离散型与连续型随机变量

1、 /13例1一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？解：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验A=答对一道题贝IP(A)=14则答5道题相当于做5重Bernoulli试验.(八设：X：该学生靠猜测能答对的题数，则XB5，14164(1_+-14丿二项分布的分布形态若XB(n，p)，贝IP仗二讣=1+(n+1)P-k(q=1一p)PX=k-1kq由此可知，二项分布的分布先是随着k的增大而增大，达到其最大值后再随着k的增大而减少这个使得可以证明：PX=k达到其最大值的k称为该二项分布的最可能次数0如果(n+1)p不是整

2、数，则k=Kn+1)pl；如果(n+1)p是整数，则k=(n+Dp或(n+1)p一1；例2对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为0.44试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？X：300射击中命中目标的次数解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli试验令：则由题意XB(300,044)由于(300+1)x0.44=132.44，它不是整数因此，最可能射击的命中次数为k=1132.44=1320其相应的概率为PX=132)=C132X0.44132X0.56168=0.046363003)Poisson分布如果随机变量X的分布律为PX=k=e-九(

3、k=0,1，2，)k!则称随机变量X服从参数为入的Poisson分布.分布律的验证TOC o 1-5 h z九k,由于九o可知对任意的自然数心有_e-九00九k九k又由幕级数的展开式，可知乙-kre-入=e-九乙-kr=e-入e九=1k!k!k=0k=0所以px=k=e-入(k=01,2,)是分布律k!Poisson分布的应用1、Poisson分布是概率论中重要的分布之一2、自然界及工程技术中的许多随机指标都服从Poisson分布3、例如，可以证明，电话总机在某一时间间隔内收到的呼叫次数，放射物在某一时间间隔内发射的粒子数，容器在某一时间间隔内产生的细菌数，某一时间间隔内来到某服务台要求服务的

4、人数等等，在一定条件下，都是服从Poisson分布的例3设随机变量X服从参数为入的Poisson分布，且已知P（X=1=px=2试求px=4解：随机变量X的分布律pix=k=e-九（k=0,1,2,）k!由已知PX=1=Pix=2得第e-九=耸e亠1!2!九2-2九=0解得九=2（另一个解入=0不合题意，舍去）px=4=e-2=2e-2=0.090224!3例4设一人在一年内的感冒次数服从参数九=5的Poio分布，现有一种预防感冒的药,它对30%的人来讲,可将上述参数九降为九=1（疗效显著）；对另45%的人来讲，可将参数九降为九=4（疗效一般）；而对其余25%的人来讲，则是无效的.现某人服用此

5、药一年,在这一年中,他得了3次感冒,试求此药对他“疗效显著”的概率解：设B=此人在一年中得3次感冒A=该药疗效显著A=该药疗效一般A=该药无效123则由Bayes公式，得PA1=P（A）P（BA）+P（A）P（BA）+P（A）P（BA）P（A）P（BA）12230.30 xe-1=3!1343530.30 xe-1+0.45xe-4+0.25xe-53!3!3!=0.1301Poisson定理设在Bernoulli试验中，以p代表事件A在试验中发生的概率，n它与试验总数n有关如果limnp=x0贝QnnT8limCkpkGp一k=e-九nk!knnnT8证明：令：np=xnn则CkpkG-pL

6、-knnnn(n一1)(a-2)(n-k+1)(九nnXknkVa、1-人n丿1-M丫1亠n人n丿n-k对于固定的k有由lim九=limnp=X得nnnT8nT8lim九k=Xknnfg=limnfg1-Xn卩n丿=e一九 /132 /13所以，limCkpk(1一phknnnnf0-limnfg九n-kn_n丿1k!lim九k.lim1-nsnnxn八1-/lim1-n九nnn-k九k=e一九J!由Poisson定理，可知若随机变量XB（n,p）,则当n比较大，p比较小时，令：九=np贝I有px=k=Ckpk（1-p）n-k=二enk!例5设每次射击命中目标的概率为0.012，现射击600次

7、，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）.解：设B=600次射击至少命中3次目标进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验X：600次射击命中目标的次数则XB（600,0.012）用Po歳son分布近似计算，取九=600 x0.012=7.2P（B）=Pix3=1-Pixv3=1-pix=0-pix=1-px=2=1-e-7.2-7.2e-7.2-空e-仏=0.9745例6为了保证设备正常工作，需配备适量的维修工人，现有同类型设备300台各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01.在通常情况下，一台设备的故障可有一人来处理.问至少需配备多少工人，才能保证当

8、设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01？解：设需配备N人，记同一时刻发生故障的设备台数为X，则Xb（300，0.01），需要确定最小的N的取值，使得：PXN001PX099k!k=0i一为叱=另竺！P(A)=PX212341丄工=另(02)ke皿=0.0175.JcTk!k=2k=2按第二种方法.以Y记80台中同一时刻发生故障的台数，则Yb(20,0.01)故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：PY4另(08e亠8=0.0091.k!k=4第二种方法中发生故障而不能及时维修的概率小,且维修工人减少一人。运用概率论讨论国民经济问题,可以有效地使用人力、物力资源。一.连续型随机变量的概念

9、与性质定义如果对于随机变量X的分布函数F(x),存在非负函数f(x),使得对于任意实数x，有F(x)=fx/(t皿9_8则称X为连续型随机变量，其中函数f(x)称为X的概率密度函数简称概率密度连续型随机变量X由其密度函数唯一确定.由定义知道，概率密度f(x)具有以下性质：10f(x)0.2o卜f(x)dx=1._830PxvXx=F(x)-F(x)=Jx2f(x)dx(x)dxG例1设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x)=1解：由密度函数的性质于f(x)dx=1得1=于f(x)dx=ff(x)dx+ff(x)dx+Tf(x)dx一8一8=fcCx一2x2)dx=c(2x2-2x3I3.px

10、1=Tf(xdr=ff(xIdx+Tf(xdr=f；Cx一2x2h=3二.一些常用的连续型随机变量1均匀分布若随机变量X的密度函数为ax0；ff(x)dx=ff(x)dx+jf(x)dx+Tf(x)dx=/dx=1ba一8gaba由此可知,f(x)=axb其它确是密度函数类似地，我们可以定义区间(a,b)上的均匀分布;区间la,b)上的均匀分布;区间(a,blh的均匀分布.均匀分布的概率背景如果随机变量X服从区间匸，上的均匀分布，则随机变量X在区间R上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间的长度成正比，而与该子区间的位置无关这时，可以认为随机变量X在区间匸，上取值是等可能的.L_dx=PcvX

11、c+1=Jc+lf(x)dx=fc+1cc例5设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车,如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率解：设该乘客于7时X分到达此站.则X服从区间1030上的均匀分布.其密度函数为f1A0 x30fx)=300其它令：B=候车时间不超过5分钟贝IP(B)=P&0X15+P(25X30f3d畀30dx=10252指数分布如果随机变量X的密度函数为f(x)=00 x0为常数，则称随机变量服从参数为九的指数分布.密度函数的验证设X参数为九的指数分布，fCJ是其密度函数，则有:对任意的x,有f(x)0；(2).于f(x)dx=ff(x)dx+于f(x)d