松方程或拉普拉斯方程三个标量方程（）（）第2页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章3三、静态场的求解-静态场的边值问题:求(-)、 (-)的通解 ；利用给定的边界条件求 的特解； 根据唯一性定理：满足三类边值问题的泊松方程或拉普拉斯方程的解是唯一的。四、求解静电场的边值问题的方法:解析法：求 在整个场域内所

2、满足的函数表达式,根据表达式,可求出任意点确切的 值.(规则边界)第3页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章4分离变量法、镜像法、数值计算法：缺点：一次运算一个边界；优点：任意边界。实验研究法:用实验装置模拟实际的物理场方程及给定边界值,测量出相应的待求函数的值的方法.求 在场域内一组离散点上的近似函数值。优点：解具有代数方程的形式,方程中解的参数值可以置换,便于研究不同参数下场的不同分布; 缺点:要求边界形状比较苛刻,复杂边界形状的场域难以求解.第4页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章5第二节 分离变量法一

3、、分离变量法的一般步骤（规则边界）：、分离变量法：、分离变量法的一般步骤：由给定边界条件，选择适当的坐标系，并写出该坐标系的拉氏（泊松）方程的表示式。第5页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章6把待求的位函数用分离变量法表示出来； 并代入拉氏（泊松）方程（偏微分方程），分解出三个常微分方程；分别写出其通解。用给定边界条件以及通解中正交函数的正交性确定通解中的待定常数。特解 。第6页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章7二、直角坐标系中的分离变量法：(-)、分离变量：令(-)(-)(-)将代入,并整理得:(-)、

4、位函数 的拉氏方程：第7页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章8、三个常微分方程：(-)(-)(-)(-)(-)由得：称为分离常数。第8页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章9、通解：(-)讨论则为待定系数。，为实数；，。，均为一次线性式。15第13页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章14、特解：（结合具体边界条件） 分析：由（-)、(-),(-)的解 只能取三角函数,即通解中的三种情况只有第一种是可以存在的. 由(-),(-)的解 只能取双曲函数. 通解:(-)(-

5、)第14页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章15 特解: 则即故(-)(-)其中称为方程(-)满足(-)(-)边界条件的本征函数.本征值1312 第15页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章16 由则故(-)(-) 第16页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章17故(-)由边界条件确定. 因上式右边为三角函数级数,要确定 ,其左边也应展开成三角函数级数,亦称傅里叶级数,再比较其系数即可确定 .第17页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/

6、14第五章18将上式两边同乘,再对x从 a积分则即第18页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章19故当时, 即因 已是三角函数则第19页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章20三、圆柱坐标系中的分离变量法：、拉氏方程的展开式：(-)令(-)、分离变量法：(-)(-)将代入，且整理得：第20页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章21(-)上式中第二项仅与 有关，设它等于一常数 。(-)将(-)(-)代入，并整理得：(-)上式中第一、二项仅与 r 有关，第三项仅与 z 有关

7、。第21页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章22令那么，拉氏方程变为：(-)(-)最后分离出的三个常微分方程(-)(-)(-)的通解形式与 、 的 取值有关，其可能情况为 方程 的解为：(-)(-)因在电磁场的诸多问题中， 是 的周期函数。8第22页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章23故 n=0,1,2,3所以，n不能取分数， 也不能小于零。 方程的解为：，为实数；或(-)(-)(-)(-)第23页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章24方程 的解为：首先将方程两

8、边同乘 ，并展开后为：(-)n阶贝塞尔方程讨论：分两种情况 则（-)的解为: 则（-)变为欧拉方程,其解为:(-)(-)第24页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章25，则（-) 为n阶贝塞尔方程,其解为:，为实数；其中:为第一类贝塞尔函数;为第二类贝塞尔函数.(诺依曼函数)为虚宗(变)量贝塞尔函数.(-)(-)第25页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章26n为整数:且区间有无数个零点;则无实数零点;且当均发散.即时第26页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章27贝塞

9、尔函数曲线第27页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章28例: 半径为 a 的半无限长金属圆筒,筒底与圆筒壁有很窄的绝缘,圆筒侧壁电位为零,筒底电位为 ,求圆筒内的电位分布.解:如图所示、建立坐标系：依题意，取柱坐标系0a关于z轴对称与 无关不为周期函数故即第28页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章29、 满足的拉氏方程与边界条件：(-)(-)(-).9第30页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章31而 应为有限值,故则根据方程(-),其解为零阶贝塞尔函数.又 由方程

10、(-).时故(-)通解第31页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章32、由边界条件决定待求常数 特解： 由（-),零阶贝塞尔函数有无数个零点,即 有无数个取值,(-)称为贝塞尔函数的根,记 为零阶贝塞尔函数的第m个根.(-)则由有即(-)第32页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章33的取值既可查函数表,也可查曲线表. 故(-)第33页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章34 由边界条件(-)，则(-)为:(-)根据贝塞尔函数的正交性:则有(-)将(-)两边同乘以 ,并

11、在 区间积分.(-)第34页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章35而(-)将(-)(-)(-)代入故第35页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章36四、球坐标系中的分离变量法：、拉氏方程的展开式：、分离变量法：令(-8)(-9)将(-)(-)代入并整理化简得：(-)第36页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章37令(-)将(-)(-)代入并整理化简得：(-)令(-)(-)将(-)(-)代入并整理化简得：(-)第37页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期

