二级倒立摆数学模型的建立

1、二级倒立摆数学模型的建立专业：自研-09学号：2009Y013101261一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。二级倒立摆的结构简图如图1的监督管理功能，如实时画面，数据采集等;数据采集卡安装在计算机内，用完成模/数、数/模转换;功率放大器用于电压和线方向的角位移。图1过传动钢丝实现运动。2、结构参数通过实际物理测量，得到二级倒立摆系统的参数

2、如下:小车的等效质量:M =1.0kg;小车与轨道间的滑动摩擦系数:b =5.0kg/s;下摆的质量:m =0.1481kg;2下摆半长: =0.18m;l1下摆绕其重心的转动惯量:j =kgm ;21上摆质量:m =0.0998kg;2上摆半长: 2=0.24m;l上摆绕其重心的转动惯量: j = kgm ;22上、下摆重心之间的距离: L =0.29m;1上、下摆之间的转动摩擦系数: F =0.0lkgm /s;22下摆和小车之间的转动摩擦系数:F =kgm s;21电机及功率放大器的增益: K =15Nt/V。u3、Lagrange 方程介绍d TT V DLgarnage 方程为F i

3、 k ( 1,2,., )dt q.q q q.i11 1i式中T系统的动能函数，. ，q，Lganarge 变量，分别成为广义坐标和广义速度q1Qi 作用于系统上的广义力V F i 1,2,.,k)，(1-2)qi1式中：V系统的势能函数V有势力的广义力q1F 非有势力的广义力qi3d TT V将式(2-2)代入式(2-l)得F i k ( 1,2,., )dt q.q qqi11 1二、二级倒立摆数学模型的推导二级倒立摆是一个多变量、快速、非线性、强祸合、和绝对不稳定的系统，为了简化建立数学模型的过程，我们做了以下假设:1.上摆、下摆都是一个均匀的刚体;上;与摆的角速度成正比，上、下摆绞接

4、处的摩擦力仅与摆的角速度成正比;4.忽略电机的电感;5.忽略钢丝的弹性。在以上假设前提下，我们采用分析力学中的Lganarge方程来建立系统的数学模型。令:为水平导轨运动的位移，拭、氏分别为下摆和上摆偏移竖直方向的角度。由于系统存在着摩擦力，属于一个耗散系统，因此式(2-3)部分应该加上Lagrange方程为:d TT V D F i 1,2,.,k)dt q.q q q.qi11 1i式中：q 广义坐标，即r、 、i12F 非有势广义力，当q F =GU G qiiqi00 q = 、 F i12qi分别是系统的动能、势能和消耗能nnnT T 、VV 、DiDiii0i0i04T iV iD

5、 iT ，V ，D iii5式(2-6)式是一个非线性向量微分方程。考虑到系统工作时，是在平衡位置.附近运动，可将式(2-6)在 u=0 的平衡位置 r= = = = = =0 附近线性化，r .1212以线性化后的方程来代替式(2-6)的非线性向量微分方程。具体线性化是忽略二次以上的项 (或因为 ， 在以内，故sin ， 12cos 1)，可求出关于 的线性化微分方程，而后将 1212改写成 r， ， ，便可得到系统的状态方程。12根据物理模型的实测数据，可求得平衡点处的常数阵:6利用 Matlab 中的求逆命令，可以解得M (0,0)1阵所以，对式（2-6）进行线性化后，系统状态方程为：对

6、于下摆有转角 121故式（2-7）可改写为定义状态向量 x 为则由式（2-8）可得7由此可知，二级倒立摆系统的数学模型为x .y式中：A=000000000000000000B=000C=101000100000000000系统状态图：首先，使用MATLAB，判断系统的能控性矩阵是否为满秩。程序如下：8A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rct=rank(ctrb(A,B1)计算结果为：rct = 6的。因为系统是能控的，所以，可以通过状

7、态反馈来任意配置极点。不失一般性，不妨将极点配置在s1=-6,s2=,s3=-7,s4=,s5=-8,s6=在MATLAB中输入程序：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;P=-6 -6.5 -7 -7.5 -8 ;K=place(A,B1,P)计算结果为：K =因此，求出状态反馈矩阵为K =采用MATLAB/Simulink图所示。9三、 状态观测器实现状态反馈极点配置及其仿真首先，使用MATLAB，判断系统的能观性矩阵是否为满秩。输入以下程序A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0

8、0 1;0B=0 0 0 ; 0;0;B1=B;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;rob=rank(obsv(A,C)rob =6测的，所以，可以设计状态观测器。而系统又是能控的，因此可以通过状态观测器实现状态反馈。10敛速度，才能够保证使用状态观测器所观测到的状态与原系统的状态充分接近。不妨取状态观测器的特征值为：20，s221，s322，s423，s524，s625。输入以下命令：A=0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0 ;0 0 0 0 0 1;0; 0;0;A1=A;C=1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0;C1=C;P=-20 -21 -22