12、四2022/9/14第五章38、通解： 方程（-)的通解为: (-) 方程（-)为欧拉方程,其通解为: 方程（-)称连带勒让德方程,(-)在电磁场的很多实际问题中,位函数 常与方位角 无关,即由方程(-)知, m=0第38页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章39若令（-)方程（-)变为:勒让德方程(n阶)当场域包括 轴.方程(-)的解为第一类勒让德多项式.（-)微分形式第39页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章40则（-)或 通解:当m=0,且场域包括 z轴时,其通解为:（-)第40页，共66页，2022年

13、，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章41第三节 有限差分法差分: 近似地以差分代替微分.有限差分法:(近似)数值计算法.在待求场域中选取有限个离散点,然后在各个离散点上以差分方程代替其微分方程,从而把以连续变量形式表示的位函数方程,转化为以离散点位函数表示的差分方程组.由边界条件,最后确定各离散点上的位函数值.第41页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章42一、差分方程组的形式：、函数 的一阶差分为：有限小差分微分无限小当很小时，差分近似等于微分。导数、一阶差商：当h很小时，第42页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星

14、期四2022/9/14第五章43同理，二阶差商（分）：、偏导数亦可用差商近似表示：、求差分方程组：（有限个点）第43页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章44例：在一个二维矩形场域内，电位函数 满足泊松方程和第一类边值。即（在 内）（在边界上）为已知函数，在电场中， ,求 的差分方程组。解： 将场域划分为边长为h的正方形网格，网格线的交点称节点；其正方形的边长h称步距。将各节点标上号，0、1、2、3、4第44页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章45 设节点的电位为 :点相邻的四个 (,)节点上的电位分别为 泰

15、勒(Taylor)公式:回忆:其中:是阶比高的无穷小,则我们常以 的一次式近似地代替第45页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章46 则根据泰勒公式，过点且平行于x轴的直线上任一点x处的电位 为 ：那么,能否用 的二次式或n次多项式来表示 ,从而使精确度更提高呢? 答案是可以!拉格拉日余项第46页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章47减很小,略去 以上的各高次项得:上式即为用点处的平均中心差商近似其偏导数的表示式.对于节点“”有则对于节点“”有则第47页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2

16、022/9/14第五章48加,并略去 以及更高次方项后,得同理,将变量x 改成变量y,则有:将代入 ,则第48页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章49即 场域内每一内节点都有一个类似 的方程,于是内节点的个数即为方程组方程的个数。解方程组，便可得到各节点的电位值 。58第49页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章50求九个内节点的正方形网格的差分方程组.解：应用公式内节点“”,与之相邻的节点是则内节点“”内节点“”内节点“”第50页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章

17、51内节点“”内节点“”内节点“”内节点“”内节点“”以上九个方程即是差分方程组.第51页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章52二、差分方程组的解法：手算、机算。例：如图所示，一很长的接地金属凹槽，横截面为正方形，上盖与地绝缘，且电位为，盖与槽之间间隙处为，求槽内电位值。解：、分析：利用有限差分法来求槽内电位值，首先应划分正方形网格，那么，网格的内节点的个数以多少为好？显然，内节点的个数越少，则计算就越简单，但是,节点数少，误差就大，因而网格的划分就以要求的精度为前提；其次，实际计算中，划分网格的内节点的个数往往不是一次就确定其个数，而是逐次增加，直

18、至同一节点上的电位值在前后两次运算中的误差达到规定的要求。第52页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章53、计算： 、内节点的电位满足拉氏方程：即a 如图 ，利用上式，槽中心点的电位为：a第53页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章54上两网格中心点 的电位为：下两网格中心点 的电位为：、划分网格如图 所示：bb第54页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章55两节点的电位为：两节点的电位分别为：、划分网格如图 所示：cc第55页，共66页，2022年，5月20日，2点4

19、1分，星期四2022/9/14第五章56ab对比以上三图，发现 图中的内节点也位于图 中，在图 中，再进行第二次计算其电位：abccc 两点先后两次计算所得电位的相对误差不足%。第56页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章57abc 两点先后两次计算所得电位的相对误差仍然有%。若要提高精度，则必须将网格再进一步划细。 如内节点过多，将要借助计算机才能完成差分网格节点的电位计算。第57页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章58例：在一个二维矩形场内，电位函数 满足泊松方程和第一类边值求解：1、将 式应用于每一个内

20、节点(i , j)49第58页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章59、用迭代法计算：计算顺序从左下角开始。即 i 小的先做， i 相同时， j小的先做。 采用逐次逼近法来求其内节点的电位近似值，即开始计算时，首先假设一初值（称第次近似值），运算从左下角开始计算，遍及所有 下标后得各内节点电位值，记为 ，为第次近似值。然后再从左下角过行第次计算循环，得 如此周而复始，直至第 次近似值与第 次近似值之误差满足计算精度为止。第59页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章60如图：第60页，共66页，2022年，5月20日，2点41分，星期四2022/9/14第五章61三、边界条